DE dimensionale analyse is een tool die de voorspelling, inspectie en aanpassing mogelijk maakt van de fysieke eenheden die worden gebruikt om vergelijkingen op te lossen. Bij dimensionale analyse passen we de grondbeginselen van algebra om te bepalen in welke eenheidinmeten een hoeveelheid moet worden uitgedrukt om homogeniteit tussen de hoeveelheden te garanderen.
Stapsgewijze dimensionale analyse
Met behulp van dimensionale analyse is het mogelijk om te voorspellen wat de maateenheid zal zijn van een fysieke grootheid die gerelateerd is aan resolutie van een of ander probleem. Daarom is het noodzakelijk dat we op zijn minst de eenhedengrondbeginselen of Physics, vermeld in de Internationaal systeem van eenheden Unit (SI).
Van de fundamentele grootheden, zoals meter, kilogram, seconde en andere, kunnen we alle andere afgeleide grootheden schrijven. De onderstaande tabel toont enkele van de belangrijkste SI-eenheden - het is belangrijk om ze te kennen, bekijk ze:
Grootheid |
Eenheid (symbool - naam) |
Lengte |
m - meter |
Tijd |
s - seconde |
Pasta |
kg - kilogram |
Temperatuur |
K - Kelvin |
Elektrische stroom |
A - Ampère |
Dimensionale analyse van formules
Laten we leren hoe we de dimensionale analyse van a. kunnen doen eenvoudige formule, zoals de gemiddelde snelheid. De gemiddelde snelheid wordt berekend als de verhouding van verplaatsing (ΔS) tot tijdsinterval (Δt).
Als we de fundamentele eenheden van de SI kennen, is het mogelijk om te bepalen dat de verplaatsing moet worden gemeten in meters (m), terwijl het tijdsinterval in seconden (s) moet worden gemeten. De snelheidsmeeteenheid moet dus worden gegeven in meters per seconde (m/s), zie onderstaande figuur:
Zie ook: Bekijk opgeloste oefeningen over uniforme beweging
In de eerder uitgevoerde dimensionale analyse moet u zich realiseren dat het nodig was om de afstand en tijdseenheden, zodat we konden voorspellen wat de eenheid van snelheid zou moeten zijn. Bovendien, aangezien de formule aangaf dat de hoeveelheden afstand en tijd door elkaar werden gedeeld, werden hun eenheden ook gedeeld.
Sommige formules of hoeveelheden kunnen iets meer zijn arbeidsintensief om hun eenheden te bepalen, bekijk een voorbeeld waarin het nodig is dat we, naast de eenheden, de formules kennen waarmee we de hoeveelheden kunnen berekenen die ermee verband houden. Zie hieronder het voorbeeld van de drukformule, waarin we willen bepalen wat de eenheid van P is:
Om de eenheid te vinden waarin de druk moet worden geschreven, volgens de SI, eerst was het nodig voor ons om uw formule. Daarna zouden we moeten weten in welke eenheid de grootte kracht wordt uitgedrukt en voor het geval we het niet wisten, zou het nodig zijn om de formule (F=ma) te kennen om de eenheid te vinden.
Daarna was het noodzakelijk om te onthouden dat oppervlakten worden gemeten in m². Met deze eenheden in de hand gaan we terug naar de formule en we vervangen elke grootte met hun respectievelijke eenheden en we passen de regels van de algebra toe: we delen en vermenigvuldigen tussen de eenheden om ze zoveel mogelijk te vereenvoudigen.
Een belangrijk idee in dimensionale analyse is dat sommige eenheden in lijn kunnen worden geschreven en dit is gebruikelijk in bepaalde oefeningen naarmate de notatie compacter wordt. Bekijk het volgende voorbeeld, daarin tonen we de dimensionale analyse van de versnellingsgrootheid:
Het uitvoeren van de dimensionale analyse van de versnelling, vinden we dat de eenheid de meter per seconde kwadraat (m/s²) is, maar deze eenheid kan compact worden geschreven als eenvoudig Mevrouw-2.
