Darbības ar vektoriem un ģeometriskie attēlojumi

Atšķirībā no viņa veidotajām ģeometriskajām figūrām Rezultāts nav definīcijas. Tas nozīmē, ka ģeometrijā punkts ir nedefinēts objekts, ko izmanto, definējot citus objektus. Piemēram, līnijas ir punktu kopas. Lai gan tās izskatās labi definētas, līnijām arī nav definīcijas, jo jebkura kopa, kas satur divus vai vairāk punktus, tiek uzskatīta par taisnu.

No otras puses, analītiskajā ģeometrijā punkts tiek ņemts par vietu. Jebkuru vietu var attēlot ar punktu, turklāt šī punkta “adrese” tiek norādīta ar koordinātām.

Tomēr analītiskajā ģeometrijā punkti var norādīt tikai atrašanās vietas. Citi objekti ir nepieciešami, lai norādītu trajektoriju, virzienu, virzienu un intensitāti. Šo pēdējo trīs gadījumā objekts, kas izvēlēts attēlot tos Dekarta plaknē, ir vektors.

→ Kas ir vektors?

Vektori, tāpēc ir objekti, kas norāda virzienu, sajūtu un intensitāti. Parasti tos attēlo bultiņas, kas sākas no sākuma, un tiek izmantotas to pēdējā punkta koordinātas.

Iepriekš redzamajā attēlā vektori tiek attēloti šādā veidā, tas ir, bultiņas, kuru koordinātas atbilst to pēdējam punktam. Vektoram u ir koordinātas (2,2) un vektoram v ir koordinātas (4,2). Arī bultiņa tiek izmantota virziena un virziena norādīšanai, un tās lielums norāda intensitāti.

→ Vektoru reizināšana ar skaitli

Ņemot vērā vektoru v = (a, b), reālā skaitļa k reizinājums ar v tiek iegūts ar izteicienu:

k · v = k · (a, b) = (k · a, k · b)

Citiem vārdiem sakot, lai reizinātu reālu skaitli ar vektoru, reālais skaitlis ir jāreizina ar katru tā koordinātu.

Ģeometriski, reizinot vektoru ar reālu skaitli, vektora lielums palielinās lineāri:

Ņemiet vērā, ka iepriekš minētajā piemērā vektoram u ir koordinātas (2.2) un vektoram u · k ir koordinātas (4.4). Atrisinot vienādojumu (4.4) = k (2.2), varam secināt, ka k = 2.

→ vektoru pievienošana

Ņemot vērā divus vektorus u = (a, b) un v = (c, d), summa starp tiem tiks iegūta, izmantojot izteicienu:

u + v = (a + c, b + d)

Citiem vārdiem sakot, vienkārši saskaitiet katra vektora attiecīgās koordinātas. Šo darbību var izvērst, pieskaitot 3 vai vairāk vektorus ar 3 vai vairāk izmēriem.

Ģeometriski, sākot no vektora u galapunkta, vektoru v 'velk paralēli vektoram v. Sākot no vektora v, vektoru u 'velk paralēli vektoram u. Šie četri vektori veido paralelogramu. Vektors u + v ir šāda paralelograma diagonāle:

Lai atņemtu vektorus, uzskatiet atņemšanu par viena vektora summu un pretēju citam. Piemēram, lai vektoru v atņemtu no vektora u, uzrakstiet: u - v = u + (-v). -V vektors ir v vektors, bet ar koordinātu zīmēm ir apgrieztas.

Rūpīgi skatoties, darbības "vektora reizināšana ar skaitli" un "vektoru pievienošana" izmantot reizināšanas un saskaitīšanas operācijas ar reāliem skaitļiem, bet ar katru skaitļa komponentu vektors. Tāpēc vektoriem ir derīgas visas reālo skaitļu saskaitīšanas un reizināšanas īpašības, proti:

Ņemot vērā vektorus u, v un w, kā arī reālos skaitļus k un l,

i) (u + v) + w = ​​u + (v + w)

ii) u + v = v + u

iii) ir vektors 0 = (0.0) tāds, ka v + 0 = v

iv) Ir tāds vektors -v, ka v + (-v) = 0

v) k (u + v) = ku + kv

vi) (k + l) v = kv + lv

vii) kl (v) = k (lv)

viii) 1v = v

→ Vektora standarts

Vektora norma ir reālā skaitļa lieluma ekvivalents, tas ir, attālums starp vektoru un punktu (0,0) vai, atkarībā no atskaites ietvara, vektora garums.

Vektora v = (a, b) norma tiek apzīmēta ar || v || un to var aprēķināt, izmantojot izteicienu:

|| v || = √ (a² + b²)

→ Iekšējais produkts

Iekšējais produkts ir salīdzināms ar vektoru reizinājumu. Ņemiet vērā, ka iepriekš minētais reizinājums ir reizinājums starp vektoru un reālo skaitli. Tagad attiecīgais “produkts” atrodas starp diviem vektoriem. Tomēr nevajadzētu teikt “produkts starp diviem vektoriem”, bet gan “iekšējais produkts starp diviem vektoriem”. Iekšējo reizinājumu starp vektoriem v = (a, b) un u = (c, d) apzīmē ar un to var aprēķināt šādi:

= a · c + b · d

Ir arī ierasts izmantot šādu apzīmējumu:

=

Ņemiet vērā, ka, izmantojot vektora normu v = (a, b), mēs varam saistīt normu un punktu reizinājumu.

|| v || = √ (a² + b²) = √ (a · a + b · b) = √ ()

Autors Luizs Paulo Moreira
Beidzis matemātiku

Avots: Brazīlijas skola - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/operacoes-com-vetores-representacoes-geometricas.htm