Trīsstūru līdzība: komentēti un atrisināti vingrinājumi

trīsstūra līdzība tiek izmantots, lai atrastu nezināmu viena trijstūra mēru, zinot cita trijstūra mērus.

Ja divi trīsstūri ir līdzīgi, to atbilstošo malu izmēri ir proporcionāli. Šīs attiecības tiek izmantotas, lai atrisinātu daudzas ģeometrijas problēmas.

Tātad, izmantojiet komentēto un atrisināto vingrinājumu priekšrocības, lai novērstu visas šaubas.

Jautājumi atrisināti

1) Jūrnieka māceklis - 2017. gads

Skatīt attēlu zemāk

Ēka met 30 m garu ēnu uz zemes tajā pašā mirklī, kā 6 m garš cilvēks met 2,0 m ēnu. Var teikt, ka ēkas augstums ir vērts

a) 27 m
b) 30 m
c) 33 m
d) 36 m
e) 40 m

Skatiet Atbilde

Mēs varam uzskatīt, ka ēka, tās projicētā ēna un saules stars veido trīsstūri. Tāpat mums ir arī trīsstūris, ko veido cilvēks, viņa ēna un saules stars.

Ņemot vērā, ka saules stari ir paralēli un leņķis starp ēku un zemi un cilvēku ir zeme ir vienāda ar 90º, trīsstūri, kas norādīti zemāk redzamajā attēlā, ir līdzīgi (divi leņķi ir vienāds).

Tā kā trijstūri ir līdzīgi, mēs varam uzrakstīt šādu proporciju:

Alternatīva: a) 27 m

2) Fuvest - 2017. gads

Attēlā taisnstūrim ABCD ir malas ar garumu AB = 4 un BC = 2. Ļaujiet M būt sānu viduspunktam un N sānu viduspunkts . Segmenti pārtvert segmentu attiecīgi punktos E un F.

Trijstūra AEF laukums ir vienāds ar

Skatiet Atbilde

Trijstūra AEF laukumu var atrast, samazinot trijstūra ABE laukumu no trijstūra AFB laukuma, kā parādīts zemāk:

Sāksim ar AFB trīsstūra laukuma atrašanu. Lai to izdarītu, mums jānoskaidro šī trijstūra augstuma vērtība, jo bāzes vērtība ir zināma (AB = 4).

Ņemiet vērā, ka trijstūri AFB un CFN ir līdzīgi, jo tiem ir divi vienādi leņķi (gadījums AA), kā parādīts zemāk redzamajā attēlā:

Uzzīmēsim augstumu H₁, attiecībā pret AB malu trijstūrī AFB. Tā kā sānu CB izmērs ir vienāds ar 2, mēs varam uzskatīt, ka sānu NC relatīvais augstums trīsstūrī FNC ir vienāds ar 2 - H₁.

Pēc tam mēs varam uzrakstīt šādu proporciju:

Zinot trijstūra augstumu, mēs varam aprēķināt tā laukumu:

Lai atrastu trijstūra ABE laukumu, jums jāaprēķina arī tā augstuma vērtība. Tam mēs izmantosim faktu, ka ABM un AOE trīsstūri, kas norādīti zemāk redzamajā attēlā, ir līdzīgi.

Turklāt trijstūris OEB ir taisns trīsstūris, un pārējie divi leņķi ir vienādi (45 °), tātad trijstūris ar vienādsānu. Tādējādi šī trijstūra divas kājas ir H vērtas₂, kā attēlā zemāk:

Tādējādi trijstūra AOE sānu AO ir vienāds ar 4 - H_2. Pamatojoties uz šo informāciju, mēs varam norādīt šādu proporciju:

Zinot augstuma vērtību, tagad mēs varam aprēķināt trijstūra ABE laukumu:

Tādējādi trijstūra AFE laukums būs vienāds ar:

Alternatīva: d)

3) Cefet / MG - 2015. gads

Šajā attēlā attēlots taisnstūrveida biljarda galds, kura platums un garums ir attiecīgi 1,5 un 2,0 m. Spēlētājam ir jāmet baltā bumba no punkta B un jāsit melnajai bumbai punktā P, vispirms nenotriecot nevienu citu. Tā kā dzeltenā krāsa atrodas A punktā, šis spēlētājs iemetīs balto bumbu uz punktu L, lai tā varētu atlekt un sadurties ar melno.

Ja bumbas kritiena ceļa leņķis galda malā un atsitiena leņķis ir vienādi, kā parādīts attēlā, tad attālums no P līdz Q, cm, ir aptuveni

a) 67
b) 70
c) 74
d) 81

Skatiet Atbilde

Trijstūri, kas attēlā zemāk ir atzīmēti ar sarkanu, ir līdzīgi, jo tiem ir divi vienādi leņķi (leņķis ir vienāds ar α un leņķis ir vienāds ar 90 °).

Tāpēc mēs varam uzrakstīt šādu proporciju:

Alternatīva: a) 67

4) Militārā koledža / RJ - 2015. gads

Trijstūrī ABC punkti D un E pieder attiecīgi malām AB un AC un ir tādi, ka DE / / BC. Ja F ir AB punkts, kurā EF / / CD un AF un FD e mērījumi ir attiecīgi 4 un 6, segmenta DB mērījums ir:

a) 15.
b) 10.
c) 20.
d) 16.
e) 36.

