A proporcija zeltaini jeb dievišķā proporcija ir vienlīdzība, kas saistīta ar harmonijas, skaistuma un pilnības idejām. Eiklīds no Aleksandrijas, grieķu matemātiķis, kurš dzīvoja ap 300. gadu pirms mūsu ēras. C., bija viens no pirmajiem domātājiem, kas formalizēja šo koncepciju, kas līdz mūsdienām intriģē pētniekus no dažādām jomām.
Šādas intereses iemesls ir tas, ka zelta griezumu aptuveni var novērot dabā, tostarp augu sēklās un lapās un cilvēka organismā. Līdz ar to zelta griezumu pēta dažādi profesionāļi, piemēram, biologi, arhitekti, mākslinieki un dizaineri.
Izlasi arī: Skaitlis pi — viena no svarīgākajām konstantēm matemātikā
Kopsavilkums par zelta griezumu
Zelta griezums ir attiecība \(a>b>0\) tāds, ka
\(\frac{a+b}a =\frac{a}b\)
Šādos apstākļos iemesls TheB sauc par zelta griezumu.
Zelta griezums ir saistīts ar līdzsvara, tīrības un pilnības koncepcijām.
Grieķu burts ϕ (lasīt: fi) apzīmē zelta skaitli, kas ir konstante, kas iegūta no zelta attiecības.
Fibonači secībā koeficienti starp katru terminu un tā priekšgājēju tuvojas zelta skaitlim.
Zelta taisnstūris ir taisnstūris, kura malas ir zelta griezumā.
Kas ir zelta attiecība?
Apsveriet līnijas segmentu, kas sadalīts divās daļās: lielākais garums The un mazākais B. saproti to a+b ir visa segmenta mērs.
zelta griezums ir vienlīdzība starp iemesliem\(\mathbf{\frac{a+b}a}\) Tas ir \(\mathbf{\frac{a}{b}}\), t.i
\(\frac{a+b}a =\frac{a}b\)
Šajā kontekstā mēs to sakām The Tas ir B ir zelta griezumā.
Bet par kādām vērtībām The Tas ir B vai mums ir zelta griezums? To mēs redzēsim tālāk.
Kā aprēķināt zelta skaitli?
Iemesls \(\frac{a}b\)(vai tāpat iemesls \(\frac{a+b}a\)) rezultātā tiek iegūta konstante, ko sauc par zelta skaitli un apzīmēts ar grieķu burtu ϕ. Tādējādi ir ierasts rakstīt
\(\frac{a+b}a =\frac{a}b=ϕ\)
Lai aprēķinātu zelta skaitli, ņemsim vērā zelta attiecību b = 1. Tādējādi mēs varam viegli atrast vērtību The un iegūstiet ϕ no vienlīdzības \(\mathbf{\frac{a}{b}=ϕ}\).
Ņemiet vērā, ka zelta attiecību var uzrakstīt šādi, izmantojot krusteniskās reizināšanas īpašību:
\(a^2=b⋅(a+b)\)
Aizstājot b = 1, mums ir
\(a^2=1⋅(a+1)\)
\(a^2-a-1=0\)
Bhaskaras formulas piemērošana šim kvadrātvienādojumam mēs secinām, ka pozitīvais risinājums The é
\(a=\frac{1+\sqrt5}2\)
Kā The ir segmenta mērs, mēs neņemsim vērā negatīvo risinājumu.
Tā kā \(\frac{a}b=ϕ\), Precīza zelta skaitļa vērtība ir:
\(ϕ=\frac{1+\sqrt5}2\)
Aprēķinot koeficientu, mēs iegūstam Zelta skaitļa aptuvenā vērtība:
\(ϕ≈1,618033989\)
Skatīt arī: Kā atrisināt matemātikas darbības ar daļskaitļiem?
Zelta attiecība un Fibonači secība
A Fibonači secība ir skaitļu saraksts kur katrs termins, sākot no trešā, ir vienāds ar divu priekšgājēju summu. Apskatīsim šīs secības pirmos desmit nosacījumus:
\(a_1=1\)
\(a_2=1\)
\(a_3=1+1=2\)
\(a_4=1+2=3\)
\(a_5=2+3=5\)
\(a_6=3+5=8\)
\(a_7=5+8=13\)
\(a_8=8+13=21\)
\(a_9=13+21=34\)
\(a_{10}=21+34=55\)
Kā mēs aprēķinām koeficientu starp katru terminu un tā priekšgājēju Fibonači secībā, tuvojamies zelta ciparam ϕ:
\(\frac{a_2}{a_1}=\frac{1}1=1\)
\(\frac{a_3}{a_2}=\frac{2}1=2\)
\(\frac{a_4}{a_3}=\frac{3}2=1,5\)
\(\frac{a_5}{a_4}=\frac{5}3=1,6666…\)
\(\frac{a_6}{a_5}=\frac{8}5=1,6\)
\(\frac{a_7}{a_6}=\frac{13}8=1,625\)
\(\frac{a_8}{a_7}=\frac{21}{13}=1,6153…\)
\(\frac{a_9}{a_8}=\frac{34}{21}=1,61904…\)
\(\frac{a_10}{a_9}=\frac{55}{34}=1,61764…\)
Zelta attiecība un zelta taisnstūris
Viens taisnstūris kur ir garākā puse The un mazākā puse B ir zelta griezumā to sauc par zelta taisnstūri. Zelta taisnstūra piemērs ir taisnstūris, kura malu izmērs ir 1 cm un \(\frac{1+\sqrt5}2\) cm.
