Jūs iracionāli skaitļi ilgu laiku izraisīja lielu satraukumu matemātiķos. Šodien, jau precīzi definējot, mēs kā iracionālu skaitli pazīstam to, kura decimāldaļu attēlojums vienmēr ir neperiodisks decimālskaitlis. Iracionālo cilvēku galvenā īpašība un tas, kas tos atšķir no racionālajiem skaitļiem, ir tas, ka viņi nevar pārstāvēt a frakcija.
Iracionālo skaitļu izpēte tika padziļināta, kad, aprēķinot problēmas, kas saistītas ar Pitagora teorēmu, tika atrastas neprecīzas saknes. Darbs, meklējot risinājumu šīm neprecīzajām saknēm, padarīja nepatiesu desmito tiesu pastāvēšanu ievērojamu periodisks, tas ir, skaitļiem, kuru decimāldaļa ir bezgalīga un kam nav laba secība. definēts. Galvenie iracionālie skaitļi ir neperiodiski skaitļi aiz komata, neprecīzi saknes un π.
Lasiet arī: Kvadrātsakne - sakņu gadījums, kur radikālais indekss ir 2
Iracionālu skaitļu kopa
Pirms iracionālo skaitļu izpētes tika pētītas skaitļu kopas dabiski, veseli skaitļi un pamatojums. Padziļinoties taisnstūra trīsstūra izpētē, kļuva skaidrs
ir dažas saknes, kurām nav precīzu risinājumuit īpaši varēja redzēt, ka neprecīzi sakņu risinājumi ir skaitļi pazīstama kā neperiodiska desmitā tiesa.Šo nemieru vidū daudzi matemātiķi ir nesekmīgi mēģinājuši pierādīt, ka neprecīzas saknes ir racionāli skaitļi un ko var attēlot kā daļu, bet tika saprasts, ka šos skaitļus šajā nevar attēlot formā. Tā kā līdz šim racionālo skaitļu kopā šie skaitļi nebija iekļauti, radās nepieciešamība izveidot jaunu kopu, kas pazīstama kā iracionālo skaitļu kopa.
Skaitlis ir iracionāls, ja tā decimāldaļa ir neperiodiska decimāldaļa. |
Kas ir iracionāli skaitļi?
Lai tas būtu iracionāls skaitlis, tam jāatbilst definīcijai, tas ir, tā decimāldaļa ir neperiodiska decimāldaļa. Periodisko decimāldaļu galvenā iezīme ir tā, ka tos nevar attēlot ar daļu, kas parāda, ka iracionālie skaitļi ir pretēji racionālajiem skaitļiem.
Galvenie skaitļi ar šo funkciju ir saknes nav precīzas.
Piemēri:
a) √2
b) √5
c) √7
d) √13
Meklējot neprecīzus saknes risinājumus, tas ir, vienmēr veicot šo skaitļu decimālo attēlojumu mēs atradīsim neperiodisku decimāldaļu, kas padara šos skaitļus par kopas elementiem neracionāls.
Papildus neprecīzām saknēm ir arī pašas periodiskās decimāldaļas, piemēram, ja aprēķinām neprecīzas saknes, mēs atradīsim neperiodisku decimāldaļu.
√2 = 1,41421356...
√5= 2,23606797...
Iracionālie skaitļi parasti tiek attēloti ar grieķu burtiem, jo nav iespējams uzrakstīt visas tās zīmes aiz komata.
Pirmais ir π (lasīt: pi), kas atrodas apļa laukuma un perimetra aprēķināšanā. Vērtība ir vienāda ar 3,1415926535…
Papildus π vēl viens ļoti izplatīts skaitlis ir ϕ (lasīt: fi). Viņš ir sastopams problēmās, kas saistītas ar proporcija zeltaini. Tā vērtība ir vienāda ar 1,618033 ...
Skatīt arī: Kas ir galvenie skaitļi?
racionāls un iracionāls skaitlis
Analizējot skaitļu kopas, ir svarīgi nošķirt racionālos skaitļus no iracionālajiem skaitļiem. Šo divu kopu savienojums veido vienu no matemātikā visvairāk pētītajām kopām, reālo kopu, tas ir, reālie skaitļi tā ir skaitļu apvienošana, ko var attēlot kā frakcijas (racionālas) ar skaitļiem, kurus nevar attēlot kā frakcijas (iracionālas).
Komplektā racionāli skaitļi, ir veseli skaitļi, dabiskie skaitļi, precīzie cipari aiz komata un periodiskie cipari aiz komata.
