O Paskāla trīsstūris tas ir diezgan vecs matemātikas rīks. Vēstures gaitā tas ir saņēmis vairākus nosaukumus, taču mūsdienās visvairāk pieņemtie ir aritmētiskais trīsstūris un Paskāla trīsstūris. Otrais nosaukums ir veltījums matemātiķim, kurš sniedza vairākus ieguldījumus šī trīsstūra izpētē. nozīmē, ka trijstūri izgudroja viņš, bet viņš bija tas, kurš to padziļināti pētīja rīks.
No Paskāla trijstūra īpašībām to var loģiski konstruēt. Izceļas arī jūsu attiecības ar kombinācijas pētīta kombinatoriskajā analīzē. Paskāla trijstūra vārdi atbilst arī binoma koeficientiem, un tāpēc tas ir ļoti noderīgs jebkura Ņūtona binoma aprēķināšanai.
Izlasi arī: Briot-Ruffini ierīce - polinomu dalīšanas metode
Paskāla trijstūra uzbūve
Paskāla trīsstūris tiek ražots no kombināciju rezultāta, tomēr ir praktiska metode, kas atvieglo tā izveidošanu. Pirmā rinda un pirmā kolonna tiek skaitītas kā nulles rinda un kolonna nulle. Mēs varam izmantot tik daudz līniju, cik nepieciešams šajā konstrukcijā, tāpēc trijstūrim var būt bezgalīgas līnijas. Līniju izstrādes pamatojums vienmēr ir vienāds. Skaties:
Mēs to zinām trijstūra termini ir kombinācijas, studējis gadā kombinatoriskā analīze. Lai aizstātu Paskāla trīsstūri ar skaitliskām vērtībām, mēs zinām, ka skaitļa ar nulli un skaitļa ar sevi kombinācijas vienmēr ir vienādas ar 1. Tāpēc pirmā un pēdējā vērtība vienmēr ir 1.
Lai atrastu pārējās, mēs sākam ar 2. rindiņu, jo 0. un 1. rinda jau ir pabeigta. 2. rindā, lai atrastu kombināciju no 2 līdz 1, augstāk esošajā rindā, tas ir, 1. rindā, pievienosim virs tā esošo terminu tajā pašā kolonnā un terminu virs tā iepriekšējā kolonnā, kā parādīts attēlā. :
Pēc 2. līnijas izbūves ir iespējams būvēt 3. līniju, veicot to pašu procedūru.
Turpinot šo procedūru, mēs atradīsim visus termiņus – šajā gadījumā līdz 5.rindai –, taču ir iespējams izbūvēt tik daudz līniju, cik nepieciešams.
Paskāla trijstūra īpašības
Ir daži Paskāla trīsstūra īpašības, pateicoties tās uzbūves regularitātei. Šīs īpašības ir noderīgas darbam ar kombinācijām, pašu trīsstūra līniju konstruēšanu un līniju, kolonnu un diagonāļu summu.
1. īpašums
Pirmais īpašums bija tas, ko izmantojām, lai izveidotu trīsstūri. Tātad, lai atrast terminu Paskāla trijstūrī, vienkārši pievienojiet terminu, kas atrodas rindā virs tā, un to pašu kolonnu ar terminu, kas atrodas kolonnā un rindā pirms tā. Šo īpašumu var attēlot šādi:
Šis īpašums ir pazīstams kā Stīfela attiecības un ir svarīgi atvieglot trīsstūra uzbūvi un atrast katras līnijas vērtības.
2. īpašums
Visu rindā esošo terminu summu aprēķina:
sNē=2Nē, uz ko Nē ir rindas numurs.
Piemēri:
Ar šo īpašumu var zināt visu rindas terminu summa bez nepieciešamības izveidot Paskāla trīsstūri. Piemēram, 10. rindas summu var aprēķināt ar 210 = 1024. Lai gan nav zināmi visi termini, jau ir iespējams uzzināt visas rindas summas vērtību.
