Matrica: kas tas ir, veidi, darbības, piemēri

galvenā mītne to parasti izmanto tabulas datu organizēšanai, lai atvieglotu problēmu novēršanu. Matricas informācija neatkarīgi no tā, vai tā ir skaitliska, vai nē, kārtīgi sakārtota rindās un kolonnās.

Matricu komplekts, kas aprīkots ar papildinājums, atņemšana un pavairošana un pazīmes kā neitrāls un apgriezts elements veido matemātisku struktūru, kas ļauj to izmantot dažādās jomās šo lielo zināšanu jomu.

Skatiet arī: Matricas un lineārās sistēmas saistība

Matricas attēlojums

Pirms matricu pētījumu uzsākšanas ir jānosaka daži apzīmējumi par to attēlojumu. Plkst matricas vienmēr attēlo ar lielajiem burtiem. (A, B, C…), kam pievienoti indeksi, kuros pirmais skaitlis norāda rindu skaitu, bet otrais - kolonnu skaitu.

rindu skaits (horizontālas rindas) un kolonnas (vertikālās rindas) matrica nosaka to rīkojumu. Matricai A ir kārtība m ar n. Tiek saukta masīvā esošā informācija elementi un ir sakārtoti iekavās, kvadrātiekavās vai divās vertikālās joslās, skatiet piemērus:

Matricai A ir divas rindas un trīs kolonnas, tāpēc tās secība ir divas pa trim → A_2x3.

Matricai B ir viena rinda un četras kolonnas, tāpēc tās secība ir pa četrām, tāpēc to sauc līnijas matrica → B_1x4.

Matricai C ir trīs rindas un viena kolonna, tāpēc to sauc kolonnas matrica un tā secība ir trīs pa vienam → C_3x1.

Mēs varam vispārīgi attēlot masīva elementus, tas ir, mēs varam rakstīt šo elementu, izmantojot matemātisko attēlojumu. Ovispārīgo elementu attēlos ar mazajiem burtiem (a, b, c…), un, tāpat kā masīvu attēlojumā, tam ir arī indekss, kas norāda tā atrašanās vietu. Pirmais skaitlis norāda rindu, kurā elements atrodas, un otrais numurs norāda kolonnu, kurā tas atrodas.

Apsveriet šādu matricu A, mēs uzskaitīsim tās elementus.

Novērojot pirmo elementu, kas atrodas pirmajā rindā un pirmajā kolonnā, tas ir, pirmajā un pirmajā kolonnā, mums ir skaitlis 4. Lai atvieglotu rakstīšanu, mēs to apzīmēsim ar:

The₁₁ → rinda viens elements, pirmā kolonna

Tātad mums ir šādi matricas A elementi_2x3:

The₁₁ = 4

The₁₂ =16

The₁₃ = 25

The₂₁ = 81

The₂₂ = 100

The₂₃ = 9

Kopumā mēs varam uzrakstīt masīvu kā funkciju no tā vispārīgajiem elementiem, tas ir vispārējā matrica.

M rindu un n kolonnu matricu attēlo:

• Piemērs

Nosakiet matricu A = [a_ij ]_2x2, kurai ir šāds apmācības likums_ij = j² - 2i. No paziņojuma datiem mums ir tā, ka matrica A ir secībā divas pa divām, tas ir, tai ir divas līnijas un divas kolonnas, tāpēc

Turklāt tika dots matricas veidošanas likums, tas ir, katrs elements ir apmierināts ar saistību ar_ij = j² - 2i. Formulā aizstājot i un j vērtības, mums ir:

The₁₁ = (1)² - 2(1) = -1

The₁₂ = (2)² - 2(1) = 2

The₂₁ = (1)² - 2(2) = -3

The₂₂ = (2)² - 2(2) = 0

Tāpēc matrica A ir:

Masīvu veidi

Dažas matricas ir pelnījušas īpašu uzmanību, tagad skatiet šīs masīvu veidi ar piemēriem.