Racionālu skaitļu piemēri:
-60 → vesels skaitlis
2,5 → precīzs cipars aiz komata
5.1111111… → periodiska decimāldaļa
Iracionālie skaitļi ir neperiodiski cipari aiz komata, tāpēc nav skaitļa, kas būtu vienlaikus racionāls un iracionāls.
Iracionālu skaitļu piemērs:
1,123149... → neperiodiska desmitā tiesa
2.769235... → neperiodiska desmitā tiesa
Darbības ar iracionāliem skaitļiem
saskaitīšana un atņemšana
papildinājums un atņemšana no diviem iracionāliem skaitļiem parasti ir tikko pārstāvēts, ja vien netiek izmantots šo skaitļu tuvinājums decimāldaļai, piemēram:
a) √6 + √5
b) √6 - √5
c) 1.414213… + 3.1415926535…
Radikāļu dēļ mēs nevaram pievienot vai atņemt vērtības, tāpēc mēs tikko atstājām norādīto darbību.
Decimāldaļās arī nav iespējams izpildīt precīzu summu, tātad lai pievienotu divus iracionālus skaitļus, mums ir nepieciešams racionāls tuvinājums., un šo attēlojumu izvēlas atbilstoši vajadzībai pēc šo datu precizitātes. Jo vairāk aiz komata mēs ņemsim vērā, jo tuvāk būsim precīzai summai.
Novērojums:iracionālo skaitļu kopa nav slēgta saskaitīšanai vai atņemšanai, tas nozīmē, ka divu iracionālu skaitļu summas rezultātā var tikt iegūts skaitlis, kas nav racionāls. Piemēram, ja mēs aprēķinām iracionāla skaitļa starpību ar pretējo, mums:
a) √2 - √2 = 0
b) π + (-π) = 0
Mēs zinām, ka 0 nav iracionāls skaitlis.
Reizināšana un dalīšana
Reizināšana un sadalīšana no iracionāliem skaitļiem var izdarīt, ja pārstāvība ir a izstarošanatomēr, tāpat kā papildinājums, decimāldaļās, tas ir, reizinot vai dalot divus ciparus aiz komata, ir nepieciešama šī skaitļa racionāla tuvināšana.
a) √7 · √5 = √35
b) √32: √2 = √16 = 4
Ņemiet vērā arī to, ka, piemēram, b, 4 ir racionāls skaitlis, kas nozīmē, ka divu iracionālu skaitļu reizināšana un dalīšana nav slēgta, tas ir, tiem var būt racionāls rezultāts.
atrisināti vingrinājumi
Jautājums 1 - Pārskatiet šādus numurus:
I) 3.1415926535
II) 4,1234510….
III) 2π
IV) 1.123123123 ...
V) √36
VI) √12
Tie ir iracionāli skaitļi:
A) Tikai I, IV un V
B) Tikai II, III un VI
C) Tikai II, IV un VI
D) Tikai I, II, III un VI
E) Tikai III, IV, V un VI
Izšķirtspēja
B alternatīva
I → skaitlis ir precīzi decimāls, racionāls.
II → skaitlis ir neperiodisks, iracionāls decimāls.
III → π ir iracionāls, un tā dubultā, tas ir, 2π, arī iracionāls.
IV → skaitlis ir periodisks, racionāls cipars aiz komata.
V → precīza, racionāla sakne.
VI → sakne nav precīza, iracionāla.
2. jautājums - Lūdzu, vērtējiet šādus apgalvojumus:
I - Reālo skaitļu kopa ir racionālu un iracionālu savienība;
II - divu iracionālu skaitļu summa var būt racionāls skaitlis;
III - desmitā tiesa ir iracionāli skaitļi.
Analizējot apgalvojumus, mēs varam teikt, ka:
A) Patiesi ir tikai I apgalvojums.
B) Tikai II apgalvojums ir patiess.
C) Tikai III apgalvojums ir patiess.
D) Patiesi ir tikai I un II apgalvojumi.
E) Visi apgalvojumi ir patiesi.
Izšķirtspēja
D alternatīva
I → Patiesi, jo reālo skaitļu kopas definīcija ir savienojums starp racionālo un iracionālo.
II → Patiesi, pievienojot skaitli pretēji tam, mums būs skaitlis 0, kas ir racionāls.
III → Viltus, neperiodiskas desmitās tiesas ir neracionālas.
Autors Rauls Rodrigess de Oliveira
Matemātikas skolotājs
Avots: Brazīlijas skola - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/numeros-irracionais.htm