O apotēms Daudzstūra ir segments ar gala punktiem daudzstūra centrā un vienas malas viduspunktā. Šis segments veido 90° leņķi ar attiecīgo daudzstūra malu.
Lai aprēķinātu apotēma mēru, ir jāņem vērā attiecīgā daudzstūra īpašības. Atkarībā no ģeometriskās formas ir iespējams izveidot formulu, lai iegūtu šo mērījumu. Svarīgs novērojums ir tāds, ka regulāra daudzstūra apotēma mērs ir vienāds ar daudzstūrī ierakstītā apkārtmēra rādiusa mēru.
Izlasi arī: Kas ir bisektrise?
Kopsavilkums par apotēmu
Apotēms ir daudzstūra segments, kas savieno centru (perpendikulāru bisektoru satikšanās punktu) ar vienas malas viduspunktu.
Leņķis starp apotēmu un daudzstūra attiecīgo malu ir 90°.
Regulāra daudzstūra apotēmas mērs ir vienāds ar daudzstūrī ierakstītā riņķa rādiusa mēru.
Malu vienādmalu trīsstūra apotēma OM l tiek dota pēc formulas
\(OM = \frac{l\sqrt3}6\)
Sānu kvadrāta apotēma OM l tiek dota pēc formulas
\(OM = \frac{l}2\)
Parasta sešstūra apotēma OM vienā pusē l tiek dota pēc formulas
\(OM = \frac{l\sqrt3}2\)
Piramīdas apotēma ir segments, kas savieno virsotni ar vienas pamatnes malas viduspunktu, un tā mēru var iegūt ar Pitagora teorēmu.
Apotēmas piemēri
Lai atrastu daudzstūra apotēmu, mums ir jākonstruē līnijas segments, kas savieno daudzstūra centru ar vienas malas viduspunktu. Atcerieties, ka daudzstūra centrs ir vieta, kur satiekas bisektrise.
Šajos piemēros apotēms tika aplūkots plaknes daudzstūros. Tomēr ir kosmosa objekts, kam ir cita veida apotēma: piramīda.
Piramīdā ir divu veidu apotēmas: pamatnes apotēma, kas ir daudzstūra apotēma, kas veido piramīdas pamatu, un piramīdas apotēma, kas ir segments, kas savieno virsotni ar pamatmalas viduspunktu (tas ir, tas ir pamatnes sānu virsmas augstums). piramīda).
Tālāk sniegtajā kvadrātveida bāzes piemērā segments OM ir pamatnes apotēms, bet segments VM ir piramīdas apotēms, kur M ir BC viduspunkts.
Kādas ir apotēmas formulas?
Zinot daudzstūra, īpaši regulāru daudzstūru, raksturlielumus, varam izstrādāt formulas apotēma mēra aprēķināšanai. Apskatīsim, kādas ir šīs formulas galvenajiem regulārajiem daudzstūriem.
Vienādmalu trijstūra apotēma formula
Pie vienādmalu trīsstūra gadījums, augstums un mediāna attiecībā pret doto pusi ir vienādi. Tas nozīmē, ka daudzstūra centrs sakrīt ar baricentrs no trīsstūra. Tādējādi punkts O dala augstumu AM šādi:
\(AO = \frac{2}3:00\) Tas ir \(OM=\frac{1}3:00\)
Atcerieties, ka pasākums vienādmalu trijstūra augstums l piešķir:
\(Augstums\ trīsstūris\ vienādmalu=\frac{l\sqrt3}2\)
Tāpēc, tā kā AM ir vienādmalu trijstūra ABC augstums un segments OM ir trijstūra apotēms, mēs varam izstrādāt šādu izteiksmi OM mēram, ņemot vērā, ka trijstūra mala mēra l:
\(OM =\frac{1}3:00 = \frac{1}3 ⋅\frac{l\sqrt3}2\)
\(OM = \frac{l\sqrt3}6\)
Kvadrātveida formulas apotēma
Laukuma gadījumā apotēmas mērs atbilst pusei sānu garuma. Tādējādi, ja O ir kvadrāta centrs, M ir vienas malas viduspunkts un l ir kvadrāta malas garums, tāpēc apotēmas OM formula ir
\(OM=\frac{l}2\)
Regulāra sešstūra apotēma formula
Regulārajā sešstūrī apotēms atbilst vienādmalu trīsstūra augstumam ar virsotnēm vienas malas divos galos un daudzstūra centrā. Tālāk esošajā piemērā regulārā sešstūra apotēma OM ir vienādmalu trijstūra OCD augstums, kur M ir CD viduspunkts.
