Vienādojumu risināšana ir ikdienas darbība. Intuitīvi mēs ikdienas dzīvē risinām vienādojumus un pat to neapzināmies. Uzdodot šādu jautājumu: "Kurā laikā man vajadzētu piecelties, lai dotos uz skolu, lai es to nedarītu kavēt?" un mēs saņemam atbildi, mēs faktiski vienkārši atrisinājām vienādojumu, kur nezināmais ir laiks. Šie ikdienas jautājumi vienmēr ir pamudinājuši visu laiku matemātiķus meklēt vienādojumu risinājumus un metodes.
Baskara formula ir viena no slavenākajām vienādojuma atrisināšanas metodēm. Tā ir “recepte”, matemātiskais modelis, kas gandrīz uzreiz nodrošina 2. pakāpes vienādojuma saknes. Interesanti, ka vienādojumu risināšanai nav tik daudz formulu, kā jūs domājat. Trešās un ceturtās pakāpes vienādojumus ir ļoti sarežģīti atrisināt, un ir atrisinātas formulas vienkāršākajiem šāda veida vienādojumu gadījumiem.
Interesanti zināt, ka vienādojuma pakāpe nosaka, cik sakņu tam ir. Mēs zinām, ka 2. pakāpes vienādojumam ir divas saknes. Tāpēc 3. pakāpes vienādojumam būs trīs saknes utt. Tagad apskatīsim, kas notiek ar dažiem vienādojumiem.
Piemērs. Atrisiniet vienādojumus:
a) x2 + 3x - 4 = 0
Risinājums: pielietojot Baskara formulu 2. pakāpes vienādojuma atrisināšanai, iegūstam:
Mēs zinām, ka a = 1, b = 3 un c = - 4. Tādējādi
Tā kā mēs atrisinām 2. pakāpes vienādojumu, mums ir divas saknes.
b) x3 – 8 = 0
Risinājums: Šajā gadījumā mums ir nepilnīgs trešās pakāpes vienādojums ar vienkāršu izšķirtspēju. 
Risinājums: Šajā gadījumā mums ir nepilnīgs 4. pakāpes vienādojums, ko sauc arī par divkvadrātu vienādojumu. Arī šāda veida vienādojuma risinājums ir vienkāršs. Skaties:
x vienādojums4 + 3x2 - 4 = 0 var pārrakstīt šādi:
(x2)2 + 3x2 – 4 =0
darot x2 = t un aizvietojot iepriekšminētajā vienādojumā, iegūstam:
t2 + 3t - 4 = 0 → kas ir 2. pakāpes vienādojums.
Mēs varam atrisināt šo vienādojumu, izmantojot Baskara formulu.
Šīs vērtības nav vienādojuma saknes, jo nezināmais ir x, nevis t. Bet mums ir:
x2 = t
Tad,
x2 = 1 vai x2 = – 4
no x2 = 1, mēs iegūstam, ka x = 1 vai x = - 1.
no x2 = - 4, mēs saprotam, ka nav reālu skaitļu, kas apmierinātu vienādojumu.
Tāpēc S = {- 1, 1}
Ņemiet vērā, ka alternatīvi The mums bija 2. pakāpes vienādojums, un mēs atradām divas saknes. Alternatīvi B mēs atrisinām 3. pakāpes vienādojumu un atrodam tikai vienu sakni. Un vienuma vienādojums ç, tas bija 4. pakāpes vienādojums, un mēs atradām tikai divas saknes.
Kā minēts iepriekš, vienādojuma pakāpe nosaka, cik sakņu tam ir:
2. pakāpe → divas saknes
3. pakāpe → trīs saknes
4. pakāpe → četras saknes
Bet kas notika ar alternatīvajiem vienādojumiem B un ç?
Izrādās, ka n ≥ 2 pakāpes vienādojumam var būt reālas saknes un sarežģītas saknes. B punkta trešās pakāpes vienādojuma gadījumā mēs atrodam tikai vienu reālu sakni, pārējās divas saknes ir kompleksi skaitļi. Tas pats attiecas arī uz c vienības vienādojumu: mēs atrodam divas reālas saknes, pārējās divas ir sarežģītas.
Par sarežģītām saknēm mums ir šāda teorēma.
Ja kompleksais skaitlis a + bi, b ≠ 0, ir vienādojuma a sakne0xNē +1xn-1+... +n-1x + aNē = 0, reālo koeficientu vērtība, tāpēc tā konjugāts a - bi ir arī vienādojuma sakne.
Teorēmas sekas ir šādas:
• 2. pakāpes vienādojums ar reāliem koeficientiem → ir tikai reālas saknes vai divas konjugētas sarežģītas saknes.
• 3. pakāpes vienādojums ar reāliem koeficientiem → ir tikai reālas saknes vai viena reāla sakne un divas konjugētas sarežģītas saknes.
• 4. pakāpes vienādojums ar reāliem koeficientiem → ir tikai reālas saknes vai divas sarežģītas konjugētas saknes un divas reālas vai tikai četras sarežģītas konjugētas saknes pa divām.
• 5. pakāpes vienādojums ar reāliem koeficientiem → ir tikai reālas saknes vai divas sarežģītas saknes konjugēts un otrs reālais vai vismaz viena īstā sakne un pārējās sarežģītās saknes pa divām konjugēts.
Tas pats attiecas uz grādu vienādojumiem, kas lielāki par 5.
Nepārtrauciet tūlīt... Pēc reklāmas ir vairāk;)
Autors: Marselo Rigonatto
Statistikas un matemātiskās modelēšanas speciāliste
Brazīlijas skolu komanda
Sarežģīti skaitļi - Matemātika - Brazīlijas skola
Vai vēlaties atsaukties uz šo tekstu skolas vai akadēmiskajā darbā? Skaties:
RIGONATTO, Marselo. "Vienādojuma sakņu skaits"; Brazīlijas skola. Pieejams: https://brasilescola.uol.com.br/matematica/numero-raizes-uma-equacao.htm. Piekļuve 2021. gada 29. jūnijam.
