PA un PG: kopsavilkums, formulas un vingrinājumi

aritmētiskā progresija - PA ir vērtību secība, kurai pastāvīga atšķirība starp secīgiem skaitļiem.

ģeometriskā progresija - PG uzrāda skaitļus ar tādu pašu koeficientu, dalot divus secīgus nosacījumus.

Kamēr aritmētiskajā progresijā nosacījumi tiek iegūti, pievienojot priekšgājējam kopīgo atšķirību, nosacījumi a ģeometriskās progresijas tiek atrastas, reizinot attiecību ar pēdējo kārtas numuru, tādējādi iegūstot terminu pēctecis.

Zemāk ir divu progresiju veidu kopsavilkums.

Aritmētiskā progresija (AP)

Aritmētiskā progresija ir secība, ko veido termini, kas atšķiras viens no otra ar nemainīgu vērtību, ko sauc par attiecību, ko aprēķina pēc:

Kur,

r ir BP cēlonis;
The₂ ir otrais termins;
The₁ ir pirmais termins.

Tāpēc aritmētiskās progresijas noteikumus var rakstīt šādi:

Ņemiet vērā, ka PA Nē termini vispārējā termina formula_Nē) secība ir:

The_Nē =₁ + (n - 1) r

Daži konkrēti gadījumi ir: 3 termiņu AP apzīmē (x - r, x, x + r), un 5 termiņu AP komponentes ir (x - 2r, x - r, x, x + r, x + 2r).

PA veidi

Saskaņā ar koeficienta vērtību aritmētiskās progresijas iedala 3 tipos:

1. Pastāvīgs: kad attiecība ir vienāda ar nulli un BP nosacījumi ir vienādi.

Piemērs: PA = (2, 2, 2, 2, 2, ...), kur r = 0

2. Pieaug: ja attiecība ir lielāka par nulli un termins no otrā ir lielāks par iepriekšējo;

Piemērs: PA = (2, 4, 6, 8, 10, ...), kur r = 2

3. dilstoši: kad attiecība ir mazāka par nulli un termins no otrā ir mazāks nekā iepriekšējais.

Piemērs: PA = (4, 2, 0, - 2, - 4, ...), kur r = - 2

Aritmētiskās progresijas joprojām var klasificēt ierobežots, kad viņiem ir noteikts terminu skaits, un bezgalīgs, tas ir, ar bezgalīgiem noteikumiem.

PA termiņu summa

Aritmētiskās progresijas nosacījumu summu aprēķina pēc formulas:

Kur, Nē ir secības terminu skaits, The₁ ir pirmais termins un The_Nē ir n-tais sasaukums. Formula ir noderīga, lai atrisinātu jautājumus, kur ir norādīts pirmais un pēdējais termins.

Ja problēmai ir pirmais termins un BP iemesls, varat izmantot formulu:

Šīs divas formulas tiek izmantotas, lai pievienotu ierobežota BP nosacījumus.

Vidējais PA termiņš

Lai noteiktu BP vidējo vai centrālo terminu ar nepāra skaitu terminu, mēs aprēķinām aritmētisko vidējo ar pirmo un pēdējo terminu (a₁ un_Nē):

Vidējais termins starp trim PA numuriem pēc kārtas atbilst priekšgājēja un pēcteca vidējam aritmētiskajam skaitlim.

Atrisināts piemērs

Ņemot vērā PA (2, 4, 6, 8, 10, 12, 14), nosaka attiecību, vidējo termiņu un terminu summu.

1. PA iemesls

2. vidējā termiņā

3. terminu summa

Uzziniet vairāk par aritmētiskā progresija.

Ģeometriskā progresija (PG)

Ģeometriskā progresija tiek veidota, ja secībai ir reizināšanas koeficients, kas izriet no divu secīgu terminu dalīšanas, ko sauc par kopēju attiecību un ko aprēķina pēc:

Kur,

kas ir PG iemesls;
The₂ ir otrais termins;
The₁ ir pirmais termins.

Ģeometriskā progresija Nē termini var tikt attēloti šādi:

Būt The₁ pirmajā termiņā PG vispārējo termiņu aprēķina pēc The₁.q^(Nē-1).

PG veidi

Saskaņā ar koeficienta (q) vērtību mēs varam klasificēt ģeometriskās progresijas 4 veidos:

1. Pieaug: attiecība vienmēr ir pozitīva (q> 0), un termini pieaug;

Piemērs: PG: (3, 9, 27, 81, ...), kur q = 3.

2. dilstoši: attiecība vienmēr ir pozitīva (q> 0), nav nulle (0), un termini samazinās;

Piemērs: PG: (-3, -9, -27, -81, ...), kur q = 3

3. svārstīgs: iemesls ir negatīvs (q

Piemērs: PG: (3, -6, 12, -24, 48, -96,…), kur q = - 2

4. Pastāvīgs: attiecība vienmēr ir vienāda ar 1, un noteikumiem ir vienāda vērtība.

Piemērs: PG: (3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, ...), kur q = 1

PG terminu summa

Ģeometriskās progresijas summu summu aprēķina pēc formulas:

Būt The₁ pirmais termiņš, kas kopīgais iemesls un Nē terminu skaits.

