D'Alemberta teorēma

D'Alemberta teorēma ir tūlītējas sekas atlikušajai teorēmai, kas attiecas uz polinoma dalīšanu ar x-a tipa binomu. Atlikušajā teorēmā teikts, ka polinomam G (x), kas dalīts ar binomu x - a, atlikusī R būs vienāda ar P (a),
x = a. Franču matemātiķis D'Alemberts, ņemot vērā iepriekš minēto teorēmu, pierādīja, ka polinoms jebkura Q (x) dalīsies ar x - a, tas ir, atlikusī dalījuma daļa būs vienāda ar nulli (R = 0), ja P (a) = 0.
Šī teorēma atviegloja polinoma dalījuma aprēķināšanu ar binomu (x –a), tāpēc nav nepieciešams atrisināt visu dalījumu, lai zinātu, vai atlikums ir vienāds ar nulli vai atšķiras no tās.
1. piemērs
Aprēķiniet atlikušo dalījuma daļu (x² + 3x - 10): (x - 3).
Kā teikts D'Alemberta teorēmā, šī dalījuma atlikusī daļa (R) būs vienāda ar:
P (3) = R
3² + 3 * 3 - 10 = R
9 + 9 - 10 = R
18 - 10 = R
R = 8
Tātad pārējā šī dalīšana būs 8.
2. piemērs
Pārbaudiet, vai x⁵ - 2x⁴ + x³ + x - 2 dalās ar x - 1.
Pēc D’Alemberta domām, polinoms dalās ar binomu, ja P (a) = 0.
P (1) = (1)⁵ – 2*(1)⁴ + (1)³ + (1) – 2

P (1) = 1 - 2 + 1 + 1 - 2
P (1) = 3 - 4
P (1) = - 1
Tā kā P (1) nav nulle, polinoms nebūs dalāms ar binomu x - 1.
3. piemērs
Aprēķiniet m vērtību tā, lai atlikusī polinoma dalījuma daļa
P (x) = x⁴ - mx³ + 5x² + x - 3 x x - 2 ir 6.
Mums ir tas, ka R = P (x) → R = P (2) → P (2) = 6
P (2) = 2⁴ - m * 2³ + 5*2² + 2 – 3
2⁴ - m * 2³ + 5*2² + 2 – 3 = 6
16 - 8 m + 20 + 2 - 3 = 6
- 8m = 6 - 38 + 3
- 8m = 9-38
- 8m = - 29
m = 29/8
4. piemērs
Aprēķiniet 3x polinoma dalījuma atlikumu³ + x² - 6x + 7 ar 2x + 1.
R = P (x) → R = P (- 1/2)
R = 3 * (- 1/2)³ + (–1/2)² – 6*(–1/2) + 7
R = 3 * (- 1/8) + 1/4 + 3 + 7
R = –3/8 + 1/4 + 10 (mmc)
R = –3/8 + 2/8 + 80/8
R = 79/8

autors Marks Noā
Beidzis matemātiku
Brazīlijas skolu komanda

Polinomi - Matemātika - Brazīlijas skola

Avots: Brazīlijas skola - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/teorema-dalembert.htm