Lineārās sistēmas: kas tās ir, kā atrisināt, veidi

Atrisiniet sistēmāmlineārs tas ir ļoti atkārtots uzdevums studijām dabaszinātņu un matemātikas jomās. Nezināmu vērtību meklēšana izraisīja metožu izstrādi lineāru sistēmu risināšanai, piemēram, pievienošanas, vienlīdzības un aizstāšanas metodi sistēmām, kurām ir divi vienādojumi un divi nezināmieun Krammera likums un mērogošana, kas atrisina divu vienādojumu lineārās sistēmas, bet kas ir ērtāk sistēmām ar vairāk vienādojumiem. Lineārā sistēma ir divu vai vairāku vienādojumu kopa ar vienu vai vairākiem nezināmiem.

Lasiet arī:Kāda ir sakarība starp matricām un lineārajām sistēmām?

Lineārās sistēmas.

lineārais vienādojums

Darbs ar vienādojumiem pastāv jāatrod nezināmas nezināmas vērtības. Mēs to saucam par vienādojumu, ja mums ir algebriska izteiksme ar vienlīdzību, un tas tiek klasificēts kā lineārs, ja tā nezināmo lielākais eksponents ir 1, kā parādīts šādos piemēros:

2x + y = 7 → lineārais vienādojums ar diviem nezināmiem

a + 4 = -3 → lineārais vienādojums ar vienu nezināmu

Parasti lineāro vienādojumu var aprakstīt šādi:

The₁x₁ +₂x₂ + a3x3... + a_Nēx_Nē = c

Mēs zinām kā vienādojumu sistēmu, ja ir vairāk nekā viens lineārs vienādojums. Mēs sāksim ar divu nezināmu lineārām sistēmām.

Lineāru sistēmu risināšana

• Lineārās sistēmas ar diviem 1. pakāpes vienādojumiem un diviem nezināmiem

Lai atrisinātu divu vienādojumu un divu nezināmu sistēmu, ir vairāki metodes, trīs pazīstamākie ir:

• salīdzināšanas metode
• pievienošanas metode
• aizstāšanas metode

Jebkurš no trim var atrisināt divu vienādojumu un divu nezināmu lineāru sistēmu. Šīs metodes nav tik efektīvas sistēmām, kurās ir vairāk vienādojumu, jo to novēršanai ir citas īpašas metodes.

• Aizstāšanas metode

Aizstāšanas metode sastāv no izolēt vienu no nezināmajiem vienā no vienādojumiem un veiciet aizstāšanu otrā vienādojumā.

Piemērs:

1. solis: izolēt vienu no nezināmajiem.

Mēs saucam I par pirmo vienādojumu un II par otro vienādojumu. Analizējot abus, pieņemsim izvēlieties nezināmo, kuru visvieglāk izolēt. Ņemiet vērā, ka vienādojums I → x + 2y = 5, x nav koeficienta, kas atvieglo izolēšanu, tāpēc mēs pārrakstīsim man patīkamo vienādojumu:

I → x + 2y = 5

Es → x = 5 - 2 g

2. solis: aizstāt I II.

Tagad, kad mums ir vienādojums I tikai ar x, II vienādojumā mēs varam aizstāt x ar 5 - 2y.

II → 3x - 5y = 4

X aizstāšana ar 5 - 2y:

3 (5 - 2 g) - 5 g = 4

Tagad, kad vienādojumam ir tikai viens nezināms, to ir iespējams atrisināt, lai atrastu y vērtību.

Zinot y vērtību, mēs atradīsim x vērtību, aizstājot y vērtību Y vienādojumā.

Es → x = 5 - 2 g

x = 5 - 2 · 1

x = 5 - 2

x = 3

Tātad sistēmas risinājums ir S = {3,1}.

• Salīdzināšanas metode

Salīdzināšanas metode sastāv no abos vienādojumos izolējiet nezināmo un izlīdziniet šīs vērtības.

Piemērs:

1. solis: lai es būtu pirmais vienādojums un II otrais, izolēsim vienu no nezināmajiem I un II. Izvēloties izolēt nezināmo x, mums:

2. solis: vienādojiet abus jaunos vienādojumus, jo x = x.

