A identitātes matrica ir īpašs veids štābs. Mēs zinām kā identitātes matricu In n kārtas kvadrāta matrica, kurā visi diagonāles vārdi ir vienādi ar 1 un termini, kas nepieder galvenajai diagonālei, ir vienādi ar 0. Identitātes matrica tiek uzskatīta par neitrālu reizināšanas elementu, tas ir, ja mēs reizinām matricu M pēc identitātes matricas mēs kā rezultātā atrodam pašu matricu M.
Skatīt arī: Kas ir matricas determinants?
Kopsavilkums par identitātes matricu
Identitātes matrica ir kvadrātveida matrica, kuras elementi galvenajā diagonālē ir vienādi ar 1 un pārējie elementi ir vienādi ar 0.
Ir dažādu secību identitātes matricas. Mēs pārstāvam pasūtījuma identitātes matricu n autors I n.
Identitātes matrica ir matricas reizināšanas neitrāls elements, tas ir, \(A\cdot I_n=A.\)
Kvadrātveida matricas un tās apgrieztās matricas reizinājums ir identitātes matrica.
Kas ir identitātes matrica?
Identitātes matrica ir a īpaša veida kvadrātveida matrica. Kvadrātveida matricu sauc par identitātes matricu, ja tās visi elementi galvenajā diagonālē ir vienādi ar 1 un visi pārējie elementi ir vienādi ar 0. Pēc tam katrā identitātes matricā:
➝ Identitātes matricas veidi
Ir dažādu secību identitātes matricas. pasūtījums n pārstāv In. Tālāk apskatīsim dažas citu pasūtījumu matricas.
1. pasūtījuma identitātes matrica:
\(I_1=\kreisais[1\labais]\)
2. pasūtījuma identitātes matrica:
\(I_2=\left[\begin{matrix}1&0\\0&1\\\end{matrix}\right]\)
3. pasūtījuma identitātes matrica:
\(I_3=\left[\begin{matrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\\\end{matrix}\right]\)
4. pasūtījuma identitātes matrica:
\(I_4=\left[\begin{matrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\\end{matrix}\right]\)
5. pasūtījuma identitātes matrica:
\(I_5=\left[\begin{matrix}1&0&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0&0\\0&0&0&1&0\\0&0&0&0&1\\\end{matrix}\right]\)
Secīgi mēs varam rakstīt dažādu secību identitātes matricas.
Identitātes matricas īpašības
Identitātes matricai ir svarīga īpašība, jo tā ir neitrāls reizināšanas elements starp matricām. Tas nozīmē ka jebkura matrica, kas reizināta ar identitātes matricu, ir vienāda ar sevi. Tādējādi, ņemot vērā kārtas M matricu n,mums ir:
\(I_n\cdot M=M\cdot I_n=M\)
Vēl viena svarīga identitātes matricas īpašība ir tā, ka kvadrātmatricas un tās reizinājums apgrieztā matrica ir identitātes matrica. Dota M kvadrātveida matrica n, M reizinājumu ar tā apgriezto vērtību nosaka:
\(M\cdot M^{-1}=I_n\)
Izlasi arī: Kas ir trīsstūrveida matrica?
Identitātes matricas reizināšana
Kad mēs reizinām matricu M ar kārtas identitātes matricu n, rezultātā iegūstam matricu M. Tālāk aplūkosim piemēru 2. kārtas matricas M reizinājumam ar 2. kārtas identitātes matricu.
\(A\ =\ \left(\begin{matrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\\\end{matrix}\right) \) Tas ir \(I_n=\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\\\end{matrix}\right)\)
Pieņemot, ka:
\(A\cdot I_n=B\)
Mums ir:
\(B\ =\left(\begin{matrix}b_{11}&b_{12}\\b_{21}&b_{22}\\\end{matrix}\right)\)
Tātad A reizinājums ar \(I_n\) tas būs:
\(b_{11}=1\cdot a_{11}\cdot1+0\cdot a_{12}=a_{11}\)
\(b_{12}=0\cpunkts a_{11}+1\cpunkts a_{12}=a_{12}\)
\(b_{21}=1\cpunkts a_{21}+0\cpunkts a_{22}=a_{21}\)
\(b_{22}=0\cpunkts a_{21}+1\cpunkts a_{22}=a_{22}\)
Ņemiet vērā, ka matricas B nosacījumi ir identiski matricas A nosacījumiem, tas ir:
\(A\cdot I_n=\left[\begin{matrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\\\end{matrix}\right]=A\)
Piemērs:
Būt M Matrica \(M=\ \left[\begin{matrix}1&4&0\\2&5&3\\-3\ &-2&1\\\end{matrix}\right]\), aprēķina reizinājumu starp matricu M un matricu \(I_3\).