Uzziniet vairāk: Kas ir tieši proporcionālie lielumi?
Zelta koeficienta pielietojumi
Ņemiet vērā, ka līdz šim mēs esam pētījuši zelta griezumu tikai abstraktā matemātiskā kontekstā. Tālāk mēs redzēsim dažus lietišķus piemērus, taču ir nepieciešama piesardzība: zelta griezums nav precīzi parādīts nevienā no šiem gadījumiem. Pastāv dažādu kontekstu analīze, kurā zelta skaitlis parādās tāaptuvens.
Zelta attiecība arhitektūrā
Daži pētījumi apgalvo, ka zelta skaita aprēķini tiek novēroti noteiktās Heopsa piramīdas Ēģiptē un ANO galvenās mītnes ēkas Ņujorkā izmēru attiecībās.
Zelta attiecība cilvēka ķermenī
Cilvēka ķermeņa izmēri dažādiem cilvēkiem atšķiras, un nav ideāla ķermeņa tipa. Tomēr vismaz kopš Senās Grieķijas ir bijušas diskusijas par matemātiski ideālu ķermeni (un patiesībā pilnīgi nesasniedzamu), ar mērījumiem, kas saistīti ar zelta griezumu. Šajā teorētiskajā kontekstā, piemēram, cilvēka garuma attiecība pret attālumu starp nabu un zemi būtu zelta skaitlis.
zelta griezums mākslā
Ir pētījumi par itāļa Leonardo da Vinči darbiem “The Vitruvian Man” un “Mona Lisa”, kas liecina par zelta taisnstūru izmantošana.
Zelta attiecība dabā
Ir pētījumi, kas norāda uz a attiecības starp zelta griezumu un veidu, kādā tiek izplatītas noteiktu augu lapas uz kāta. Šo lapu izkārtojumu sauc par filotaksi.
Zelta attiecība dizainā
Zelta griezums tiek pētīts un izmantots arī dizaina jomā kā a projektu kompozīcijas rīks.
Atrisināti vingrinājumi uz zelta griezuma
jautājums 1
(Enem) Līnijas segments tiek sadalīts divās daļās zelta griezumā, kad veselums ir pret vienu no daļām tādā pašā attiecībā, kā šī daļa ir pret otru. Šo proporcionalitātes konstanti parasti apzīmē ar grieķu burtu ϕ, un tās vērtību nosaka vienādojuma ϕ2 = ϕ+1 pozitīvais risinājums.
Tāpat kā spēks \(ϕ^2\), ϕ augstākās pakāpes var izteikt formā \(aϕ+b\), kur a un b ir pozitīvi veseli skaitļi, kā parādīts tabulā.
potenci \(ϕ^7\), kas rakstīts formā aϕ+b (a un b ir pozitīvi veseli skaitļi), ir
a) 5ϕ+3
b) 7ϕ+2
c) 9ϕ+6
d) 11ϕ+7
e) 13ϕ+8
Izšķirtspēja
Kā \(ϕ^7=ϕ⋅ϕ^6\), Mums vajag
\(ϕ^7=ϕ⋅ϕ^6 = ϕ⋅(8ϕ+5)\)
Piemērojot sadali,
\(ϕ^7=8ϕ^2+5ϕ\)
Kā \(ϕ^2=ϕ+1\),
\(ϕ^7=8⋅(ϕ+1)+5ϕ\)
\(ϕ^7=13ϕ+8\)
E alternatīva.
2. jautājums
Novērtējiet katru zemāk esošo apgalvojumu par zelta skaitli kā T (patiess) vai F (nepatiess).
i. Zelta skaitlis ϕ ir neracionāls.
II. Koeficients starp katru terminu un tā priekšgājēju Fibonači secībā tuvojas ϕ vērtībai.
III. 1,618 ir zelta skaitļa ϕ noapaļošana līdz trim zīmēm aiz komata.
Pareizā secība no augšas uz leju ir
a) V-V-V
b) F-V-F
c) V-F-V
d) F-F-F
e) F-V-V
Izšķirtspēja
i. Taisnība.
II. Taisnība.
III. Taisnība.
Alternatīva A.
Avoti
FRANČISKO, S.V. no L. Starp valdzinājumu un zelta griezuma realitāti. Disertācija (profesionālais maģistra grāds matemātikā nacionālajā tīklā) – Biozinātņu, burtu un eksakto zinātņu institūts, Universidade Estadual Paulista Júlio de Mesquita Filho. Sanpaulu, 2017. Pieejams: http://hdl.handle.net/11449/148903.
SALES, Dž. no S. Dabā esošā zelta griezums. Kursa darba pabeigšana (matemātikas grāds), Piauí federālais izglītības, zinātnes un tehnoloģiju institūts. Piau, 2022. Pieejams http://bia.ifpi.edu.br: 8080/jspui/handle/123456789/1551.
Autore: Maria Luiza Alves Rizzo
Matemātikas skolotājs
Avots: Brazīlijas skola - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/proporcao-aurea.htm
