Pētījums par ciparu kopas ir viena no galvenajām matemātikas jomām, jo tām ir ļoti liela nozīme šīs teritorijas teorētiskajā attīstībā un tām ir vairāki praktiski pielietojumi. Skaitlisko kopu apgūšanā ietilpst:
- dabiskie skaitļi;
- veseli skaitļi;
- racionāli skaitļi;
- neracionāli skaitļi;
- reālie skaitļi; un
- kompleksie skaitļi.
Lasīt vairāk: Galvenie skaitļi - skaitļi, kuriem ir tikai 1 un kuri paši ir dalītāji
Dabisko skaitļu kopa
Pirmo civilizāciju attīstība nesa lauksaimniecības un tirdzniecības uzlabošanos un līdz ar to arī izmantojot skaitļus, lai attēlotu daudzumus. Pirmais komplekts radās dabiski, tāpēc arī tā nosaukums. Dabisko nosaukto kopu izmanto, lai attēlotu lielumus, un to apzīmē ar simbols ℕ un ir rakstīts secības formā. Skaties:
O skaitļu kopa naturair é bezgalīgs un slēgts papildinājums un reizināšana, tas ir, ikreiz, kad mēs pievienojam vai reizinām divus dabiskos skaitļus, atbilde joprojām ir dabiska. Tomēr atņemšanas operācijai un sadalīšana, komplekts nav aizvērts. Skaties:
5 – 6 = –1
3 ÷ 2 = 0,5
Ņemiet vērā, ka skaitļi –1 un 0,5 tie nepieder pie dabīgo kopas, un tas ir pamatojums jaunu skaitļu kopu izveidošanai un izpētei.
Nepārtrauciet tūlīt... Pēc reklāmas ir vēl vairāk;)
Turklāt, ievietojot zvaigznīti (*) dabiskās kopas simbolā, mums ir jānoņem skaitlis nulle no saraksta, skatiet:
iestatīti veseli skaitļi
Visu iestatīto numuru nāca klajā ar jāveic operācija atņemšana nav ierobežojumu. Kā redzējām, kad mazāks skaitlis tiek atņemts no lielāka, atbilde nepieder naturālu grupai.
Veselu skaitļu kopu attēlo arī bezgalīga skaitliskā secība, un to apzīmē ar simbols ℤ.
Tāpat kā dabisko skaitļu kopā, ievietojot zvaigznīti simbolā ℤ, elements null tiek noņemts no kopas šādi:
(-) simbols, kas pievienots skaitlim, norāda, ka tas ir simetrisks, tāpēc skaitļa 4 simetriskais ir skaitlis –4. Ņemiet vērā arī to, ka dabisko skaitļu kopa ir veselu skaitļu kopa, tas ir, dabisko skaitļu kopa ir veselu skaitļu kopas apakškopa.
ℕ ⸦ ℤ
Lasiet arī: Darbības ar veseliem skaitļiem - kādi tie ir un kā aprēķināt?
racionālu skaitļu kopa
O racionālu skaitļu kopa é attēlo simbols ℚ un nav attēlots ar ciparu secību. Šo kopu veido visi skaitļi, kurus var attēlot kā daļu. Mēs pārstāvam tā elementus šādi:
Mēs zinām, ka katru veselu skaitli var attēlot ar a frakcija, tas ir, veselu skaitļu kopa ir ietverta racionālo skaitļu komplektā, tātad, veselu skaitļu kopa ir pamatojuma apakškopa.
ℕ ⸦ ℤ ⸦ ℚ
Skaitļi, kuriem ir bezgalīgs attēlojums, piemēram, periodiskā desmitā tiesa, arī ir attēloti kā daļa no frakcijas, tādējādi tie ir arī racionāli.
Lasiet arī: Darbības ar daļām - soli pa solim, kā tās atrisināt
Iracionālu skaitļu kopa
Kā redzējām, skaitlis ir racionāls, ja to var uzrakstīt kā daļu. Ir arī teikts, ka bezgalīgi un periodiski skaitļi ir racionāli, tomēr ir daži skaitļi nevar rakstīt kā daļu un kas tāpēc nepieder pie racionālo skaitļu kopas.
Šos neracionālos skaitļus sauc neracionāls un tās galvenās īpašības ir decimāldaļas bezgalība un nefrekvence, tas ir, neviens cipars aiz komata neatkārtojas. Skatiet dažus iracionāli skaitļi.
- 1. piemērs
Ciparu kvadrātsaknes, kas nav ideāli kvadrāti.
- 2. piemērs
Konstantes, kas rodas īpašu iemeslu dēļ, piemēram, zelta skaitlis, Eulera numurs vai Pi.
Reālo skaitļu kopa
O reālo skaitļu kopa attēlo simbols ℝ un veido simbols vienotībano racionālo skaitļu kopas ar iracionālo skaitļu kopu. Atcerieties, ka pamatojums ir dabisko un veselu skaitļu kopu savienojums.
Kad mēs sakārtojam reālos skaitļus uz līnijas, mums ir tāds, ka skaitlis nulle ir līnijas izcelsme, pa labi no nulles būs pozitīvie skaitļi un pa kreisi - negatīvie skaitļi.
