Kvadrātu funkciju aprēķins

kvadrātiskā funkcija, ko sauc arī par 2. pakāpes polinoma funkcija, ir funkcija, ko attēlo šāda izteiksme:

f (x) = cirvis² + bx + c

Kur The, B un ç ir reāli skaitļi un The ≠ 0.

Piemērs:

f (x) = 2x²+ 3x + 5,

būtne,

a = 2
b = 3
c = 5

Šajā gadījumā kvadrātiskās funkcijas polinoms ir 2. pakāpes, jo tas ir lielākais mainīgā lieluma eksponents.

Kā atrisināt kvadrātisko funkciju?

Pārbaudiet soli pa solim izmantojot kvadrātiskās funkcijas risināšanas piemēru:

Piemērs

Atrodiet a, b un c kvadrātfunkcijā, ko dod: f (x) = ax² + bx + c, kas ir:

f (-1) = 8
f (0) = 4
f (2) = 2

Pirmkārt, aizstāsim x pēc katras funkcijas vērtībām un tādējādi mums būs:

f (-1) = 8
līdz 1)² + b (–1) + c = 8
a - b + c = 8 (I vienādojums)

f (0) = 4
The. 0² + b. 0 + c = 4
c = 4 (II vienādojums)

f (2) = 2
The. 2² + b. 2 + c = 2
4a + 2b + c = 2 (III vienādojums)

Ar otro funkciju f (0) = 4 mums jau ir vērtība c = 4.

Tātad, aizstāsim iegūto vērtību ç I un III vienādojumos, lai noteiktu citus nezināmos (The un B):

(I vienādojums)

a - b + 4 = 8
a - b = 4
a = b + 4

instagram story viewer

Tā kā mums ir vienādojums The ar I vienādojumu aizvietosim III, lai noteiktu B:

(III vienādojums)

4a + 2b + 4 = 2
4a + 2b = - 2
4 (b + 4) + 2b = - 2
4b + 16 + 2b = - 2
6b = - 18
b = - 3

Visbeidzot, lai atrastu vērtību The aizstājam vērtības B un ç kas jau ir atrasti. Drīz:

(I vienādojums)

a - b + c = 8
a - (- 3) + 4 = 8
a = - 3 + 4
a = 1

Tādējādi norādītās kvadrātiskās funkcijas koeficienti ir:

a = 1
b = - 3
c = 4

Funkciju saknes

Otrās pakāpes funkcijas saknes vai nulles attēlo x vērtības tā, ka f (x) = 0. Funkcijas saknes nosaka, atrisinot otrās pakāpes vienādojumu:

f (x) = cirvis² + bx + c = 0

Lai atrisinātu 2. pakāpes vienādojumu, mēs varam izmantot vairākas metodes, viena no visbiežāk izmantotajām ir Bhaskaras formula, t.i.

Piemērs

Atrodiet funkcijas f (x) = x nulles² - 5x + 6.

Risinājums:

Būt
a = 1
b = - 5
c = 6

Aizstājot šīs vērtības Bhaskaras formulā, mums ir:

x ir vienāds ar skaitītāju mīnus b plus mīnus kvadrātsakne b kvadrātā mīnus 4 a c saknes gals virs saucēja 2 frakcijas gals ir vienāds ar skaitītāju 5 plus vai mīnus 25 kvadrātsakne no mīnus 24 saknes beigas virs saucēja 2 frakcijas x beigas ar 1 apakšindeksu, kas vienāds ar skaitītāju 5 plus 1 virs saucējs 2 frakcijas beigas, kas vienādas ar 6 virs 2, kas vienādas ar 3 x, ar 2 apakšindeksu, kas vienāds ar skaitītāju 5, atņemot 1 virs saucēja 2, frakcijas beigas ir vienādas ar 4 virs 2 ir vienāds ar 2

Tātad saknes ir 2 un 3.

Ņemiet vērā, ka kvadrātiskās funkcijas sakņu skaits būs atkarīgs no vērtības, kas iegūta ar izteiksmi: Δ = b² – 4. BC, ko sauc par diskriminantu.

Tādējādi

ja Δ > 0, funkcijai būs divas reālas un atšķirīgas saknes (x₁ ≠ x₂);
ja Δ, funkcijai nebūs reālas saknes;
ja Δ = 0, funkcijai būs divas reālas un vienādas saknes (x₁ = x₂).

Kvadrātu funkciju grafiks

2. pakāpes funkciju grafiks ir līknes, kuras sauc par parabolām. atšķirīgs no 1. pakāpes funkcijas, kur, zinot divus punktus, ir iespējams uzzīmēt grafiku, kvadrātiskajās funkcijās ir jāzina vairāki punkti.

Kvadrātu funkcijas līkne sagriež x asi funkcijas saknēs vai nullēs, maksimāli divos punktos atkarībā no diskriminanta vērtības (Δ). Tātad mums ir:

Ja Δ> 0, grafiks sagriež x asi divos punktos;
Ja Δ
Ja Δ = 0, parabola skar x asi tikai vienā punktā.

Ir vēl viens punkts, ko sauc par parabola virsotne, kas ir funkcijas maksimālā vai minimālā vērtība. Šis punkts ir atrasts, izmantojot šādu formulu:

x ar v apakšindeksu, kas vienāds ar skaitītāju mīnus b virs saucēja 2 līdz atstarpes vietas beigām un y atstarpi ar v apakš indeksu, kas vienāds ar skaitītāju mīnus pieaugums pār saucēju 4 līdz frakcijas beigām

Virsotne attēlos funkcijas maksimālo vērtības punktu, kad parabola ir vērsta uz leju, un minimālo vērtību, ja vērsta uz augšu.

Līknes ieliekuma pozīciju ir iespējams identificēt, analizējot tikai koeficienta zīmi The. Ja koeficients ir pozitīvs, ieliekums ir vērsts uz augšu un, ja tas ir negatīvs, tas ir uz leju, tas ir:

Tātad, lai ieskicētu 2. pakāpes funkcijas grafiku, mēs varam analizēt funkcijas vērtību The, aprēķiniet funkcijas nulles, tās virsotni un arī punktu, kur līkne sagriež y asi, tas ir, kad x = 0.

No dotajiem sakārtotajiem pāriem (x, y) mēs varam uzbūvēt parabolu num Dekarta plakne, izmantojot savienojumu starp atrastajiem punktiem.

Iestājeksāmena vingrinājumi ar atgriezenisko saiti

1. (Vunesp-SP) Visas iespējamās vērtības m kas apmierina 2x nevienlīdzību² - 20x - 2m> 0 visiem x kas pieder reālo kopai, dod:

a) m> 10
b) m> 25
c) m> 30
d) m e) m

Skatiet Atbilde

B) alternatīva m> 25

2. (EU-CE) Kvadrātiskās funkcijas grafiks f (x) = ax² + bx ir parabola, kuras virsotne ir punkts (1, - 2). Kopas x = {(- 2, 12), (–1,6), (3,8), (4, 16)} elementu skaits, kas pieder šīs funkcijas grafikam, ir:

līdz 1
b) 2
c) 3
d) 4

Skatiet Atbilde

B) alternatīva 2

3. (Cefet-SP) Zinot, ka sistēmas vienādojumi ir x. y = 50 un x + y = 15, iespējamās vērtības x un y viņi ir:

a) {(5,15), (10,5)}
b) {(10,5), (10,5)}
c) {(5.10), (15.5)}
d) {(5.10), (5.10)}
e) {(5.10), (10.5)}

Skatiet Atbilde

E) alternatīva {(5.10), (10.5)}

Lasiet arī: