DE numerieke volgorde, zoals de naam al doet vermoeden, is een reeks getallen en meestal heeft een herhalingswet, die het mogelijk maakt om te voorspellen wat de volgende termen zullen zijn om je voorgangers te leren kennen. We kunnen nummerreeksen samenstellen met verschillende criteria, zoals een reeks even nummers of een reeks nummers deelbaar door 4, reeks van priemgetallen, reeks van perfecte vierkanten, ten slotte zijn er verschillende mogelijkheden van reeksen numeriek.
Als we de rij rangschikken op het aantal termen, de reeks kan eindig of oneindig zijn. Wanneer we de reeks classificeren in termen van het gedrag van de termen, kan deze reeks zijn: oplopend, aflopend, oscillerend of constant. Er zijn speciale gevallen van reeksen die bekend staan als rekenkundige reeksen en geometrische reeksen.
Lees ook: Hoe s. te berekenenoma van de voorwaarden van a rekenkundige progressie?
Nummerreeks samenvatting
De numerieke reeks is niets meer dan een reeks getallen.
-
Enkele voorbeelden van numerieke volgorde:
opeenvolging van even getallen (0,2,4,6,8…);
opeenvolging van naturals kleiner dan 6 (1, 2, 3, 4, 5);
reeks priemgetallen (2,3,5,7,11,…).
De wet van vorming van een progressie is de regel die deze reeks regelt.
-
Een rij kan eindig of oneindig zijn.
Eindig: wanneer je een beperkt aantal termen hebt.
Oneindig: wanneer je een onbeperkt aantal termen hebt.
-
Een reeks kan toenemend, ongelovig, constant of fluctuerend zijn.
Halve maan: wanneer de term altijd kleiner is dan zijn opvolger.
Aflopend: wanneer de term altijd groter is dan zijn opvolger.
Constante: wanneer de term altijd gelijk is aan zijn opvolger.
Oscillerend: wanneer er termen zijn die groter en kleiner zijn dan zijn opvolger.
Er zijn speciale gevallen van sequentie bekend als rekenkundige progressie of geometrische progressie.
Niet stoppen nu... Er is meer na de reclame ;)
Wet van voorkomen van nummerreeks
We kennen als numerieke reeks elke reeks gevormd door getallen. Meestal demonstreren we reeksen door hun termen op te sommen, tussen haakjes en gescheiden door een komma. Deze lijst staat bekend als de wet van het voorkomen van een getallenreeks.
(De1, een2, een3, …, eenNee)
De1 → 1e term van de reeks
De2 → 2e term van de reeks
De3 → 3e term van de reeks
DeNee → nde term van de reeks
Laten we eens kijken naar enkele voorbeelden hieronder.
Voorbeeld 1:
Wet van voorkomen van getallenreeks veelvouden van 5:
(0, 5, 10, 15, 20, 25, …)
Voorbeeld 2:
Wet van optreden van de rij van priemgetallen:
(2,3,5,7,11,13,17,19,23 … )
Voorbeeld 3:
Wet van optreden van heel negatief:
( – 1, – 2, – 3, – 4, – 5, – 6, – 7...)
Voorbeeld 4:
Opeenvolging van oneven getallen kleiner dan 10:
(1, 3, 5, 7, 9)
Lees ook: Wat zijn de eigenschappen van oneven en even getallen?
Numerieke volgordeclassificatie
Er zijn twee verschillende manieren om een string te classificeren. De eerste is wat betreft het aantal termijnen, de manier waarop een reeks eindig of oneindig kan zijn. De andere manier om reeksen te classificeren is: wat betreft hun gedrag. In dit geval worden ze geclassificeerd als toenemend, afnemend, constant of fluctuerend.
Classificatie door het aantal termen amount
→ eindige getallenreeks
De rij is eindig als het heeft een beperkt aantal voorwaarden.
Voorbeelden:
(1, 2, 3, 4, 5)
(– 16, – 8, – 4, – 2, – 1)
→ oneindige nummerreeks
De rij is oneindig wanneer deze een onbeperkt aantal termen heeft.
Voorbeelden:
(10, 100, 1.000, 10.000, 100.000, 1.000.000 … )
(– 5, – 8, – 11, – 14, – 17, – 20, – 23 … )
Gedragsbeoordeling
→ Oplopende nummerreeks
Een reeks is oplopend wanneer een term altijd kleiner is dan zijn opvolger achter elkaar.
Voorbeelden:
(0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, … )
( – 5, – 3, – 1, 1, 3, 5, 7)
→ Aflopende nummerreeks
Een reeks is aflopend wanneer een term altijd groter is dan zijn opvolger achter elkaar.
Voorbeelden:
(10, 7, 4, 1, – 2, – 5, – 8 … )
(4, – 8, – 16, – 32, – 64 )
→ constante getallenreeks
Een rij is constant wanneer alle termen in de reeks zijn hetzelfde:
Voorbeelden:
(1, 1, 1, 1, 1, 1, 1,)
( – 4, – 4, – 4, – 4 … )
→ Oscillerende nummerreeks
Er zwaait een reeks wanneer er termen zijn die groter zijn en termen die kleiner zijn dat hun respectieve opvolgers in de volgorde:
Voorbeelden:
(1,-2,4,-8,16,-32,64...)
(1, – 1, 1, – 1, 1, – 1)
Wet op de vorming van getallenreeksen
Sommige sequenties kunnen worden beschreven door a formule die uw voorwaarden genereert. Deze formule staat bekend als de wet van vorming. We gebruiken de wet van vorming om elke term in de reeks te vinden als we het gedrag ervan kennen.
voorbeeld 1:
De volgende reeks wordt gevormd door perfecte vierkanten:
(0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 64, … )
We kunnen deze reeks beschrijven met de wet van vorming:
DeNee = (n – 1)²
n → term nummer
DeNee → de positieterm Nee
Met deze formule is het bijvoorbeeld mogelijk om de term te kennen die positie nummer 10 in de reeks inneemt:
De10 = ( 10 – 1) ²
De10 = 9²
De10 = 81
Voorbeeld 2:
Noem de termen van de rij waarvan de vormingswet de. isNee = 2n – 5.