3. solis: aizstājiet y vērtību ar -2 vienā no vienādojumiem.

x = -4 - 3g

x = -4 - 3 (-2)

x = -4 + 6

x = 2

Tātad šīs sistēmas risinājums ir kopa S = {2, -2}.

Skatīt arī: Kādas ir funkcijas un vienādojuma atšķirības?

• pievienošanas metode

Pievienošanas metode sastāv no viena vienādojuma visu terminu pavairošanas tādā veidā, ka, kad pievienojiet II vienādojumam I vienādojumu, viens no tā nezināmajiem ir vienāds ar nulli.

Piemērs:

1. solis: reiziniet vienu no vienādojumiem tā, lai koeficienti būtu pretēji.

Ņemiet vērā, ka, reizinot II vienādojumu ar 2, mums ir 4y II vienādojumā un -4y I vienādojumā un ka ar saskaitām I + II, iegūstam 0y, tāpēc visus II vienādojuma nosacījumus reizināsim ar 2, lai tas notikt.

I → 5x - 4y = -5

2 · II → 2x + 4y = 26

2. solis: veikt summu I + 2 · II.

3. solis: aizstājiet x = 3 vērtību vienā no vienādojumiem.

• Lineārās sistēmas ar trim 1. pakāpes vienādojumiem un trim nezināmiem

Kad sistēmai ir trīs nezināmi, mēs izmantojam citas risināšanas metodes. Visas šīs metodes ir saistītas ar koeficientiem ar matricām, un visbiežāk izmantotās metodes ir Krammera likums vai mērogošana. Izšķirtspējai abās metodēs ir nepieciešams sistēmas matricas attēlojums, ieskaitot 2x2 sistēmu var attēlot ar matricas palīdzību. Ir divi iespējamie attēlojumi: pilnīga matrica un nepilnīga matrica:

Piemērs:

Sistēma 

Var pārstāvēt ar pilna matrica

Un par nepilnīga matrica

• Krammera likums

Lai atrastu risinājumus 3x3 sistēmai ar nezināmiem x, y un z, izmantojot Krammera likums, jāaprēķina nepilnīgās matricas un tās variāciju noteicošais faktors. Tāpēc mums ir:

D → sistēmas nepilnīgās matricas noteicējs.

D_x → sistēmas nepilnīgās matricas noteicējs, aizstājot x kolonnu ar neatkarīgo terminu kolonnu.

D_y → sistēmas nepilnīgas matricas noteicējs, aizstājot y kolonnu ar neatkarīgo terminu kolonnu.

D_z → sistēmas nepilnīgas matricas noteicējs, aizstājot z kolonnu ar neatkarīgo terminu kolonnu.

Tātad, lai atrastu nezināmo vērtību, mums vispirms jāaprēķina noteicošais D, D_x, D_y kas saistīti ar sistēmu.

Piemērs:

1. solis: aprēķināt D.

2. solis: aprēķināt D_x.

3. solis: tad mēs varam atrast x vērtību, jo:

4. solis: aprēķiniet D_y.

5. solis: tad mēs varam aprēķināt y vērtību:

6. solis: Tagad, kad mēs zinām x un y vērtību, abās rindās mēs varam atrast z vērtību, aizstājot x un y vērtību un izolējot z. Vēl viena iespēja ir aprēķināt D_z.

Pirmajā vienādojumā aizstājot x = 0 un y = 2:

2x + y - z = 3

2 · 0 + 2 - z = 3

0 + 2 - z = 3

-z = 3 - 2

-z = -1 (-1)

 z = -1

Tāpēc sistēmas risinājums ir piedāvājums (0,2, -1).

Piekļūstiet arī: Problēmu risināšana ar vienādojumu sistēmām

• mērogošana

Vēl viena lineāru sistēmu risināšanas metode ir mērogošana, kurā mēs izmantojam tikai pilnīgu matricu un darbības starp līnijām, lai izolētu to nezināmos. Mērogosim zemāk esošo sistēmu.

1. solis: uzrakstiet visu matricu, kas attēlo sistēmu.

būt L₁, L₂ un L₃ attiecīgi matricas 1., 2. un 3. līnijas, mēs veiksim darbības starp L₁ un L₂ un L₁ un L₃, tā ka rezultāts padara nosacījumus, kas atrodas otrās un trešās rindas pirmajā kolonnā, vienādi ar nulli.

