Vienošanās ar atkārtošanu: kas tas ir, formula, piemēri

Mēs zinām, kā atkārtota vienošanās vai pilnīga vienošanās, visas pasūtītās pārgrupēšanās, ar kurām mēs varam veidot k komplekta elementi ar Nē ar elementu Nē var parādīties vairāk nekā vienu reizi. kombinatoriskā analīze tā ir matemātikas joma, kas attīsta skaitīšanas paņēmienus, lai noteiktu iespējamo kopu skaitu noteiktās situācijās.

Starp šīm grupām ir vienošanās ar atkārtošanos, kas atrodas, piemēram, izveidojot paroles, numura zīmes, starp citiem. Lai atrisinātu šīs situācijas, mēs izmantojam izkārtojuma formulu ar atkārtojumu kā skaitīšanas tehniku. Atkārtojošā un neatkārtojamā izkārtojuma aprēķināšanai ir dažādas formulas, tāpēc ir svarīgi zināt, kā atšķirt katru no šīm situācijām, lai piemērotu pareizo skaitīšanas tehniku.

Lasiet arī: Skaitīšanas pamatprincips - kombinatoriskās analīzes pamatjēdziens

Kāda ir vienošanās ar atkārtošanos?

Transportlīdzekļu plāksnīšu ražošanā ir vienošanās ar atkārtojumu. [1]

Ikdienā mēs sastopamies ar situācijām, kas saistītas ar secībām un grupējumiem, kas parādās izvēlēties paroles no sociālajiem tīkliem vai bankas, kā arī tālruņu numuros vai situācijās, kas saistītas rindas. Jebkurā gadījumā mūs ieskauj situācijas, kurās iesaistīti šie grupējumi.

Piemēram, uz numura zīmēm, kuras veido trīs burti un četri cipari, ir a unikāla virkne pēc stāvokļa, kas identificē katru automašīnu, šajā gadījumā mēs strādājam kārtību. Kad ir iespējams atkārtot elementus, mēs strādājam ar pilnu izkārtojumu vai izkārtojumu ar atkārtojumu.

Dots komplekts ar Nē elementus, mēs zinām kā izkārtojumu ar atkārtošanos visas grupas, ar kurām mēs varam izveidot k elementi komplekts, kur elementu var atkārtot vairākas reizes. Piemēram, transportlīdzekļu numura zīmēs ir iespējamo numura zīmju skaits, ko mēs varam izveidot ņemot vērā, ka viņiem ir trīs burti un četri cipari un ka burtus un ciparus var atkārtot.

Lai aprēķinātu iespējamo atkārtoto kārtojumu skaitu, mēs izmantojam ļoti vienkāršu formulu.

Izkārtojuma formula ar atkārtojumu

Lai atrastu pilnu vienošanās summu Nē atšķirīgi elementi, kas ņemti no k iekšā

ak, noteiktā situācijā, kas ļauj atkārtot elementu, mēs izmantojam šādu formulu:

GAISS_Nē,_k = Nē^k

AR → izkārtojums ar atkārtojumu
Nē → elementu skaits komplektā
k → izvēlēto elementu skaits

Skatīt arī: Vienkārša kombinācija - saskaita visas noteiktā kopas apakškopas

Kā aprēķināt atkārtotā izkārtojuma numuru

Lai labāk saprastu, kā piemērot atkārtojuma izkārtojuma formulu, skatiet tālāk sniegto piemēru.

1. piemērs:

Bankas parolē ir pieci cipari, kas sastāv tikai no cipariem. Kāds ir iespējamo paroļu skaits?

Mēs zinām, ka parole ir piecciparu virkne un atkārtojumiem nav ierobežojumu, tāpēc mēs izmantosim izkārtojuma formulu ar atkārtojumu. Lietotājam no 10 cipariem jāizvēlas katrs no šīs paroles pieciem cipariem, tas ir, mēs vēlamies aprēķināt izkārtojumu, atkārtojot 10 elementus, kas ņemti ik pēc pieciem.

GAISS_10,5 = 10⁵ = 10.000

Tātad ir 10 000 paroles iespēju.

2. piemērs:

Zinot, ka transportlīdzekļa numura zīmes sastāv no trim burtiem un četriem cipariem, cik numurzīmes ir iespējams izveidot?

Mūsu alfabēts sastāv no 26 burtiem, un ir 10 iespējamie cipari, tāpēc sadalīsim divos pilnos masīvos un atradīsim iespējamo burtu un ciparu masīvu skaitu.

GAISS_26,3 = 26³ = 17.576
GAISS₁₀,₄ = 10⁴ = 10.000

Tādējādi iespējamo vienošanos kopsumma ir:

17.576 · 10.000 = 1.757.600.000

Atšķirība starp vienkāršu izkārtojumu un atkārtotu izkārtojumu

Vienkāršā izkārtojuma nošķiršana no vienošanās ar atkārtošanu ir būtiska, lai atrisinātu tēmas problēmas. Diferencēšanai ir svarīgi saprast, ka tad, kad mēs strādājam ar situāciju, kurā notiek pārgrupēšanās, kuras kārtība ir svarīga, vienošanās, un, ja šīs pārgrupēšanās pieļauj atkārtojumu starp terminiem, tas ir izkārtojums ar atkārtojumu, kas pazīstams arī kā izkārtojums pabeigta. Ja pārgrupēšana neļauj atkārtot, tas ir par vienkārša vienošanās.