3. īpašums
Terminu summa, kas seko no dotās kolonnas sākuma priekš līdz noteiktai līnijai Nē ir tāds pats kā termins uz līnijas n+1 aizmugure un kolonna p+1 vēlāk, kā parādīts zemāk:
4. īpašums
Diagonāles summa, kas sākas kolonnā 0 un iet uz vārdu kolonnā p un rindā n, ir vienāda ar terminu tajā pašā kolonnā (p), bet rindā zemāk (n+1), kā parādīts attēlā. :
5. īpašums
Paskāla trīsstūra līnijās ir simetrija. Pirmais un otrais termins ir vienādi, otrais un priekšpēdējais ir vienādi utt.
Piemērs:
6. rindiņa: 1615 20 156 1.
Ņemiet vērā, ka termini ir vienādi ar diviem līdz diviem, izņemot centrālo terminu.
Skatīt arī: Polinomu dalījums: kā to atrisināt?
Ņūtona binomiāls
Mēs definējam Ņūtona binomiālu a viena jauda polinoms kurā ir divi termini. Binoma aprēķins ir saistīts ar Paskāla trīsstūri, kas kļūst par mehānismu tā saukto binoma koeficientu aprēķināšanai. Lai aprēķinātu binomiālu, mēs izmantojam šādu formulu:
Ņemiet vērā, ka eksponenta vērtība The tas samazinās, līdz pēdējā termiņā ir vienāds ar The0. Mēs zinām, ka katrs skaitlis, kas palielināts līdz 0, ir vienāds ar 1, tāpēc termins The neparādās pēdējā termiņā. Ņemiet vērā arī to, ka eksponents B sākas ar B0, drīzumā B neparādās pirmajā termiņā un palielinās līdz sasniedz BNē, pēdējā termiņā.
Turklāt katram terminam pievienotais skaitlis ir tas, ko mēs saucam par koeficientu – šajā gadījumā to sauc par binominālo koeficientu. Lai labāk izprastu, kā atrisināt šāda veida binomiālu, piekļūstiet mūsu tekstam: Ņūtona binomiāls.
binomiālais koeficients
Binomiālais koeficients ir nekas cits kā kombinācija, ko var aprēķināt, izmantojot formulu:
Tomēr, lai atvieglotu Ņūtona binoma aprēķinu, ir būtiski izmantot Paskāla trīsstūri, jo tas kombinācijas rezultātu sniedz ātrāk.
Piemērs:
Lai atrastu binoma koeficienta rezultātu, atradīsim Paskāla trijstūra 5. rindas vērtības, kas ir {1,5,10,10,5,1}.
(x+y)5= 1x5+5x4y+10x3y2+ 10x2y3 + 5xy4+1 g5
Vienkārši liec:
(x+y)5= x5+5x4y+10x3y2+ 10x2y3 + 5xy4+y5
atrisināti vingrinājumi
Jautājums 1 - Zemāk esošās izteiksmes vērtība ir?
A) 8
B) 16
C) 2
D) 32
E) 24
Izšķirtspēja
Alternatīva A.
Pārgrupējot pozitīvās un negatīvās vērtības, mums ir:
Ņemiet vērā, ka mēs faktiski aprēķinām atņemšanu starp Paskāla trīsstūra 4. un 3. līniju. Pēc īpašuma mēs zinām, ka:
s4 = 24 = 16
s3= 23 = 8
16 – 8 = 8.
2. jautājums - Kāda ir zemāk esošās izteiksmes vērtība?
A) 32
B) 28
C) 256
D) 24
E) 54
Izšķirtspēja
Alternatīva B.
Ņemiet vērā, ka mēs pievienojam terminus no Paskāla trijstūra 1. kolonnas 7. rindai un pēc tam 3. rindai. rekvizītu, šīs summas vērtība ir vienāda ar terminu, kas aizņem 7+1 rindu un 1+1 kolonnu, tas ir, 8. rindu, 2. kolonna. Tā kā mēs vēlamies tikai vienu vērtību, visa Paskāla trīsstūra konstruēšana nav ērta.
Rauls Rodrigess de Oliveira
Matemātikas skolotājs
Avots: Brazīlijas skola - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/triangulo-pascal.htm