• kvadrātveida matrica

Matrica ir kvadrāta, kad rindu skaits ir vienāds ar kolonnu skaitu. Mēs attēlojam matricu, kurai ir n rindas un n kolonnas ar A_Nē (lasīt: n kārtas kvadrātveida matrica).

Kvadrātveida matricās mums ir divi ļoti svarīgi elementi - diagonāles: galvenā un sekundārā. Galveno diagonāli veido elementi, kuriem ir vienādi indeksi, tas ir, tas ir katrs elements a_ij ar i = j. Sekundāro diagonāli veido elementi a_ij ar i + j = n +1, kur n ir matricas secība.

• identitātes matrica

Identitātes matrica ir kvadrātveida matrica, kurai ir visijūsgalvenās diagonāles elementi ir vienādi ar 1 un citi elementi ir vienādi ar 0, tā veidošanas likums ir:

Mēs apzīmējam šo matricu ar I, kur n ir kvadrātveida matricas secība, skatiet dažus piemērus:

• vienības matrica

Tā ir pirmās kārtas kvadrātveida matrica, tas ir, tai ir rinda un kolonna, un tāpēc tikai viens elements.

A = [-1]_1x1, B = I₁ = (1)_1x1 un C = || 5 ||_1x1

Šie ir vienības matricu piemēri, uzsverot matricu B, kas ir a vienības identitātes matrica.

• nulles matrica

Masīvs tiek uzskatīts par nulli, ja visi tā elementi ir vienādi ar nulli. Mēs reprezentējam nulles matricu ar m ar n ar O_mxn.

Matrica O ir 4. kārtas nulles vērtība.

• pretējā matrica

Apsveriet divas vienādas kārtas matricas: A = [a_ij]_mxn un B = [b_ij]_mxn. Šīs matricas sauks par pretējām tikai tad, ja_ij = -b_ij. Tādējādi attiecīgajiem elementiem jābūt pretēji skaitļi.

Mēs varam attēlot matricu B = -A.

• transponētā matrica

Divas matricas A = [a_ij]_mxn un B = [b_ij]_nxm viņi ir transponēts ja un tikai tad, ja_ij = b_ji , tas ir, ņemot vērā matricu A, lai atrastu tās transponēšanu, vienkārši paņemiet līnijas kā kolonnas.

Matricas A transponēšanu apzīmē ar A^T. Skatiet piemēru:

Redzēt vairāk: Apgrieztā matrica: kas tas ir un kā pārbaudīt

Matricas operācijas

N x m matricas vispārīgs attēlojums.

Matricu kopai ir aļoti labi definēta saskaitīšana un reizināšana, tas ir, ikreiz, kad mēs darbojamies ar divām vai vairākām matricām, darbības rezultāts joprojām pieder matricu kopai. Tomēr kā ir ar atņemšanas darbību? Mēs saprotam šo darbību kā pievienošanas apgriezto vērtību (pretējā matrica), kas arī ir ļoti labi definēta.

Pirms operāciju definēšanas sapratīsim idejas atbilstošais elements un matricu vienlīdzība. Atbilstošie elementi ir tie, kas dažādās matricās aizņem vienu un to pašu pozīciju, tas ir, tie atrodas vienā rindā un kolonnā. Protams, masīviem jābūt vienā secībā, lai pastāvētu atbilstošie elementi. Skaties:

Elementi 14 un -14 ir attiecīgi pretēju matricu A un B elementi, jo tie aizņem to pašu pozīciju (to pašu rindu un kolonnu).

Divas matricas tiks uzskatītas par vienādām tikai tad, ja atbilstošie elementi ir vienādi. Tādējādi, ņemot vērā matricas A = [a_ij]_mxn un B = [b_ij]_mxn, tie būs vienādi, ja un tikai tad, ja_ij = b_ij jebkuram i j.

• Piemērs

Zinot, ka matricas A un B ir vienādas, nosakiet x un t vērtības.