Kā jau minēts iepriekš, vienādmalu trīsstūra augstums ir zināms. Tādējādi, ja mēra regulāra sešstūra mala l, tad apotēma OM formula ir
\(OM =\frac{l\sqrt3}2\)
Piramīdas apotēmas formula
Piramīdas apotēmas mēru var iegūt ar Pitagora teorēmas palīdzība. Tālāk esošajā piemērā kvadrātveida piramīdā trīsstūris VOM ir taisnstūris ar kājiņām VO un OM un hipotenūzu VM. Ņemiet vērā, ka VO ir piramīdas augstums, OM ir pamatnes apotēma un VM ir piramīdas apotēma.
Tādējādi, lai noteiktu piramīdas apotēmas mēru, mums jāpiemēro Pitagora teorēma:
\((VM)^2=(VO)^2+(OM)^2\)
Uzmanīgi! VM ir vienādsānu trijstūra augstums, nevis vienādmalu trīsstūris. Tātad šajā gadījumā mēs nevaram izmantot vienādmalu trīsstūra augstuma formulu.
Kā tiek aprēķināts apotēms?
Lai aprēķinātu daudzstūra vai piramīdas apotēmu, mēs varam izmantot konstruētās formulas vai saistīt apotēmu ar ierakstītā apļa rādiusu.
1. piemērs: Pieņemsim, ka vienādmalu trīsstūrī ir ierakstīts aplis ar rādiusu 3 cm. Kāds ir šī trīsstūra apotēmas mērs?
Tā kā daudzstūra apotēmam ir tāds pats mērs kā ierakstītā apļa rādiusam, trijstūra apotēma ir 3 cm.
2. piemērs: Kāds ir regulāra sešstūra apotēma mērs, kura mala ir 4 cm?
Izmantojot formulu regulāra sešstūra apotēmam ar \(l=4\) cm, mums tas ir jādara
\(Measurement\ of\ apothem=\frac{4\sqrt3}2=2\sqrt3\ cm\)
Izlasi arī: Viss par trijstūra ievērojamajiem punktiem
Atrisināja vingrinājumus par apotēmu
jautājums 1
Ja 4 cm augstas piramīdas pamata apotēma ir 3 cm, tad piramīdas apotēma ir
a) 5 cm
b) 6 cm
c) 7 cm
d) 8 cm
e) 9 cm
Izšķirtspēja:
Piramīdā mēs varam izveidot taisnleņķa trīsstūri, kurā viena kāja ir pamatnes apotēma, otra kāja ir piramīdas augstums un hipotenūza ir piramīdas apotēma. Tādējādi, piemērojot Pitagora teorēmu mēra x hipotenūzai,
\(x^2=3^2+4^2\)
\(x = 5\ cm\)
Alternatīva A.
2. jautājums
Ja kvadrāta apotēma ir y cm, tad kvadrāta mala ir
) \(\frac{1}3 g. \) cm
B) \(\frac{1}2 g \) cm
c) y cm
d) 2 g. cm
e) 3 g cm
Izšķirtspēja
Kvadrāta apotēma ir puse no kvadrāta malas garuma. Tāpēc, ja apotēma izmēri ir y cm, kvadrāta izmēri ir 2y cm.
Alternatīva D.
Autore: Maria Luiza Alves Rizzo
Matemātikas skolotājs