Analizējot matricas otro līniju, aizstāsim to ar rezultātu L2 → -2 · L1 + L2, lai nullei izslēgtu terminu a21.

The₂₁ = -2 · 1 + 2 = 0

The₂₂ = -2 · 2 + 1 = -3

The₂₃ = -2 · (-3) + 1 = 7

The₂₄ =-2 · 10 + 3 = -17

Tātad L₂ būs 0 -3 7 -17.

Analizējot matricas trešo rindu, aizstāsim to ar rezultātu L3 → 3L1 + L_2, lai atiestatītu termiņu uz_31.

The₃₁ = 3 · 1 – 3 = 0

The₃₂ = 3 · 2 + 2 = 8

The₃₃ = 3 · (-3) +1 = -8

The₃₄ = 3 · 10 – 6 = 24

Tātad L₃ būs 0 8 -8 24.

Ņemiet vērā, ka visi ir dalāmi ar 8, tāpēc L līnija₃ saglabājiet to vienkārši, dalīsim to ar 8.

L₃ → L₃ : 8 būs: 0 1-1 3.

Tātad jaunā mērogotā vienādojuma matrica būs:

Tagad mērķis ir atiestatīt y kolonnu trešajā rindā, mēs veiksim darbības starp L₂ un L₃, ar mērķi atiestatīt viena no tām otro kolonnu.

Mēs aizstāsim L3 ar L3 → L₂ + 3L₃.

The₃₁ = 0 + 3 · 0 = 0

The₃₂ = -3 + 3 · 1 = 0

The₃₃ = 7 + 3 · (-1) = 4

The₃₄ = -17 + 3 · 3 = -8

Tātad L₃ būs: 0 0 4 -8.

Jaunā mērogotā matrica būs:

Tagad, kad mēs atkal parādīsim šo matricu kā sistēmu, kolonnām pievienojot x, y un z, mēs atradīsim:

Pēc tam mēs varam atrast katra nezināmā vērtību. Analizējot III vienādojumu, mums:

Ja z = -2, aizstāsim z vērtību otrajā vienādojumā:

Visbeidzot, pirmajā vienādojumā aizstāsim y un z vērtību, lai atrastu x vērtību.

Skatīt arī: 1. pakāpes nevienlīdzību sistēma - kā to atrisināt?

lineārā sistēmas klasifikācija

Lineārā sistēma ir lineāru vienādojumu kopa, kurai var būt vairāki nezināmie un vairāki vienādojumi. Ir vairākas metodes, kā to atrisināt, neatkarīgi no vienādojumu skaita. ir trīs vērtējumi lineārai sistēmai.

• Noteikta iespējamā sistēma (SPD): kad jums ir viens risinājums.
• Nav noteikta iespējamā sistēma (SPI): kad tam ir bezgalīgi risinājumi.
• neiespējama sistēma(SI): kad risinājuma nav.

Vingrinājumi atrisināti

jautājums 1 (IFG 2019) Apsveriet pamatnes un augstuma mērījumu summu attiecībā pret trijstūra pamatni, kas vienāda ar 168 cm, un starpību, kas vienāda ar 24 cm. Ir pareizi apgalvot, ka pamatnes un augstuma mērījumi attiecīgi attiecībā pret šo pamatmērījumu:

a) 72 cm un 96 cm

b) 144 cm un 24 cm

c) 96 cm un 72 cm

d) 24 cm un 144 cm

Izšķirtspēja

C alternatīva

Ļaujiet h → augstumam un b → bāzei, tad mums ir šāda sistēma:

Pēc pievienošanas metodes mums:

Lai atrastu h vērtību, aizvietosim b = 96 cm pirmajā vienādojumā:

b + h = 168

96 + h = 168

h = 168 - 96

h = 72 cm

2. jautājums Nepabeigta matrica, kas attēlo šādu lineāro sistēmu, ir:

Izšķirtspēja

C alternatīva

Nepabeigta matrica ir tā, kuras koeficienti ir x, y un z, tāpēc tā būs 3x3 matrica. Analizējot alternatīvas, tā, kas satur 3x3 matricu ar pareizajām zīmēm, ir C burts.

Autors Rauls Rodrigess de Oliveira
Matemātikas skolotājs

Avots: Brazīlijas skola - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/sistemas-lineares.htm