Polinoma sadalīšanās teorēma

Algebras fundamentālā teorēma par polinomu vienādojumi to garantē "katra polinoma pakāpe n ≥ 1 ir vismaz viena sarežģīta sakne ". Šo teorēmu pierādīja matemātiķis Frīdrihs Gauss 1799. gadā. No tā mēs varam demonstrēt polinoma sadalīšanās teorēma, kas garantē, ka jebkuru polinomu var sadalīt pirmās pakāpes faktoros. Paņemiet šādu polinomu p (x) pakāpes n ≥ 1 un_Nē ≠ 0:

p (x) = a_Nē x^Nē +_n-1 x^n-1 +… +₁x¹ +₀

Izmantojot algebras fundamentālo teorēmu, mēs varam apgalvot, ka šim polinomam ir vismaz viena sarežģīta sakne. u₁, tāds, ka p (u₁) = 0. O D'Alemberta teorēma uz polinomu dalīšana nosaka, ka, ja p (u₁) = 0, pēc tam p (x) ir dalāms ar (x - u₁), kā rezultātā tiek iegūts koeficients kas₁x), kas ir grāda polinoms (n - 1), kas liek mums teikt:

p (x) = (x - u₁). kas₁x)

No šī vienādojuma ir jāizceļ divas iespējas:

Ja u = 1 un kas₁x) ir pakāpes polinoms (n - 1), pēc tam kas₁x) ir grāds 0. Kā dominējošais koeficients p (x) é The_Nē, kas₁x) ir nemainīgs tipa polinoms kas₁x)=The_Nē. Tātad mums ir:

p (x) = (x - u₁). kas₁x)
(x) = (x - u₁). The_Nē
p (x) = a_Nē . (x - u₁)

Bet ja u ≥ 2, tad polinoms kas₁ ir grāds n - 1 ≥ 1 un algebras pamatteorēma ir spēkā. Mēs varam teikt, ka polinoms kas₁ ir vismaz viena sakne Nē₂, kas liek mums to teikt kas₁ var rakstīt kā:

kas₁(x) = (x - u₂). kas₂x)

Bet kā p (x) = (x - u₁). kas₁(x), mēs varam to pārrakstīt šādi:

p (x) = (x - u₁). (x - u₂). kas₂x)

Pēc kārtas atkārtojot šo procesu, mums būs:

p (x) = a_Nē. (x - u₁). (x - u₂)… (X - u_Nē)

Tādējādi mēs varam secināt, ka katrs polinoms vai polinoma vienādojums p (x) = 0 pakāpes n ≥ 1 pieder tieši Nē sarežģītas saknes.​

Piemērs: Esi p (x) pakāpes polinoms 5, tādas, ka tās saknes ir – 1, 2, 3, – 2 un 4. Uzrakstiet šo polinomu sadalot 1. pakāpes faktoros, ņemot vērā dominējošais koeficients vienāds ar 1. Tam jābūt rakstītam paplašinātā formā:

ja – 1, 2, 3, – 2 un 4 ir polinoma saknes, tātad atšķirību reizinājums x katrai no šīm saknēm rada p (x):

p (x) = a_Nē. (x + 1). (x - 2). (x - 3). (x + 2). (x - 4)

Ja dominējošais koeficients The_Nē = 1, mums ir:

p (x) = 1. (x + 1). (x - 2). (x - 3). (x + 2). (x - 4)
p (x) = (x + 1). (x - 2). (x - 3). (x + 2). (x - 4)
p (x) = (x² - x - 2). (x - 3). (x + 2). (x - 4)
p (x) = (x³ - 4x² + x + 6). (x + 2). (x - 4)
p (x) = (x⁴ - 2x³ - 7x² + 8x + 12). (X - 4)
p (x) = x⁵ - 6x⁴ + x³ + 36x² - 20x - 48

Autore Amanda Gonsalvesa
Beidzis matemātiku

Avots: Brazīlijas skola - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/teorema-decomposicao-um-polinomio.htm