Zie ook:alles over acceleratie
Er is ook de mogelijkheid dat het nodig zal zijn om wat meer fysieke hoeveelheid te bepalen. complex, zoals in het voorbeeld dat we hieronder laten zien. Daarin zullen we de meeteenheid bepalen van de hoeveelheid die wordt genoemd specifieke hitte, veel gebruikt in calorimetrieberekeningen, bekijk:
In de gepresenteerde dimensionale analyse was het nodig om de vergelijking te herschikken om te vinden wat de uitdrukking zou zijn voor de soortelijke warmte ([c]). Als dat eenmaal gedaan is, we blijven de eenheden van elke fysieke hoeveelheid veranderen totdat we twee verschillende antwoorden vinden: in blauw, de eenheid van soortelijke warmte voor de SI, en in rood, de gebruikelijke eenheid van soortelijke warmte.
Het is mogelijk dat het ook nodig is om de maateenheid van een bepaald grootheidfictief. In dit geval werken we een voorbeeld uit van een grootheid Y, die wordt gegeven door het product van een lengte ([L]), een oppervlakte ([A]) en een tijdsinterval ([t]), gedeeld door een massa ( [m]).
Om de maateenheid van deze grootheid te bepalen, volgens de SI, is het noodzakelijk om te onthouden dat de lengte-eenheid de meter (m), dat de oppervlakte-eenheid de vierkante meter (m²) is, dat de tijdseenheid de seconde (s) is en dat de massa-eenheid de kilogram is (kg). De methode die wordt gebruikt om de eenheid van Y te ontdekken, wordt het homogeniteitsprincipe genoemd, dat wil zeggen dat de linkerkant van de vergelijking dezelfde eenheid moet hebben als de rechterkant.
Eenheden converteren met behulp van dimensionale analyse
Met behulp van dimensionale analyse en correspondentie tussen verschillende meetsystemen, is het mogelijk om afgeleide grootheden zoals snelheid, versnelling, kracht enz. Afgeleide grootheden zijn samengesteld uit twee of meer fundamentele fysieke grootheden, en soms is het nodig om ze om te zetten in andere eenheden. Het meest voorkomende voorbeeld van deze toepassing van dimensionale analyse is de transformatie van gemeten snelheid in meters per seconde naar kilometers per uur en vice versa.
De sleutel om deze eenheidsconversie correct uit te voeren, is altijd om de eenheid op een handige manier met 1 te vermenigvuldigen: de maateenheid wijzigen zonder de "waarde" te wijzigen. Dus ondanks het vinden van een andere maatstaf voor de om te rekenen hoeveelheid, zal de schaal ervan zijn gehandhaafd. Bekijk een voorbeeld:
In de gepresenteerde conversie moeten we vaststellen dat 1 km gelijk is aan 1000 m en dat 1 h gelijk is aan 3600 s. Daarna vermenigvuldigen we de snelheidswaarde die werd gemeten in kilometers per uur, met 1, dat wil zeggen 1000 m gedeeld door 1 km en 1 uur gedeeld door 3600 s. Op deze manier was het mogelijk om de eenheid te veranderen en erachter te komen wat de module van deze snelheid zou zijn in de eenheid meters per seconde.
Zie ook: Alles over de wetten van Newton
Dimensionale analyse in Enem
Er zijn verschillende Enem-kwesties waarbij het nodig is om gebruik te maken van dimensionale analyse voor de conversieineenheden correct. De vragen van Enem zullen dit echter meestal niet expliciet maken. Het zal nodig zijn om te beseffen dat de eenheden inconsistent zijn, dat wil zeggen niet-homogeen.
Bekijk enkele voorbeelden van Enem-oefeningen met dimensionale analyse:
Vraag 1) De kaart aan de zijkant geeft een wijk in een bepaalde stad weer, waarbij de pijlen de richting van de wijzers van het verkeer aangeven. Het is bekend dat deze buurt was gepland en dat elk blok dat in de figuur wordt weergegeven een vierkant perceel is, met een zijde gelijk aan 200 meter. Zonder rekening te houden met de breedte van de straten, wat zou de tijd, in minuten, zijn die een bus, met een constante snelheid en gelijk aan 40 km/u, die vertrekt vanaf punt X, zou doen om punt Y te bereiken?
a) 25 minuten
b) 15 minuten
c) 2,5 min
d) 1,5 min
e) 0,15 min
Om deze oefening op te lossen, gebruiken we de formule voor gemiddelde snelheid. Volgens de verklaring is de snelheid van de bus 40 km/u en willen we de tijd noodzakelijk, in minuten, zodat het punt X verlaat en bij punt Y aankomt, met inachtneming van de richtingen van elke weg. Om dit te doen, moet de afstand worden bepaald die door de bus wordt afgelegd.
