Eksponenciālā funkcija: 5 komentēti vingrinājumi

eksponenciālā funkcija ir katra ℝ funkcija ℝ^*_+, ko nosaka f (x) = a^x, kur a ir reāls skaitlis, lielāks par nulli un nav vienāds ar 1.

Izmantojiet komentēto vingrinājumu priekšrocības, lai novērstu visas šaubas par šo saturu, un noteikti pārbaudiet savas zināšanas atrisinātajos konkursu jautājumos.

Komentētie vingrinājumi

1. vingrinājums

Biologu grupa pēta konkrētas baktēriju kolonijas attīstību un konstatēts, ka ideālos apstākļos baktēriju skaitu var atrast, izmantojot izteiksmi N (t) = 2000. 2^{0,5 t}, būdams t stundās.

Ņemot vērā šos apstākļus, cik ilgi pēc novērošanas sākuma baktēriju skaits būs vienāds ar 8192000?

Risinājums

Piedāvātajā situācijā mēs zinām baktēriju skaitu, tas ir, mēs zinām, ka N (t) = 8192000, un mēs vēlamies atrast t vērtību. Tātad, vienkārši aizstājiet šo vērtību dotajā izteiksmē:

Lai atrisinātu šo vienādojumu, ierakstīsim skaitli 4096 galvenajos koeficientos, jo, ja mums ir vienāda bāze, mēs varam izlīdzināt eksponentus. Tāpēc, ņemot vērā skaitli, mums ir:

Tādējādi kultūrā pēc 1 dienas (24 stundām) no novērošanas sākuma būs 8 192 000 baktēriju.

2. vingrinājums

Radioaktīvajiem materiāliem ir dabiska tendence laika gaitā sadalīties to radioaktīvajā masā. Laiku, kas nepieciešams, lai sadalītos puse no tās radioaktīvās masas, sauc par tā pussabrukšanas periodu.

Noteiktā elementa radioaktīvā materiāla daudzumu aprēķina šādi:

Būt,

N (t): radioaktīvā materiāla daudzums (gramos) noteiktā laikā.
N₀: sākotnējais materiāla daudzums (gramos)
T: pussabrukšanas laiks (gados)
t: laiks (gados)

Ņemot vērā, ka šī elementa pussabrukšanas periods ir vienāds ar 28 gadiem, nosakiet laiku, kas vajadzīgs, lai radioaktīvais materiāls samazinātu līdz 25% no tā sākotnējā daudzuma.

Risinājums

Piedāvātajai situācijai A (t) = 0,25 A₀ = 1/4 A₀, lai mēs varētu uzrakstīt norādīto izteicienu, aizstājot T ar 28 gadiem, tad:

Tāpēc paies 56 gadi, līdz radioaktīvā materiāla daudzums tiks samazināts par 25%.

Konkursa jautājumi

1) Neskaidrs - 2018. gads

Ibuprofēns ir parakstītas zāles pret sāpēm un drudzi, un pusperiods ir aptuveni 2 stundas. Tas nozīmē, ka, piemēram, pēc 2 stundu ilgas 200 mg ibuprofēna uzņemšanas pacienta asinsritē paliks tikai 100 mg zāļu. Pēc vēl 2 stundām (kopā 4 stundas) asinsritē paliks tikai 50 mg un tā tālāk. Ja pacients ik pēc 6 stundām saņem 800 mg ibuprofēna, šo zāļu daudzums, kas pēc pirmās devas lietošanas paliks asinīs 14. stundu, būs

a) 12,50 mg
b) 456,25 mg
c) 114,28 mg
d) 6,25 mg
e) 537,50 mg

Skatiet Atbilde

Tā kā sākotnējais zāļu daudzums asinīs ik pēc 2 stundām tiek sadalīts uz pusēm, mēs varam attēlot šo situāciju, izmantojot šādu shēmu:

Ņemiet vērā, ka eksponents katrā situācijā ir vienāds ar laiku, kas dalīts ar 2. Tādējādi mēs varam definēt zāļu daudzumu asinīs atkarībā no laika, izmantojot šādu izteicienu:

Būt

Q (t): daudzums noteiktā stundā
J₀: sākotnējā uzņemtā summa
t: laiks stundās

Ņemot vērā, ka ik pēc 6 stundām tika lietoti 800 mg ibuprofēna, mums ir:

Lai atrastu zāļu daudzumu asinīs 14 stundas pēc pirmās devas uzņemšanas, mums jāpievieno summas, kas attiecas uz 1., 2. un 3. devu. Aprēķinot šos daudzumus, mums ir:

1. devas daudzums tiks noteikts, ņemot vērā laiku, kas vienāds ar 14 h, tāpēc mums ir:

Otrajai devai, kā parādīts iepriekš redzamajā diagrammā, laiks bija 8 stundas. Aizstājot šo vērtību, mums ir:

3. devas ievadīšanas laiks būs tikai 2 stundas. Tad summa, kas saistīta ar 3. devu, būs:

Tagad, kad mēs zinām katras uzņemtās devas daudzumu, kopējo daudzumu varam atrast, pievienojot katru atrasto daudzumu:

J_Kopā= 6,25 + 50 + 400 = 456,25 mg

B) alternatīva) 456,25 mg

2) UERJ - 2013. gads

Pilsētas apgādei izmantotais ezers pēc rūpnieciskās avārijas bija piesārņots, sasniedzot toksicitātes līmeni T₀, kas desmit reizes pārsniedz sākotnējo līmeni.
Izlasiet tālāk sniegto informāciju.

