An polinoma vienādojums raksturojas ar to, ka ir a polinoms vienāds ar nulli. To var raksturot ar polinoma pakāpi, un jo lielāka šī pakāpe, jo lielāka ir grūtības pakāpe atrast tā risinājumu vai sakni.
Šajā kontekstā ir arī svarīgi saprast, kas ir algebras pamatteorēma, kas to nosaka katram polinoma vienādojumam ir vismaz viens komplekss risinājums, citiem vārdiem sakot: pirmās pakāpes vienādojumam būs vismaz viens risinājums, otrās pakāpes vienādojumam būs vismaz divi risinājumi utt.
Lasi arī: Kādas ir polinomu klases?
Kas ir polinoma vienādojums
Polinoma vienādojumu raksturo ar to, ka polinoms ir vienāds ar nulli, tādējādi katra P(x) = 0 tipa izteiksme ir polinoma vienādojums, kur P(x) ir polinoms. Tālāk ir sniegts vispārīgs polinoma vienādojuma gadījums un daži piemēri.
ApsverietNē, an -1, a n -2, …, The1, a0 un x reāli skaitļi, un n ir pozitīvs vesels skaitlis, šī izteiksme ir n pakāpes polinoma vienādojums.
- Piemērs
Sekojošie vienādojumi ir polinomi.
a) 3x4 + 4x2 – 1 = 0
b) 5x2 – 3 = 0
c) 6x – 1 = 0
d) 7x3 – x2 + 4x + 3 = 0
Tāpat kā polinomiem, arī polinoma vienādojumiem ir sava pakāpe. Lai noteiktu polinoma vienādojuma pakāpi, vienkārši atrodiet lielāko jaudu, kuras koeficients atšķiras no nulles. Tāpēc iepriekšējo vienumu vienādojumi ir attiecīgi:
a) Vienādojums ir no ceturtā pakāpe:3x4+ 4x2 – 1 = 0.
b) Vienādojums ir no vidusskola:5x2 – 3 = 0.
c) Vienādojums ir no pirmā pakāpe:6x – 1 = 0.
d) vienādojums ir no trešā pakāpe: 7x3– x2 + 4x + 3 = 0.
Kā atrisināt polinoma vienādojumu?
Polinoma vienādojuma atrisināšanas metode ir atkarīga no tā pakāpes. Jo lielāka ir vienādojuma pakāpe, jo grūtāk to atrisināt. Šajā rakstā mēs parādīsim polinoma vienādojumu atrisināšanas metodi pirmā pakāpe, otrā pakāpe un bisquare.
Pirmās pakāpes polinoma vienādojums
Pirmās pakāpes polinoma vienādojumu apraksta a 1. pakāpes polinoms. Tātad mēs varam uzrakstīt pirmās pakāpes vienādojumu kopumā šādi.
Apsveriet divus reālos skaitļus The un B ja ≠ 0, šī izteiksme ir pirmās pakāpes polinoma vienādojums:
cirvis + b = 0
Lai atrisinātu šo vienādojumu, mums jāizmanto līdzvērtības princips, tas ir, viss, kas tiek darbināts vienā vienlīdzības pusē, ir jādarbina arī otrā pusē. Lai noteiktu pirmās pakāpes vienādojuma atrisinājumu, mums ir izolēt nezināmo. Lai to izdarītu, pirmais solis ir novērst B vienādības kreisajā pusē un pēc tam atņemtairi b abās vienādības pusēs.
cirvis + b - B = 0 - B
cirvis = - b
Ņemiet vērā, ka nezināmā x vērtība nav izolēta, koeficients a ir jāizslēdz no vienādības kreisās puses, un tam abas puses sadalīsim ar The.
- Piemērs
Atrisiniet vienādojumu 5x + 25 = 0.
Lai atrisinātu problēmu, mums jāizmanto ekvivalences princips. Lai atvieglotu procesu, izlaidīsim operācijas rakstīšanu vienādības kreisajā pusē, esot līdzvērtīgs tam, lai teiktu, ka mēs "nodosim" skaitli uz otru pusi, mainot zīmi (apgrieztā darbība).
Uzziniet vairāk par šāda veida vienādojuma atrisināšanu, piekļūstot mūsu tekstam: Pirmās pakāpes vienādojums ar nezināmo.
Otrās pakāpes polinoma vienādojums
Otrās pakāpes polinoma vienādojumam ir a raksturlielums otrās pakāpes polinoms. Tātad, apsveriet a, b un c reālos skaitļus ar a ≠ 0. Otrās pakāpes vienādojumu dod:
cirvis2 + bx + c = 0
Jūsu risinājumu var noteikt, izmantojot metodi bhaskara vai ar faktoringu. Ja vēlaties uzzināt vairāk par šāda veida vienādojumiem, izlasiet: Eqdarbība sotrais grau.
→ Bhaskaras metode
Izmantojot Bhaskaras metodi, tās saknes nosaka pēc šādas formulas:
- Piemērs
Atrodiet vienādojuma x atrisinājumu2 – 3x + 2 = 0.
