Viens polinoma vienādojums ir raksturīgs ar to, ka polinoms vienāds ar nulli. To var raksturot ar polinoma pakāpi, un jo lielāka ir šī pakāpe, jo lielāka ir tā atrisinājuma vai saknes atrašanas grūtības pakāpe.
Šajā kontekstā ir svarīgi saprast arī to, kas ir algebras fundamentālā teorēma, kas to apgalvo katram polinoma vienādojumam ir vismaz viens komplekss risinājums, citiem vārdiem sakot: pirmā pakāpes vienādojumam būs vismaz viens risinājums, otrā pakāpes vienādojumam būs vismaz divi risinājumi utt.
Lasīt arī: Kādas ir polinomu klases?
Kas ir polinoma vienādojums
Polinoma vienādojumu raksturo tas, ka polinoms ir vienāds ar nulli, tādējādi katra P (x) = 0 tipa izteiksme ir polinoma vienādojums, kur P (x) ir polinoms. Zemāk skatiet polinoma vienādojuma vispārīgo gadījumu un dažus piemērus.
ApsverietNē, an -1, a n -2,…, The1, a0 un x reālie skaitļi, un n ir pozitīvs vesels skaitlis, šāda izteiksme ir n pakāpes polinoma vienādojums.
- Piemērs
Šie vienādojumi ir polinomi.
a) 3x4 + 4x2 – 1 = 0
b) 5x2 – 3 = 0
c) 6x - 1 = 0
d) 7x3 - x2 + 4x + 3 = 0
Tāpat kā polinomi, arī polinomu vienādojumiem ir sava pakāpe. Lai noteiktu polinoma vienādojuma pakāpi, vienkārši atrodiet augstāko jaudu, kuras koeficients atšķiras no nulles. Tāpēc iepriekšējo vienumu vienādojumi ir attiecīgi:
a) Vienādojums ir no ceturtā pakāpe:3x4+ 4x2 – 1 = 0.
b) Vienādojums ir no vidusskola:5x2 – 3 = 0.
c) Vienādojums ir no pirmā pakāpe:6x – 1 = 0.
d) Vienādojums ir no trešā pakāpe: 7x3- x2 + 4x + 3 = 0.
Nepārtrauciet tūlīt... Pēc reklāmas ir vairāk;)
Kā atrisināt polinoma vienādojumu?
Polinoma vienādojuma risināšanas metode ir atkarīga no tā pakāpes. Jo lielāka ir vienādojuma pakāpe, jo grūtāk to atrisināt. Šajā rakstā mēs parādīsim polinomu vienādojumu risināšanas metodi pirmā pakāpe, otrā pakāpe un divstūris.
Pirmās pakāpes polinoma vienādojums
Pirmās pakāpes polinoma vienādojumu raksturo a 1. pakāpes polinoms. Tātad pirmās pakāpes vienādojumu kopumā varam uzrakstīt šādi.
Apsveriet divus reālos skaitļus The un B ar ≠ 0, šāda izteiksme ir pirmās pakāpes polinoma vienādojums:
cirvis + b = 0
Lai atrisinātu šo vienādojumu, mums jāizmanto līdzvērtības princips, tas ir, viss, kas tiek darbināts vienlīdzības pusē, jādarbojas arī otrā pusē. Lai noteiktu pirmās pakāpes vienādojuma risinājumu, mums tas jādara izolēt nezināmo. Šim nolūkam vispirms ir jānovērš B vienlīdzības kreisajā pusē un pēc tam atņemtairi b abās vienlīdzības pusēs.
cirvis + b - B = 0 - B
cirvis = - b
Ņemiet vērā, ka nezināmā x vērtība nav izolēta, koeficients a ir jāizslēdz no vienādības kreisās puses, un tāpēc sadalīsim abas puses ar The.
- Piemērs
Atrisiniet vienādojumu 5x + 25 = 0.
Lai atrisinātu problēmu, mums jāizmanto līdzvērtības princips. Lai atvieglotu procesu, mēs izlaidīsim operācijas rakstīšanu vienlīdzības, būtnes kreisajā pusē ekvivalents tad teikt, ka mēs “nodosim” numuru uz otru pusi, mainot zīmi (apgrieztā darbība).
Uzziniet vairāk par šāda veida vienādojumu risināšanu, piekļūstot mūsu tekstam: Pirmās pakāpes vienādojums ar nezināmu.
Otrās pakāpes polinoma vienādojums
Otrās pakāpes polinoma vienādojumam ir raksturīga a pakāpe divi polinomi. Apsveriet reālos skaitļus a, b un c ar ≠ 0. Otrās pakāpes vienādojumu dod:
cirvis2 + bx + c = 0
Jūsu risinājumu var noteikt, izmantojot metodi bhaskara vai ar faktoringu. Ja vēlaties uzzināt vairāk par šāda veida vienādojumiem, lasiet: Eqdarbība sotrais grau.
→ Bhaskaras metode
Izmantojot Bhaskaras metodi, tās saknes dod šāda formula:
- Piemērs
Nosakiet vienādojuma x risinājumu2 - 3x + 2 = 0.