Ja PG attiecība ir mazāka par 1, tad, lai noteiktu terminu summu, mēs izmantosim šādu formulu.

Šīs formulas tiek izmantotas ierobežotam PG. Ja pieprasītā summa ir bezgalīga PG, tiek izmantota šāda formula:

PG vidējais termiņš

Lai noteiktu PG vidējo vai centrālo terminu ar nepāra skaitu terminu, mēs aprēķinām ģeometrisko vidējo ar pirmo un pēdējo terminu (a₁ un_Nē):

Atrisināts piemērs

Ņemot vērā PG (1, 3, 9, 27 un 81), nosaka attiecību, vidējo termiņu un noteikumu summu.

1. PG iemesls

2. vidējā termiņā

3. terminu summa

Uzziniet vairāk par ģeometriskā progresija.

PA un PG formulu kopsavilkums

aritmētiskā progresija	Ģeometriskā progresija
Iemesls
vispārējs termins
vidējā termiņā
galīgā summa
bezgalīga summa

Uzziniet vairāk par numuru secības.

Vingrinājumi PA un PG

jautājums 1

Kāds ir secības 16. termins, kas sākas ar skaitli 3 un kura BP attiecība ir vienāda ar 4?

a) 36
b) 52
c) 44
d) 63

Skatiet Atbilde

Pareiza alternatīva: d) 63.

Tā kā PA attiecība ir nemainīga, secībā varam atrast otro terminu, pievienojot attiecību pirmajam skaitlim.

The₂ =₁ + r

The₂ = 3 + 4

The₂ = 7

Tāpēc mēs varam teikt, ka šo secību veido (3, 7, 11, 15, 19, 23,…)

16. terminu var aprēķināt, izmantojot vispārīgo terminu formulu.

The_Nē =₁ + (n - 1). r

The₁₆ = 3 + (16 – 1). 4

The₁₆ = 3 + 15.4

The₁₆ = 3 + 60

The₁₆ = 63

Tāpēc atbilde uz jautājumu ir 63.

2. jautājums

Kāda ir sešu termiņu AP attiecība, kuras pirmo trīs skaitļu summa secībā ir vienāda ar 12 un pēdējie divi ir vienādi –34?

a) 7
b) - 6
c) - 5
d) 5

Skatiet Atbilde

Pareiza alternatīva: b) - 6.

Aritmētiskās progresijas nosacījumu vispārīgā formula ir₁, (a₁ + r), (a₁ + 2r),..., {a₁ + (n-1) r}. Tāpēc pirmo trīs terminu summu var uzrakstīt šādi:

The₁ + (₁ + r) + (a₁ + 2r) = 12
3₁ + 3r = 12
3₁ = 12 - 3r
The₁ = (12 - 3r) / 3
The₁ = 4 - r

Pēdējo divu terminu summa ir šāda:

(The₁ + 4r) + (a₁ + 5r) = - 34
2₁ + 9r = - 34

Tagad mēs aizstājam₁ ar 4 - r.

2 (4 - r) + 9r = - 34
8 - 2r + 9r = - 34
7r = - 34 - 8
7r = - 42
r = - 42/7
r = - 6

Tāpēc PG attiecība ir - 6.

3. jautājums

Ja PG trešais termins ir 28 un ceturtais ir 56, kādi ir pirmie 5 šīs ģeometriskās progresijas termini?

a) 6, 12, 28, 56, 104
b) 7, 18, 28, 56, 92
c) 5, 9, 28, 56, 119
d) 7, 14, 28, 56, 112

Skatiet Atbilde

Pareiza alternatīva: d) 7, 14, 28, 56, 112

Pirmkārt, mums jāaprēķina šī PG attiecība. Šim nolūkam mēs izmantosim formulu:

The₄ =₃. kas
56 = 28. kas
56/28 = q
q = 2

Tagad mēs aprēķinām pirmos 5 nosacījumus. Mēs sāksim ar₁ izmantojot vispārīgā termina formulu.

The_Nē =₁. kas^(n-1)
The₃ =₁ . kas^(3-1)
28 =₁. 2²
The₁ = 28/ 4 = 7

Atlikušos nosacījumus var aprēķināt, iepriekšējo terminu reizinot ar attiecību.

The₂ =₁.q
The₂ = 7. 2
The₂ = 14

The₅ =₄. kas
The₅ = 56. 2
The₅ = 112

Tāpēc pirmie 5 PG noteikumi ir:

1. termiņš: 7
2. sasaukums: 14
3. sasaukums: 28
4. sasaukums: 56
5. sasaukums: 112

Skatiet arī citus vingrinājumus, lai turpinātu praktizēt:

• Vingrinājumi par aritmētisko progresu
• Vingrinājumi par ģeometrisko progresu