Ņemiet vērā, ka vienādojuma koeficienti ir attiecīgi a = 1, b = – 3 un c = 2. Aizstājot šīs vērtības formulā, mums ir:
→ Faktorizācija
Skatiet, ka ir iespējams faktorēt izteiksmi x2 – 3x + 2 = 0, izmantojot ideju par polinomu faktorizācija.
x2 – 3x + 2 = 0
(x – 2) · (x – 1) = 0
Ņemiet vērā, ka mums ir reizinājums, kas vienāds ar nulli, un produkts ir vienāds ar nulli tikai tad, ja viens no faktoriem ir vienāds ar nulli, tāpēc mums ir:
x – 2 = 0
x = 2
vai
x - 1 = 0
x = 1
Skatiet, ka mēs atradām vienādojuma risinājumu, izmantojot divas dažādas metodes.
bi-kvadrātu vienādojums
THE biskvadrāta vienādojums tas ir īpašs ceturtās pakāpes polinoma vienādojuma gadījums, parasti ceturtās pakāpes vienādojums tiek uzrakstīts šādā formā:
cirvis4 + bx3 + kaste2 + dx + e = 0
kur cipari a B C D un un ir reāli ar ≠ 0. Ceturtās pakāpes vienādojums tiek uzskatīts par biskvadrātu, ja koeficienti b = d = 0, tas ir, vienādojums ir šādā formā:
cirvis4 + kaste2 + un = 0
Tālāk esošajā piemērā skatiet, kā atrisināt šo vienādojumu.
- Piemērs
Atrisiniet x vienādojumu4 - 10x2 + 9 = 0.
Lai atrisinātu vienādojumu, mēs izmantosim šādas nezināmas izmaiņas, un ikreiz, kad vienādojums ir biskvadrāts, mēs veiksim šīs izmaiņas.
x2 =p
No bikvadrātu vienādojuma ievērojiet, ka x4 = (x2)2 un tāpēc mums ir:
x4 - 10x2 + 9 = 0
(x2)2 – 10x2 + 9 = 0
priekš2 – 10p + 9 = 0
Apskatiet, ka mums tagad ir otrās pakāpes polinoma vienādojums un mēs varam izmantot Bhaskaras metodi, piemēram:
Tomēr mums jāatceras, ka uzdevuma sākumā tika veiktas nezināmas izmaiņas, tāpēc mums ir jāpiemēro aizstāšanā atrastā vērtība.
x2 =p
Ja p = 9, mums ir šāds:
x2 = 9
x' = 3
vai
x’’ = – 3
Ja p = 1
x2 = 1
x' = 1
vai
x’’ = – 1
Tāpēc biskvadrāta vienādojuma atrisinājumu kopa ir:
S = {3, –3, 1, –1}
Izlasi arī: Briota-Rufini praktiskā ierīce – polinomu dalījums
Algebras fundamentālā teorēma (TFA)
Algebras (TFA) pamatteorēma, ko Gauss pierādīja 1799. gadā, nosaka, ka katram tālāk norādītajam polinoma vienādojumam ir vismaz viena kompleksā sakne.
Polinoma vienādojuma sakne ir tā atrisinājums, tas ir, nezināmā vērtība ir tā, kas padara vienādību patiesu. Piemēram, pirmās pakāpes vienādojuma sakne jau ir noteikta, tāpat kā otrās pakāpes vienādojumam, kuram ir vismaz divas saknes, un biskvadrātam, kuram ir vismaz četras saknes.
atrisināti vingrinājumi
jautājums 1 – Nosakiet x vērtību, kas padara vienādību patiesu.
2x – 8 = 3x + 7
Izšķirtspēja
Ņemiet vērā, ka, lai atrisinātu vienādojumu, tas ir jāsakārto, tas ir, atstājiet visus nezināmos vienādības kreisajā pusē.
2x – 8 = 3x + 7
2x – 3x = 7 + 8
– x = 15
Pēc ekvivalences principa mēs varam reizināt abas vienādības puses ar vienu un to pašu skaitli, un, tā kā mēs vēlamies atrast x vērtību, mēs reizināsim abas puses ar –1.
(–1)– x = 15(–1)
x = – 15
2. jautājums – Markosam ir par 20 R$ vairāk nekā Žoau. Kopā viņiem izdodas nopirkt divus čības pārus, katrs maksājot R$80 un naudas vairs nav. Cik reālu ir Džonam?
Izšķirtspēja
Pieņemsim, ka Markam ir x reāli, jo Jānim ir par 20 reāli vairāk, tātad viņam ir x + 20.
Atzīmes → x reāli
João → (x + 20) reāls
kā viņi nopirka divi kedu pāri kas maksā 80 reālus, tāpēc, ja mēs saliksim katras daļas kopā, mums būs:
x + (x + 20) = 2 · 80
x + x = 160–20
2x = 140
Tāpēc Markam bija 70 reāli, bet Žoau – 90 rei.
autors Robsons Luizs
Matemātikas skolotājs
Avots: Brazīlijas skola - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/equacao-polinomial.htm