Ņemiet vērā, ka vienādojuma koeficienti ir attiecīgi a = 1, b = - 3 un c = 2. Aizstājot šīs vērtības formulā, mums ir:
→ Faktorizācija
Ņemiet vērā, ka izteiksmi x ir iespējams faktorizēt2 - 3x + 2 = 0, izmantojot ideju polinoma faktorizācija.
x2 - 3x + 2 = 0
(x - 2) · (x - 1) = 0
Ievērojiet, ka mums reizinājums ir vienāds ar nulli un produkts ir vienāds ar nulli tikai tad, ja viens no faktoriem ir vienāds ar nulli, tāpēc mums ir:
x - 2 = 0
x = 2
vai
x - 1 = 0
x = 1
Skatiet, ka vienādojuma risinājumu atradām, izmantojot divas dažādas metodes.
divkvadrātu vienādojums
četrstūra vienādojums tas ir īpašs ceturtās pakāpes polinoma vienādojuma gadījums, parasti ceturtās pakāpes vienādojums būtu rakstīts šādā formā:
cirvis4 + bx3 + lodziņš2 + dx + e = 0
kur skaitļi a B C D un un ir reāli ar ≠ 0. Ceturtās pakāpes vienādojums tiek uzskatīts par kvadrātveida, ja koeficienti b = d = 0, tas ir, vienādojums ir šāds:
cirvis4 + lodziņš2 + un = 0
Zemāk esošajā piemērā skatiet, kā atrisināt šo vienādojumu.
- Piemērs
Atrisiniet x vienādojumu4 - 10x2 + 9 = 0.
Lai atrisinātu vienādojumu, mēs izmantosim šādas nezināmas izmaiņas, un vienmēr, kad vienādojums ir divstūris, mēs veiksim šīs izmaiņas.
x2 = lpp
No divkvadrāta vienādojuma ņemiet vērā, ka x4 = (x2)2 un tāpēc mums ir:
x4 - 10x2 + 9 = 0
(x2)2 – 10x2 + 9 = 0
P2 - 10p + 9 = 0
Skatiet, ka tagad mums ir otrās pakāpes polinoma vienādojums, un mēs varam izmantot Bhaskara metodi, piemēram:
Tomēr mums jāatceras, ka vingrinājuma sākumā tika veiktas nezināmas izmaiņas, tāpēc mums jāpielieto aizstāšanā noteiktā vērtība.
x2 = lpp
Ja p = 9, mums:
x2 = 9
x ’= 3
vai
x ’’ = - 3
Par p = 1
x2 = 1
x ’= 1
vai
x ’’ = - 1
Tāpēc četrstūra vienādojuma risinājumu kopa ir:
S = {3, –3, 1, –1}
Lasiet arī: Briota-Ruffini praktiskā ierīce - polinomu dalīšana
Algebras fundamentālā teorēma (TFA)
Algebras (TFA) fundamentālā teorēma, ko pierādīja Gauss 1799. gadā, apgalvo, ka katram šādam polinoma vienādojumam ir vismaz viena sarežģīta sakne.
Polinoma vienādojuma sakne ir tā risinājums, tas ir, nezināmā vērtība ir tas, kas padara vienlīdzību patiesu. Piemēram, pirmās pakāpes vienādojumam jau ir noteikta sakne, tāpat kā otrās pakāpes vienādojumam, kam ir vismaz divas saknes, un bisquare, kuram ir vismaz četras saknes.
atrisināti vingrinājumi
jautājums 1 - Nosakiet x vērtību, kas padara vienlīdzību patiesu.
2x - 8 = 3x + 7
Izšķirtspēja
Ņemiet vērā, ka, lai atrisinātu vienādojumu, ir nepieciešams to organizēt, tas ir, atstāt visus nezināmos vienlīdzības kreisajā pusē.
2x - 8 = 3x + 7
2x - 3x = 7 + 8
- x = 15
Pēc līdzvērtības principa mēs varam reizināt abas vienādības puses ar vienu un to pašu skaitli, un, tā kā mēs vēlamies uzzināt x vērtību, abas puses reizināsim ar –1.
(–1)- x = 15(–1)
x = - 15
2. jautājums - Markosam ir par 20 USD vairāk nekā João. Kopā viņiem izdodas nopirkt divus čības pārus, kuru katrs pāris maksā R $ 80 un bez naudas paliek. Cik reālu ir Jānis?
Izšķirtspēja
Apsveriet, ka Markam ir x reāls, jo Jānim ir vēl 20 reāli, tāpēc viņam ir x + 20.
Atzīmes → x reālās
João → (x + 20) reāls
kā viņi nopirka divi čības pāri kas maksā 80 reālus, tāpēc, ja saliksim katra daļu kopā, mums būs:
x + (x + 20) = 2 · 80
x + x = 160 - 20
2x = 140
Tāpēc Markam bija 70 reāli, bet João - 90 reāli.
autors Robsons Luizs
Matemātikas skolotājs
