Trigonometrija ir grieķu izcelsmes vārds, kas attiecas uz trīs leņķu mērījumu. Studijas šajā matemātikas jomā koncentrējas uz trijstūri, kas ir daudzstūri, kuriem ir trīs puses un līdz ar to trīs leņķi. Sākumā trigonometrija tas ir saistīts ar dažu taisnstūra trijstūru īpašību un sakarību izpēti, lai vēlāk saistītu trijstūru malu mērījumus ar leņķu mērījumiem.
Šīs īpašības un attiecības tiek paplašinātas līdz jebkuriem trijstūriem, izmantojot teorēmas, kas pazīstamas kā grēku likums un kosinusa likums. Vēlāk daži no šiem rezultātiem tiek novēroti trijstūros, kuru malas ir nozīmīgi apļa segmenti, kas pazīstams kā “trigonometriskais aplis”.
trigonometrija piedāvā lielu jaunumu. Pirms tam bija iespējams apsvērt tikai aprēķinus un īpašības, kas saistītas tikai ar trijstūra sāniem vai tikai leņķiem, vai pamata attiecībām starp šiem elementiem. Pēc tā ierašanās ir iespējams tieši saistīt trīsstūra malu mērījumus ar viena tā leņķa mērījumiem. Jāatzīmē, ka attiecības starp ievērojamajām malām un segmentiem trijstūrī veido arī trigonometrija.
Pirms iedziļināties jēdzienā trigonometrija, Ir svarīgi zināt, kādi ir vissvarīgākie taisnstūra trīsstūra elementi. Šie elementi ir izklāstīti turpmāk:
Taisnā trīsstūra elementi
Katru taisno trīsstūri var sadalīt divos citos taisnstūra trijstūros, kā parādīts zemāk redzamajā attēlā, izsekojot augstumu “h” attiecībā pret pamatni “a”.
Šī taisnstūra trīsstūra augstums veido divus 90 ° leņķus ar pamatni
Ņemot vērā trijstūri ABD, taisnstūri B, ir iespējams novērot šādus elementus:
1 - sānus AB un BD sauc par sāniem, un to mērījumi ir attiecīgi c un b;
2 - AD pusi sauc par hipotenūzu, un tās mērījums ir a. Šī puse vienmēr būs pretī 90 ° leņķim;
3 - BE ir trijstūra ABD augstums attiecībā pret pamatni AD un tā mērījums ir h. (atceroties, ka augstums vienmēr veido 90 ° leņķi ar pamatni attiecībā pret to);
4 - AE ir AB kājas taisnleņķa projekcija pār hipotenūzu. Tās mērs ir m;
5 - ED ir BD kājas ortogonālā projekcija pār hipotenūzu. Tās mērījums ir n.
Tālāk mēs iepazīstinām un apspriežam dažas trigonometrijā redzamās īpašības, pamatojoties uz iepriekš atklātā taisnstūra trīsstūra elementiem.
Metriskās attiecības labajā trīsstūrī
Tās ir vienādības, kas attiecas uz taisnstūra trijstūra malām, augstumu un ortogonālajām projekcijām:
1) c2 = vidējais
2) b · c = a · h
3) h2 = m · n
4) b2 = nē
5)2 = b2 + c2 (Pitagora teorēma)
Trigonometriskās attiecības vai proporcijas taisnleņķa trīsstūrī
Šīs vienādības attiecas uz taisnstūra trijstūra malu attiecībām ar vienu no tā asajiem leņķiem. Lai to izdarītu, ir jānosaka viens no diviem leņķiem un taisnleņķa trīsstūrī jāievēro pretējās un blakus esošās puses definīcijas:
Taisnstūra trīsstūris, izceļot α leņķi
BD ir pretējā kāja leņķī α;
AB ir blakus esošā kāja leņķī α.
Šie ir priekšnoteikumi, lai definētu trigonometriskās attiecības. Vai viņi:
→ Sinusa no α
grēks α = Katets pretī α
Hipotenūza
→ α kosinuss
cos α = Kateto blakus α
Hipotenūza
→ α tangents
tg α = Katets pretī α
Kateto blakus α
Šie iemesli attiecas uz jebkuru citu taisns trīsstūris kura asais leņķis ir vienāds ar α. Šo sadalījumu rezultāts vienmēr ir vienāds neatkarīgi no trijstūra malas garuma, jo divi trijstūri, kuriem ir divi vienādi leņķi, trīsstūra līdzība leņķis-leņķis, ir proporcionālas malas. No tā izriet, ka attiecība starp pusēm ir vienāda.
trigonometriskais aplis
To sauc arī par trigonometrisko ciklu vai trigonometrisko apli (pareizāki, bet mazāk izplatīti nosaukumi), tas ir orientēts aplis ar rādiusu 1. Šajā apkārtmērā a taisns trīsstūris, kura leņķis α sakrīt ar izcelsmi, tā ka šī trijstūra augstums iet no abscisu ass līdz apļa malai.
Šis augstums sakrīt ar vērtību sinusa, jo tā ir pretēja leņķim α. Mērījums, kas iet no punkta, kur augstums saskaras ar abscesa asi, līdz sākumam sakrīt ar sānu, kas atrodas blakus leņķim α, tas ir, ar vērtību kosinuss.
Šīs sakritības rodas tāpēc, ka hipotenūza vienmēr ir 1, jo tas ir apļa rādiuss. Ievērojiet šīs īpašības attēlā zemāk:
1. rādiusa aplis, uz kura novietots taisnstūris, lai novērtētu tā īpašības
Neatkarīgi no taisnās trīsstūra, kas uzbūvēts uz šī apļa, sānu, kas sakrīt ar daļu no abscisu ass mēra tieši kosinusa vērtību α, bet otra puse - tieši ar sinuso α.
Trigonometriskās funkcijas
Izmantojot trigonometrisko apli, ir iespējams definēt trigonometriskās funkcijas kas katru reālo skaitļu kopas elementu saista ar vienu reālo skaitļu kopas elementu. Tomēr šie skaitļi ir izteikti radiānos, kas ir mērvienība atkarībā no izmantotā π, jo pēc 360 ° trigonometriskais aplis, grādu un līdz ar to uz tā balstītas funkcijas domēna un pretdomēna elementu skaitīšanu var atsākt no nulles.
fundamentālas attiecības
Trigonometrijas pamatsakarības ir:
1) Pamata attiecības 1
Sen2α + cos2α = 1
2) pieskare α
tg α = grēks α
cos α
3) Kotangents no α, kas ir apgrieztais tangenss α
cotg α = cos α
grēks α
4) Sekants α, kas ir α kosinusa apgrieztā vērtība
sek α = 1
cos α
5) oss Cossecant, kas ir α sinusa apgrieztā vērtība
kazeks α = 1
grēks α
6) Saistība, kas rodas 1
tg2α + 1 = sek2α
7) 2. saistība
bērnu gultiņa2α + 1 = kazeks2α
8) Atkārtotas attiecības 3
cotg α = 1
tg α
Autors Luizs Paulo Moreira
Beidzis matemātiku
Avots: Brazīlijas skola - https://brasilescola.uol.com.br/o-que-e/matematica/o-que-e-trigonometria.htm