Tā kā šī ass ir reāla, mēs varam teikt, ka starp diviem skaitļiem ir bezgalīgi daudz un ka šī ass ir bezgalīga gan pozitīvs virziens kad iekšā negatīvs virziens.
Sarežģītu skaitļu kopa
O kompleksa numuru kopa tas ir Pēdējais un tā radās tā paša iemesla dēļ kā veselu skaitļu kopa, tas ir, tā ir darbība, kuras attīstība nav iespējama tikai ar reālo kopu.
Atrisinot šādu vienādojumu, redziet, ka tam nav risinājuma, zinot tikai reālos skaitļus.
x2 + 1 = 0
x2 = –1
Ņemiet vērā, ka mums jāatrod skaitlis, kad paceltdO kvadrātā, iegūst negatīvu skaitli. Mēs to zinām jebkurš skaitlis kvadrātā vienmēr ir pozitīvs, tāpēc šim aprēķinam nav reāla risinājuma.
Tādējādi tika izveidoti kompleksie skaitļi, kuros mums ir iedomāts skaitlis apzīmē ar i, kam ir šāda vērtība:
Tātad, saprotiet, ka vienādojums kas iepriekš nebija risinājums, tagad tam ir. Pārbaudiet:
Lasīt vairāk: Īpašības, kas saistītas ar kompleksiem skaitļiem
faktiskie intervāli
Dažos gadījumos mēs neizmantosim katru reālo asi, tas ir, mēs izmantosim tās daļas, kuras tiks sauktas pārtraukumi. Šie intervāli ir reālo skaitļu kopas apakškopas. Tālāk mēs izveidosim dažus apzīmējumus šīm apakškopām.
Slēgts diapazons - neiekļaujot galējības
Intervāls tiek aizvērts, kad tas ir ir divas galējības, tas ir, minimums un maksimums, un šajā gadījumā galējības nepieder pie diapazona. Mēs to apzīmēsim, izmantojot atvērtu bumbu. Skaties:
Sarkanā krāsā ir skaitļi, kas pieder šim diapazonam, tas ir, tie ir skaitļi lielāks par a un mazāks par b. Algebriski mēs šādu intervālu rakstām šādi:
< x
Kur skaitlis x ir visi reālie skaitļi, kas atrodas šajā diapazonā. Mēs varam to arī simboliski attēlot. Skaties:
]; B [ vai (The; B)
Slēgts diapazons - ieskaitot galējības
Tagad izmantosim slēgtas bumbiņas, lai to attēlotu galējības pieder diapazonam.
Tātad mēs apkopojam reālus skaitļus, kas ir starp a un b, ieskaitot tos. Algebriski mēs izsakām šādu intervālu:
≤ xb
Izmantojot simbolisko apzīmējumu, mums ir:
[The; B]
Slēgts diapazons - ieskaitot vienu no galējībām
Joprojām strādājot ar slēgtiem intervāliem, mums tagad ir gadījums ir iekļauta tikai viena no galējībām. Tāpēc viena no bumbiņām tiks aizvērta, norādot, ka skaitlis pieder diapazonam, bet otra - ne, norādot, ka skaitlis nepieder pie šī diapazona.
Algebriski mēs šo diapazonu pārstāvam šādi:
≤ x
Simboliski mums ir:
[The; B [ vai [The; B)
Atklāts diapazons - gals nav iekļauts
Diapazons tiek atvērts, kad nav maksimālā vai minimālā elementa. Tagad mēs redzēsim atvērta diapazona lietu, kurā ir tikai maksimālais elements, kas nav iekļauts diapazonā.
Skatiet, ka diapazons sastāv no reālie skaitļi ir mazāki parB, un arī ņemiet to vērā skaitlis b, kas nepieder pie diapazona (atvērta bumba), tāpēc algebriski mēs varam attēlot intervālu:
x
Simboliski mēs to varam attēlot ar:
] – ∞; B [ vai (– ∞; B)
Atklāts diapazons - ieskaitot galējo
Vēl viens atvērta diapazona piemērs ir gadījums, kad tiek iekļauts galējais. Šeit mums ir diapazons, kurā parādās minimālais elements, skatiet:
Ņemiet vērā, ka visi reālie skaitļi ir lielāki vai vienādi ar skaitli a, tāpēc šo diapazonu mēs varam rakstīt algebriski:
xuz
Simboliski mums ir:
[The; +∞[ vai [The; +∞)
atvērts diapazons
Vēl vienu atvērta diapazona gadījumu veido skaitļi ir lielāki un mazāki nekā reālajā līnijā fiksētie skaitļi. Skaties:
Ņemiet vērā, ka reālie skaitļi, kas pieder šim diapazonam, ir mazāki vai vienādi ar skaitli a, vai skaitļi, kas ir lielāki par skaitli b, tāpēc mums ir:
x uz vaix > b
Simboliski mums ir:
] – ∞; a] U] b; + ∞[
vai
(– ∞; a] U (b; + ∞)
autors Robsons Luizs
Matemātikas skolotājs