Skatiet Atbilde

Mēs varam attēlot trijstūri ABC, kā parādīts zemāk:

Tā kā segments DE ir paralēls BC, tad trijstūri ADE un ABC ir līdzīgi, jo to leņķi ir vienādi.

Pēc tam mēs varam uzrakstīt šādu proporciju:

Arī trīsstūri FED un DBC ir līdzīgi, jo segmenti FE un DC ir paralēli. Tādējādi ir spēkā arī šāda proporcija:

Izolējot y šajā proporcijā, mums ir:

Y vērtības aizstāšana pirmajā vienādībā:

Alternatīva: a) 15

5) Epcar - 2016. gads

Taisnā trijstūra formas zemi sadalīs divās daļās ar žogu, kas izgatavots uz hipotenūzas bisektora, kā parādīts attēlā.

Ir zināms, ka šī reljefa malas AB un BC mēra attiecīgi 80 m un 100 m. Tādējādi attiecība starp I partijas perimetru un II daļas perimetru šādā secībā ir

Skatiet Atbilde

Lai uzzinātu attiecību starp perimetriem, mums jāzina visu I un II attēla malu vērtība.

Ņemiet vērā, ka hipotenūzas bisektors sadala BC pusi divos kongruentos segmentos, tāpēc CM un MB segmenti mēra 50 m.

Tā kā trijstūris ABC ir taisnstūris, mēs varam aprēķināt malu AC, izmantojot Pitagora teorēmu. Tomēr ņemiet vērā, ka šis trīsstūris ir Pitagora trīsstūris.

Tādējādi hipotenūza ir vienāda ar 100 (5. 20) un viena kāja ir vienāda ar 80 (4,20), tad otra kāja var būt vienāda ar 60 (3,20).

Mēs arī identificējām, ka trijstūri ABC un MBP ir līdzīgi (gadījums AA), jo tiem ir kopīgs leņķis, bet otram - 90 °.

Tātad, lai atrastu x vērtību, mēs varam uzrakstīt šādu proporciju:

Z vērtību var atrast, ņemot vērā proporciju:

Mēs varam arī atrast y vērtību, rīkojoties šādi:

Tagad, kad mēs zinām visas puses, mēs varam aprēķināt perimetrus.

I attēla perimetrs:

II attēla perimetrs:

Tāpēc attiecība starp perimetriem būs vienāda ar:

Alternatīva: d)

6) Enem - 2013. gads

Saimniecības īpašnieks vēlas ievietot atbalsta stieni, lai labāk nostiprinātu divus stabus ar garumu 6 m un 4 m. Attēlā attēlota reālā situācija, kurā amatus raksturo segmenti AC un BD un stienis ir attēlots ar EF segmentu, perpendikulāri zemei, ko norāda taisnas līnijas segments AB. Segmenti AD un BC apzīmē tērauda kabeļus, kas tiks uzstādīti.

Kādai jābūt stieņa garuma EF vērtībai?

a) 1 m
b) 2 m
c) 2,4 m
d) 3 m
e) 2 m

Skatiet Atbilde

Lai atrisinātu problēmu, sauksim stumbra augstumu kā z un AF un FB segmentu mērījumus x un yattiecīgi, kā parādīts zemāk:

ADB trīsstūris ir līdzīgs AEF trijstūrim, jo ​​abiem ir 90 ° leņķis un kopējs leņķis, tāpēc AA gadījumā tie ir līdzīgi.

Tāpēc mēs varam uzrakstīt šādu proporciju:

Reizinot "krustā", mēs iegūstam vienlīdzību:

6x = h (x + y) (I)

No otras puses, trijstūri ACB un FEB arī būs līdzīgi iepriekš minēto iemeslu dēļ. Tātad mums ir proporcija:

Risināšana tādā pašā veidā:

4y = h (x + y) (II)

Ņemiet vērā, ka vienādojumiem (I) un (II) pēc vienādības zīmes ir vienāda izteiksme, tāpēc mēs varam teikt, ka:

6x = 4g

Aizstājot x vērtību otrajā vienādojumā:

Alternatīva: c) 2,4 m

7) Fuvest - 2010. gads

Attēlā trijstūris ABC ir taisnstūrveida ar malām BC = 3 un AB = 4. Turklāt punkts D pieder atslēgas kaulam. , punkts E, kas pieder atslēgas kaulam un punkts F pieder hipotenūzai , tāds, ka DECF ir paralelograms. ja , tāpēc ir vērts DECF paralelograma laukums

Skatiet Atbilde

Paralelograma laukumu atrod, reizinot bāzes vērtību ar augstumu. Sauksim h par augstumu un x par pamatmērījumu, kā parādīts zemāk:

Tā kā DECF ir paralelograms, tā malas ir paralēlas pa divām. Tādā veidā malas AC un DE ir paralēlas. Tātad leņķi tie ir vienādi.

Pēc tam mēs varam noteikt, ka trijstūri ABC un DBE ir līdzīgi (gadījums AA). Mums ir arī tas, ka trijstūra ABC hipotenūze ir vienāda ar 5 (trīsstūris 3,4 un 5).

Tādā veidā uzrakstīsim šādu proporciju:

Lai atrastu bāzes x mēru, mēs ņemsim vērā šādu proporciju:

Aprēķinot paralelograma laukumu, mums ir:

Alternatīva: a)