Izšķirtspēja:
Veicot reizināšanu, mums ir:
\(M\cdot I_3=\left[\begin{matrix}1&4&0\\2&5&3\\-3\ &-2&1\\\end{matrix}\right]\cdot\left[\begin{matrix}1&0&0\\ 0&1&0\\0&0&1\\\end{matrix}\right]\)
\(M\cdot I_3=\left[\begin{matrix}1\ \cdot\ 1\ +\ 0\ \cdot\ 4\ +\ 0\ \cdot\ 0&1\cdot0\ +\ 4\ \cdot\ 1 \ +\ 0\cdot\ 0&1\cdot0+4\cdot0+0\cdot1\\2\cdot\ 1\ +\ 5\ \cdot\ 0\ +\ 3\ \cdot\ 0&2\ \cdot\ 0\ +\ 5\cdot1+3\cdot0&2\cdot0+5\cdot0+3\cdot1\\-3\cdot1+\left(-2\right)\cdot0+1\cdot0&-3\cdot0+\left(-2\right)\ cdot1+1\cdot0&-3\cdot0+\left(-2\right)\cdot0+1\cdot1\\\end{matrix}\right]\)
\(M\cdot I_3=\left[\begin{matrix}1&4&0\\2&5&3\\-3\ &-2&1\\\end{matrix}\right]\)
Risināti uzdevumi par identitātes matricu
jautājums 1
Ir 3. kārtas kvadrātveida matrica, ko definē ar \(a_{ij}=1 \) kad \(i=j\) Tas ir \(a_{ij}=0\) Tas ir kad \(i\neq j\). Šī matrica ir šāda:
A) \( \left[\begin{matrix}1&1&1\\1&1&1\\1&1&1\\\end{matrix}\right]\)
B) \( \left[\begin{matrix}0&0&1\\0&1&0\\1&0&0\\\end{matrix}\right]\)
W) \( \left[\begin{matrix}0&1&1\\0&0&1\\0&0&1\\\end{matrix}\right]\)
D) \( \left[\begin{matrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\\\end{matrix}\right]\)
UN) \( \left[\begin{matrix}1&0&0\\1&1&0\\1&1&1\\\end{matrix}\right]\)
Izšķirtspēja:
Alternatīva D
Analizējot matricu, mums ir:
\(a_{12}=a_{13}=a_{21}=a_{23}=a_{31}=a_{32}=0\)
\(a_{11}=a_{22}=a_{33}=1\)
Tātad matrica ir vienāda ar:
\(\left[\begin{matrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\\\end{matrix}\right]\)
2. jautājums
(UEMG) Ja apgrieztā matrica no \(A=\left[\begin{matrix}2&3\\3&x\\\end{matrix}\right]\) é \( \left[\begin{matrix}5&-3\\-3&2\\\end{matrix}\right]\), x vērtība ir:
A) 5
B) 6
C) 7
D) 9
Izšķirtspēja:
Alternatīva A
Reizinot matricas, mēs saprotam, ka to reizinājums ir vienāds ar identitātes matricu. Aprēķinot matricas otrās rindas reizinājumu ar tās apgrieztās rindas pirmo kolonnu, mēs iegūstam:
\(3\cdot5+x\cdot\left(-3\right)=0\)
\(15-3x=0\)
\(-\ 3x=0-15\ \)
\(-\ 3x=-\ 15\)
\(x=\frac{-15}{-3}\)
\(x=5\ \)
Rauls Rodrigess de Oliveira
Matemātikas skolotājs
Avots: Brazīlijas skola - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/matriz-identidade.htm