Tā kā A un B matricas ir vienādas, attiecīgajiem elementiem jābūt vienādiem, tāpēc:

x = -1 un t = 1

• Matricu saskaitīšana un atņemšana

Operācijas saskaitīšana un atņemšana starp matricām tie ir diezgan intuitīvi, taču vispirms ir jāievēro kāds nosacījums. Lai veiktu šīs darbības, vispirms jāpārbauda, ​​vai masīva pasūtījumi ir vienādi.

Kad šis nosacījums ir pārbaudīts, matricas saskaitīšana un atņemšana notiek, saskaitot vai atņemot atbilstošos matricu elementus. Apsveriet matricas A = [a_ij]_mxn un B = [b_ij]_mxn, tad:

A + B = [a_ij + b_ij] _mxn

A - B = [a_ij - B_ij] _mxn

• Piemērs

Apsveriet zemāk esošās A un B matricas, nosakiet A + B un A-B.

Lasīt arī: Visa skaitļa darbības

• Reālā skaitļa reizināšana ar matricu

Reālā skaitļa reizināšanu matricā (sauktu arī par matricas reizinājumu) ar skalāru dod, reizinot katru matricas elementu ar skalāru.

Ļaujiet A = [a_ij]_mxn matrica un t reālais skaitlis, tātad:

t · A = [t · a_ij]_mxn

Skatiet piemēru:

• Matricas reizināšana

Matricu reizināšana nav tik niecīga kā to saskaitīšana un atņemšana. Pirms reizināšanas veikšanas ir jāievēro arī nosacījums attiecībā uz matricu secību. Apsveriet matricas A_mxn un B_nxr.

Lai veiktu reizināšanu, kolonnu skaitam pirmajā matricā jābūt vienādam ar rindu skaitu otrajā. Produkta matricā (kas nāk no reizināšanas) ir secība, ko piešķir rindu skaits pirmajā un kolonnu skaits otrajā.

Lai veiktu reizināšanu starp A un B matricām, katra rinda jāreizina ar visām kolonnām šādi: pirmais elements A reizina ar B pirmo elementu un pēc tam pievieno A otrajam elementam un reizina ar B otro elementu, un tā secīgi. Skatiet piemēru:

Lasīt arī: Laplasa teorēma: zināt, kā un kad lietot

Vingrinājumi atrisināti

jautājums 1 - (U. UN. Londrina - PR) Ļaujiet matricām A un B būt attiecīgi 3 x 4 un p x q, un, ja matricai A · B ir 3 x 5, tad taisnība, ka:

a) p = 5 un q = 5

b) p = 4 un q = 5

c) p = 3 un q = 5

d) p = 3 un q = 4

e) p = 3 un q = 3

Risinājums

Mums ir paziņojums, ka:

_3x4 · B_pxq = C_3x5

No nosacījuma, lai reizinātu divas matricas, mums ir tāds, ka produkts pastāv tikai tad, ja kolonnu skaits pirmajā ir vienāds ar rindu skaitu otrajā, tātad p = 4. Un mēs arī zinām, ka produkta matricu dod rindu skaits pirmajā ar kolonnu skaitu otrajā, tātad q = 5.

Tāpēc p = 4 un q = 5.

A: Alternatīva b

2. jautājums - (Vunesp) Nosakiet x, y un z vērtības ar šādu vienādību, iesaistot 2 x 2 reālās matricas.

Risinājums

Veiksim operācijas starp masīviem un pēc tam vienlīdzību starp tām.

Lai noteiktu x, y un z vērtību, mēs atrisināsim lineāro sistēmu. Sākumā pievienosim vienādojumus (1) un (2).

2x - 4 = 0

2x = 4

x = 2

Aizstājot vienādojumā (3) atrodamo x vērtību, mums ir:

2² = 2z

2z = 4

z = 2

Visbeidzot, aizstājot x un z vērtības, kas atrodamas (1) vai (2) vienādojumā, mums ir:

x + y - z = 0

2 + y - 2 = 0

y = 0

Tāpēc problēmas risinājumu sniedz S = {(2, 0, 2)}.

autors Robsons Luizs
Matemātikas skolotājs