Als we de richting van de pijlen analyseren, zien we dat de bus naar het zuiden moet rijden, een blok moet verplaatsen, en dan moet hij ga naar het westen, loop een blok, ga dan nog twee blokken naar het noorden en dan een blok naar de westen. Omdat elk blok 200 m lang is, heeft de bus aan het einde van de route in totaal 1000 m gelopen. Laten we de berekening doen:
Om de oefening op te lossen, zetten we eerst de bussnelheid om in kilometers per minuut. Vervolgens vonden we de verplaatsing in kilometers, met behulp van dimensionale analyse en het vergelijken van de hoeveelheden. Ten slotte passen we de waarden toe die worden gevonden in de formule voor gemiddelde snelheid.
Zie ook:Alles over de mechanica die in Enem. vallen
Vraag 2) Hoewel de Body Mass Index (BMI) veel wordt gebruikt, zijn er nog tal van theoretische beperkingen op het gebruik ervan en op de aanbevolen normale waarden. De Reciprocal Weight Index (RIP), volgens het allometrische model, heeft een betere basis wiskunde, aangezien massa een variabele is van kubieke afmetingen en hoogte een variabele van afmetingen is lineair. De formules die deze indexen bepalen zijn:
Als een meisje met 64 kg massa een BMI heeft gelijk aan 25 kg/m2, dus het heeft een RIP gelijk aan:
a) 0,4 cm/kg1/3
b) 2,5 cm/kg1/3
c) 8 cm/kg1/3
d) 20 cm/kg1/3
e) 40 cm/kg1/3
Om deze oefening op te lossen, moeten we de dimensionale analyse van de twee grootheden, de BMI en de RIP, uitvoeren:
Omdat we de BMI en massa van het meisje kennen, is het gemakkelijk om haar lengte te vinden. Daarna passen we deze waarden gewoon toe in de RIP-formule, waarbij de lengte van het meisje wordt omgezet in centimeters om deze te berekenen.
Zie ook: Bekijk hoe je natuurkunde studeert voor de Enem-test
opgeloste oefeningen
Vraag 1) Bepaal de dimensie van de fysieke hoeveelheid X, gedefinieerd door de onderstaande afmetingen, volgens het International System of Units:
a) m-²s¹kg-²
b) m²s (kg)-²
c) m²s (kg)-3
d) m²s-kg-²
e) m²s (kg)-1
Sjabloon: Letter B
Resolutie:
Om de oefening op te lossen, moeten we onthouden dat L de lengte van de hoeveelheid aangeeft, gedefinieerd in meters, T is gebruikt om de tijdhoeveelheid aan te duiden, gemeten in seconden, en M wordt gebruikt om de massahoeveelheid aan te duiden, gemeten in kilogram. Op deze manier is het voldoende om deze hoeveelheden in hun respectieve afmetingen te vervangen:
Door deze eenheid in lijn te schrijven, krijgen we het volgende resultaat: m².s¹.kg-2.
Vraag 2) Bepaal wat de eenheid van de elektrostatische constante moet zijn k0, volgens de wet van Coulomb:
Waar Q en q worden gemeten in C – Coulomb, is d de afstand gemeten in m – meter en is F de elektrische kracht, gemeten in N – Newton. Dus, om de eenheid van k. te vinden0, moeten we de volgende dimensionale analyse doen:
Daarom, volgens de uitgevoerde dimensionale analyse, is de maateenheid van de constante k0 de Nm2.Ç-2.
Door mij Rafael Helerbrock
Bron: Brazilië School - https://brasilescola.uol.com.br/fisica/analise-dimensional.htm