Permutācijas ir daļa no skaitīšanas problēmām. Mēs izmantojam permutācijas, lai uzzinātu kopas elementu secību skaitu. Praktizējiet savas zināšanas par permutāciju un atrisiniet savas šaubas ar atrisinātajiem vingrinājumiem.
1. vingrinājums
Divi draugi spēlējās ar sešpusējiem kauliņiem. Ir zināms, ka iznāca skaitļi 4, 1, 2 un 5, ne vienmēr šādā secībā. Cik rezultātu secību varēja būt?
Atbilde: 24
Rezultātu secība varētu būt šāda:
1, 2, 4 un 5 vai
5, 4, 5 un 1 vai
4, 5, 1 un 2
Lai noteiktu kopējo iespējamo pasūtījumu skaitu, mēs aprēķinām permutāciju ar četriem atšķirīgiem elementiem.
2. vingrinājums
Sešu draugu grupa devās skatīties filmu kinoteātrī un nopirka biļetes uz to pašu sēdvietu rindu. Ņemot vērā, ka ir pāris un viņi sēdēja blakus krēslos, cik daudzos veidos šie draugi varētu ietilpt krēslu rindā?
Atbilde: 240
Tā kā aprēķinos tiek ņemti vērā visi kopas "draugi" elementi, tā ir permutācijas problēma.
Lai aprēķinātu kopējo iespējamo permutāciju skaitu, mēs ņēmām vērā 5 elementus, jo pārim vienmēr jābūt kopā.
Turklāt no šīm 120 iespējām mums jāreizina ar divi, jo pāris var apmainīties vietām viens ar otru.
Tādējādi vairāki iespējamie veidi, kā draugi var sakārtoties krēslu rindā, ir:
120. 2 = 240
3. vingrinājums
Pagalmā spēlē 7 skolēnu klase, izmantojot brīvo laiku. Izdzirdot signālu, kas informē par atgriešanos klasēs, skolēni pāriet, lai izveidotu rindu. Cik dažādos veidos skolēni var veidot rindu secību?
Atbilde: 5040
Kopējais iespējamo rindas organizēšanas veidu skaits ir 7 atšķirīgu elementu permutācija.
4. vingrinājums
Fotogrāfs pielāgo savu kameru, lai nofotografētu 5 uz soliņa izkārtotus bērnus. Šajā grupā ir 3 meitenes un 2 zēni. Iespējamais bērnu izkārtojums fotoattēlam būtu šāds:
Ņemot vērā pozas, kurās bērni var sēdēt uz soliņa, cik dažādos veidos fotogrāfs var sakārtot zēnus un meitenes, iegūstot dažādas fotogrāfijas?
Atbilde: 10
Šis ir permutācijas gadījums ar atkārtotiem elementiem. Kopējais permutāciju skaits ir jāsadala ar reizinājumu starp atkārtoto elementu permutācijām.
5. vingrinājums
Cik daudz anagrammu var izveidot ar burtiem vārdā PREFEITURA?
Atbilde: 907 200
Vārdā RŪTES NĒ ir 10 burti, no kuriem daži atkārtojas. Burts E parādās divas reizes, tāpat kā R.
Mēs aprēķinām dalījumu starp 10 elementu permutācijām un dalām ar atkārtotu elementu permutāciju reizinājumu.
6. vingrinājums
(UEMG 2019) No visu vārda PONTA burtu permutāciju kopas nejauši tiek noņemts viens. Kāda ir varbūtība, ka tiks noņemts vārds, kas sākas un beidzas ar patskaņi?
a) 1/20
b) 1/10
c) 1/6
d) 1/5
1. darbība: visu permutāciju skaits ar vārda PONTA burtiem.
Tā kā ir pieci atšķirīgi burti, mums ir:
2. darbība: permutāciju skaits, kas sākas un beidzas ar patskaņu.
Pirmajam burtam ir divas patskaņu iespējas, pēdējam burtam būs tikai 1.
Līdzskaņiem ir 3! iespējas.
2.3!.1 = 2.3.2.1.1 = 12
3. darbība: nosaka varbūtības koeficientu.
7. vingrinājums
(EsPCex 2012) Varbūtība iegūt skaitli, kas dalās ar 2, nejauši izvēloties vienu no ciparu 1, 2, 3, 4, 5 permutācijām ir
a) 1/5
b) 2/5
c) 3/4
d) 1/4
e) 1/2
1. darbība: kopējās permutācijas.
Tā kā ir pieci atšķirīgi elementi, 5 elementu permutāciju skaits ir vienāds ar 5 faktoriāliem.
2. darbība: skaitļu permutācijas, kas dalās ar divi ar pieciem cipariem.
Lai dalītu ar 2, tas ir pāra nosacījums. Tādējādi pēdējam ciparam ir divas iespējas — 2 un 4.
Pārējām pozīcijām ir 4! iespējas.
3. darbība: varbūtības aprēķins.
8. vingrinājums
(EsFCEx 2022) Ļaujiet P ir secības 1, 3, 6, 9, 12 permutāciju kopa, kuras pirmais vārds atšķiras no 1. Ja viena no šīm sekvencēm ir nejauši uzzīmēta, varbūtība, ka otrais loceklis ir 3, ir vienāda ar p/q, kur p, q ∈ IN* un gcd (p, q) = 1. Tāpēc q – p ir vienāds ar
a) 13.
b) 15.
c) 12.
d) 14.
e) 11.
1. darbība: nosaka kopējo iespējamo gadījumu skaitu izlases telpā.
No labās puses uz kreiso pirmais numurs nevar būt viens, tāpēc ir 4 iespējas ieņemt pirmo pozīciju.
Ir 4, lai ieņemtu pārējās pozīcijas! iespējas.
Permutācijas ir šādas:
1.4! = 4.4.3.2.1 = 96
2. darbība: nosaka notikuma rašanās iespējas, otrais ir trīs, pirmais atšķiras no viena.
Permutācijas ir šādas:
3.1.3.2.1 = 18
3. solis: varbūtības koeficients.
Varbūtības koeficients ir:
Ar p = 18 un q = 96.
Tomēr joprojām pastāv nosacījums, ka lielākais kopīgais dalītājs starp p un q ir 1, kas nenotiek ar 18 un 96.
Mums ir jāvienkāršo un jāpārbauda frakcijas, kas ir līdzvērtīgas 18/96.
4. darbība: varbūtības daļas vienkāršošana un p un q noteikšana.
Tā kā gcd (3, 16) = 1, p = 3 un q = 16.
5. darbība: secinājums.
q - p = 16 - 3 = 13
Uzziniet vairāk par permutācija.
Lai iegūtu vairāk vingrinājumu, skatiet:
Kombinatoriskās analīzes vingrinājumi
ASTH, Rafaels. Risināti un izskaidroti permutācijas vingrinājumi.Visa Matter, [n.d.]. Pieejams: https://www.todamateria.com.br/exercicios-de-permutacao/. Piekļuve:
Skaties arī
- Kombinatoriskā analīze
- Kombinatoriskās analīzes vingrinājumi
- Permutācija: vienkārša un ar atkārtošanos
- Izkārtojums matemātikā: kas tas ir, kā aprēķināt, piemēri
- 27 Matemātikas pamatuzdevumi
- Kombinācija matemātikā: kā aprēķināt un piemēri
- Varbūtības vingrinājumi
- Varbūtība