• Ezera dabiskā plūsma ļauj atjaunot 50% no tā tilpuma ik pēc desmit dienām.
• Toksicitātes līmeni T (x) pēc x negadījuma dienām var aprēķināt, izmantojot šādu vienādojumu:

Apsveriet D par mazāko ūdens padeves apturēšanas dienu skaitu, kas nepieciešams, lai toksicitāte atgrieztos sākotnējā līmenī.
Ja log 2 = 0,3, D vērtība ir vienāda ar:

a) 30
b) 32
c) 34
d) 36

Skatiet Atbilde

Lai atgrieztos sākotnējā toksicitātes līmenī, ir nepieciešams:

Aizstājot šo vērtību dotajā funkcijā, mums ir:

Reizinot ar "krustu", vienādojums kļūst:

2 ^0,1x= 10

Pielietosim bāzes 10 logaritmu abām pusēm, lai to pārvērstu par 1. pakāpes vienādojumu:

žurnāls (2^0,1x) = log 10

Atceroties, ka 10 baļķis 10 bāzē 10 ir vienāds ar 1, mūsu vienādojums izskatīsies šādi:

0,1x. log 2 = 1

Ņemot vērā, ka log 2 = 0,3 un aizstājot šo vērtību vienādojumā:

Tādējādi mazākais dienu skaits, aptuveni, ka piegāde jāpārtrauc, ir 34 dienas.

C) alternatīva 34

3) Fuvesp - 2018. gads

Ļaujiet f: ℝ → ℝ un g: ℝ₊ → ℝ definējis

attiecīgi.

Salikto funkciju grafiks g_ºticība:

Skatiet Atbilde

Grafiks, kuru meklējat, ir salikta funkcija g_ºf, tāpēc vispirms ir jānosaka šī funkcija. Lai to izdarītu, funkcijas g (x) x vietā jāaizstāj funkcija f (x). Veicot šo nomaiņu, mēs atradīsim:

Izmantojot koeficienta un spēka logaritma īpašību, mums ir:

Ņemiet vērā, ka iepriekš atrastā funkcija ir tipa ax + b, kas ir affīna funkcija. Tātad jūsu diagramma būs taisna.

Arī slīpums a ir vienāds ar baļķi₁₀ 5, kas ir pozitīvs skaitlis, tāpēc diagramma palielināsies. Tādā veidā mēs varam izslēgt b, c un e variantus.

Mums paliek opcijas a un d, tomēr, kad x = 0, mums ir gof = - log₁₀ 2, kas ir negatīva vērtība, kā parādīts grafikā a.

A) alternatīva

4) Unicamp - 2014. gads

Zemāk redzamajā grafikā parādīta mikroorganismu populācijas biotiskā potenciāla līkne q (t) laika gaitā t.

Tā kā a un b ir reālas konstantes, funkcija, kas var attēlot šo potenciālu, ir

a) q (t) = pie + b
b) q (t) = ab^t
c) q (t) = pie² + bt
d) q (t) = a + žurnāls _B t

Skatiet Atbilde

Pēc parādītā grafika mēs varam noteikt, ka tad, kad t = 0, funkcija ir vienāda ar 1000. Turklāt ir arī iespējams novērot, ka funkcija nav afinēta, jo grafiks nav taisna līnija.

Ja funkcija būtu q (t) = at tipa²+ bt, kad t = 0, rezultāts būtu vienāds ar nulli, nevis 1000. Tātad arī tā nav kvadrātveida funkcija.

Kā pieteikties_B0 nav definēts, un tam nevarētu būt kā atbilde funkcija q (t) = a + log_Bt.

Tādējādi vienīgā iespēja būtu funkcija q (t) = ab^t. Ņemot vērā t = 0, funkcija būs q (t) = a, tā kā a ir nemainīga vērtība, pietiek ar to, ka funkcija ir vienāda ar 1000, lai funkcija atbilstu dotajam grafikam.

Alternatīva b) q (t) = ab^t

5) Enem (PPL) - 2015. gads

Uzņēmuma darbinieku arodbiedrība iesaka, ka klases algu minimums ir R $ 1800,00, ierosinot fiksētu procentuālo pieaugumu katram darbam veltītajam gadam. Izteikums, kas atbilst algas priekšlikumam (-iem) kā darba stāža (t) funkcija gados, ir s (t) = 1800. (1,03)^t .

Saskaņā ar arodbiedrības priekšlikumu šī uzņēmuma profesionāļa alga ar 2 gadu stāžu patiesībā būs

a) 7 416,00
b) 3819,24
c) 3 709,62
d) 3 708,00
e) 1,909,62.

Skatiet Atbilde

Arodbiedrības piedāvātais izteiciens algas aprēķināšanai kā laika funkcija atbilst eksponenciālai funkcijai.

Lai atrastu algas vērtību norādītajā situācijā, aprēķināsim s vērtību, kad t = 2, kā norādīts zemāk:

s (2) = 1800. (1,03)² = 1800. 1,0609 = 1 909,62

E) alternatīva 1 909,62

Lasīt arī:

• Eksponenciālā funkcija
• Logaritms
• Logaritms - vingrinājumi
• Logaritma rekvizīti
• Potenciācija
• potencēšanas vingrinājumi
• Affine funkcija
• Lineārā funkcija
• Saistīto funkciju vingrinājumi
• Kvadrātiskā funkcija
• Kvadrātiskā funkcija - vingrinājumi
• Matemātikas formulas