Vienkāršā izkārtojuma formula atšķiras no tās, kuru izmantojam atkārtojuma izkārtojumam.

Iepriekš mēs esam redzējuši atkārtotu izkārtojumu piemērus, tagad skatiet vienkāršu izkārtojumu

Piemērs:

Paulo vēlas savā plauktā ievietot trīs no savām 10 skolas grāmatām, kuras visas atšķiras, cik daudz viņš var kārtot šīs grāmatas?

Ņemiet vērā, ka šajā gadījumā secība ir svarīga, taču atkārtojumu nav, jo tā ir vienkārša vienošanās. Lai atrastu iespējamo grupējumu skaitu, mums:

Lai uzzinātu vairāk par šo citu kombinācijas formā izmantoto grupēšanas veidu, izlasiet tekstu: vienkāršs izvietojums.

Atrisinātie vingrinājumi:

Jautājums 1 - (Enem) Banka lūdza klientus izveidot personisku sešciparu paroli, kas sastāv tikai no skaitļiem no 0 līdz 9, lai piekļūtu norēķinu kontam, izmantojot internetu. Tomēr elektronisko drošības sistēmu speciālists ieteica bankas vadībai pārreģistrēt savus lietotājus, lūdzot katra no tām, izveidojot jaunu paroli ar sešiem cipariem, kas tagad ļauj izmantot 26 alfabēta burtus, papildus cipariem no 0 līdz 9. Šajā jaunajā sistēmā katrs lielais burts tika uzskatīts par atšķirīgu no tā mazajiem burtiem. Turklāt cita veida rakstzīmju lietošana bija aizliegta.

Viens no veidiem, kā novērtēt paroļu sistēmas izmaiņas, ir pārbaudīt uzlabojuma koeficientu, kas ir par iemeslu jaunajam paroles iespēju skaitam attiecībā pret veco. Ieteicamais izmaiņu uzlabošanas koeficients ir:

Izšķirtspēja

A alternatīva

Vecā parole ir masīvs ar atkārtošanos, jo to var veidot visi skaitļi, tāpēc tas ir 10 elementu masīvs, kas ņemts ik pēc sešiem.

GAISS_10,6 = 10⁶

Jaunajā parolē var būt 10 cipari, kā arī lielie burti (26 burti) un mazie burti (26 burti), tāpēc parolē katram ciparam kopā ir 10 + 26 + 26 = 62 iespējas. Tā kā ir seši cipari, mēs aprēķināsim izkārtojumu, atkārtojot 62 elementus, kas ņemti ik pēc sešiem.

GAISS_62,6 = 62⁶

iemesls no jaunā paroles iespēju skaita, salīdzinot ar veco, ir vienāds ar 62⁶/10⁶.

2. jautājums - (Enem 2017) Uzņēmums izveidos savu vietni un cer piesaistīt aptuveni viena miljona klientu auditoriju. Lai piekļūtu šai lapai, jums būs nepieciešama parole ar uzņēmuma definētu formātu. Programmētājs piedāvā piecas formāta opcijas, kas aprakstītas tabulā, kur “L” un “D” apzīmē attiecīgi lielo burtu un ciparu.

Alfabēta burtus starp 26 iespējamiem, kā arī ciparus starp iespējamajiem 10 var atkārtot jebkurā no opcijām.

Uzņēmums vēlas izvēlēties formāta opciju, kuras iespējamo atšķirīgo paroļu skaits ir lielāks par sagaidāmais klientu skaits, bet šis skaitlis nav vairāk kā divas reizes lielāks par paredzamo klientu skaitu klientiem.

Izšķirtspēja

E alternatīva

Aprēķinot katru no iespējām, mēs vēlamies atrast paroli, kurai ir vairāk nekā miljons iespēju un mazāk nekā divi miljoni iespēju.

I → LDDDDD

26 ·10⁵ ir lielāks par diviem miljoniem, tāpēc tas neapmierina uzņēmuma pieprasījumu.

II → DDDDDD

10⁶ ir vienāds ar vienu miljonu, tāpēc tas neapmierina uzņēmuma pieprasījumu.

III → LLDDDD

26² · 10⁴ ir lielāks par diviem miljoniem, tāpēc tas neapmierina uzņēmuma pieprasījumu.

IV → DDDDD

10⁵ ir mazāks par miljonu, tāpēc tas neapmierina uzņēmuma pieprasījumu.

V → LLLDD

26³ · 10² ir no viena līdz diviem miljoniem, tāpēc šī paroles veidne ir ideāla.

Attēlu kredīts

[1] Rafaels Berlandi / Shutterstock

Autors Rauls Rodrigess de Oliveira
Matemātikas skolotājs

Avots: Brazīlijas skola - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/arranjo-com-repeticao.htm