Om een lijst te maken, vinden we de eerste termen in de reeks:
1e termijn:
DeNee = 2n - 5
De1 = 2·1 – 5
De1 = 2 – 5
De1 = – 3
2e termijn:
DeNee = 2n - 5
De2 = 2·2 – 5
De2 = 4 – 5
De2 = – 1
3e termijn:
DeNee = 2n - 5
De3 = 2·3 – 5
De3 = 6 – 5
De3 = 1
4e termijn:
DeNee = 2n - 5
De4 = 2·4 – 5
De4 = 8 – 5
De4 = 3
5e termijn:
De5 = 2n - 5
De5 = 2·5 – 5
De5 = 10 – 5
De5 = 5
Dus de volgorde is:
(– 1, 1, 3, 5 … )
Zie ook: Romeinse cijfers — numeriek systeem dat letters gebruikt om waarden en hoeveelheden weer te geven
Rekenkundige progressie en geometrische progressie
Ze bestaan speciale gevallen van reeksen die bekend staan als rekenkundige progressie en geometrische progressie. Een reeks is een progressie wanneer er een reden is voor een term voor zijn opvolger.
rekenkundige progressie
Wanneer we de eerste term in de reeks kennen en, om de tweede te vinden,we voegen toe de eerste naar een waarde r en om de derde term te vinden, voegen we de tweede toe aan dezelfde waarde. r, enzovoort, de tekenreeks is geclassificeerd als a rekenkundige progressie.
Voorbeeld:
(1, 5, 9, 13, 17, 21, …)
Dit is een rekenkundige progressie van de verhouding gelijk aan 4 en de eerste term gelijk aan 1.
Merk op dat om de opvolger van een getal in de reeks te vinden, gewoon 4 optelt, dus we zeggen dat 4 de reden is voor deze rekenkundige progressie.
Geometrische progressie
Bij geometrische progressie, er is ook een reden, maar in dit geval, om de opvolger van een term te vinden, moeten we de term vermenigvuldigen met de verhouding.
Voorbeeld:
(2, 6, 18, 54, 162, … )
Dit is een geometrische progressie van de verhouding gelijk aan 3 en de eerste term gelijk aan 2.
Merk op dat om de opvolger van een getal in deze reeks te vinden, je simpelweg vermenigvuldigt met 3, waardoor de verhouding van deze geometrische progressie 3 wordt.
opgeloste oefeningenover nummerreeks
Vraag 1 - Als we de reeks analyseren (1, 4, 9, 16, 25,... ), kunnen we zeggen dat de volgende twee getallen zullen zijn:
A) 35 en 46.
B) 36 en 49.
C) 30 en 41.
D) 41 en 66.
Resolutie
alternatief B.
Om de termen van de reeks te vinden, is het belangrijk om een regelmaat in de reeks te vinden, dat wil zeggen, om de wet van voorkomen ervan te begrijpen. Merk op dat we van de eerste term tot de tweede term 3 optellen; van de tweede tot de derde term voegen we 5 toe; van de derde naar de vierde term en van de vierde naar de vijfde term tellen we respectievelijk 7 en 9 op, zodat de som met twee toeneemt eenheden aan elke term van de reeks, dat wil zeggen, in de volgende zullen we 11 optellen, dan 13, dan 15, dan 17 enzovoort achtereenvolgens. Om de opvolger van 25 te vinden, voegen we er 11 toe.
25 + 11 = 36.
Om de opvolger van 36 te vinden, voegen we er 13 toe.
36 + 13 = 49
Dus de volgende termen zijn 36 en 49.
Vraag 2 - (AOCP Institute) Vervolgens wordt een numerieke reeks gepresenteerd, zodat de elementen van deze reeks waren: gerangschikt volgens een (logische) vormingswet, waarbij x en y gehele getallen zijn: (24, 13, 22, 11, 20, 9, x, j). Door deze reeks te observeren en de waarden van x en y te vinden, volgens de wet van vorming van de gegeven reeks, is het correct om te stellen dat
A) x is een getal groter dan 30.
B) y is een getal kleiner dan 5.
C) de som van x en y resulteert in 25.
D) het product van x en y geeft 106.
E) het verschil tussen y en x, in die volgorde, is een positief getal.
Resolutie
alternatief C.
We willen de 7e en 8e term van deze rij vinden.
Als we de wet van voorkomen van de rij (24, 13, 22, 11, 20, 9, x, y) analyseren, is het mogelijk om te zien dat er een logica is voor de oneven termen (1e term, 3e term, 5e term … ). Merk op dat de 3e term gelijk is aan de 1e term min 2, aangezien 24 – 2 = 22. Met dezelfde logica zal de 7e term, weergegeven door x, de 5e term minus 2 zijn, dat wil zeggen x = 20 – 2 = 18.
Er is een vergelijkbare logica voor de even termen (2e term, 4e term, 6e term…): de 4e term is de 2e term min 2, aangezien 13 – 2 = 11, enzovoort. We willen de 8e term, voorgesteld door y, wat de 6e term minus 2 zal zijn, dus y = 9 – 2 = 7.
Dus we hebben x = 18 en y = 7. Als we de alternatieven analyseren, hebben we dat x + y = 25, dat wil zeggen, de som van x en y resulteert in 25.
Door Raul Rodrigues de Oliveira
Wiskundeleraar
