supratimas rinkiniai yra pagrindinis tyrimo pagrindas algebra ir matematikoje labai svarbios sąvokos, tokios kaip funkcijos ir nelygybę. Žymėjimas, kurį naudojame rinkiniams, visada yra didžioji raidė iš mūsų abėcėlės (pvz., Rinkinys A arba rinkinys B).
Kalbant apie rinkinių atvaizdavimas, tai gali padaryti veno diagrama, paprasčiausiai aprašant jo elementų charakteristikas, išvardijant elementus arba apibūdinant jų savybes. Dirbant su problemomis, susijusiomis su rinkiniais, yra situacijų, kurias reikia atlikti operacijos tarp rinkinių, yra sąjunga, sankirta ir skirtumas. Ar mes visa tai išsamiai išnagrinėsime?
Taip pat žiūrėkite: Skaitmeninės išraiškos - mokykitės jas spręsti!
Rinkinių žymėjimas ir vaizdavimas
Rinkinio atvaizdavimui mes visada naudojame a didžioji abėcėlės raidė, o elementai visada yra tarp raktai ir yra atskirti kableliu. Pvz., Jei norite pateikti lyginių skaičių, didesnių nei 1 ir mažesnių nei 20, rinkinį, mes naudojame šį užrašą: P = {2,4,6,8,10,12,14,16,18}.
Rinkinių vaizdavimo formos
atstovavimas surašant: mes galime išvardyti jo elementus, tai yra, sudaryti sąrašą, visada tarp petnešų. Žr. Pavyzdį:
A = {1,5,9,12,14,20}
apibūdinantys ypatybes: galime tiesiog apibūdinti aibės charakteristiką. Pavyzdžiui, tegul X yra aibė, mes turime, kad X = {x yra teigiamas skaičiaus kartotinis iš 5}; Y: yra metų mėnesių rinkinys.
Veno diagrama: rinkiniai taip pat gali būti pavaizduoti diagramos forma, vadinama a veno diagrama, kuris yra efektyvesnis atstovavimas atliekant operacijas.
Pavyzdys:
Atsižvelgdami į rinkinį A = {1,2,3,4,5}, galime jį pavaizduoti šioje Venno diagramoje:
Aibės ir narystės santykių elementai
Atsižvelgdami į bet kurį elementą, galime pasakyti, kad elementas priklauso į rinkinį arba nepriklausyti prie to rinkinio. Norėdami greičiau atstovauti šiems narystės santykiams, naudojame simbolius
(skaityti kaip priklausantį) ir ∉ (skaityti kaip nepriklausantį). Pavyzdžiui, tegul P yra aibė porų skaičiai, galime pasakyti, kad 7 ∉ P ir 12 P.
Nesustokite dabar... Po reklamos yra daugiau;)
Rinkinių lygybė
Aibių palyginimas yra neišvengiamas, todėl galime sakyti, kad dvi aibės yra lygios arba ne, tikrindami kiekvieną jos elementą. Tegul A = {0,1,3,4,8} ir B = {8,4,3,1,0}, net jei elementai yra skirtinga tvarka, galime sakyti, kad rinkiniai A ir B yra lygūs: A = B.
Įtraukimo santykis
Lygindami dvi aibes galime susidurti su keliais santykiais, o vienas iš jų yra įtraukties santykis. Šiems santykiams turime žinoti keletą simbolių:
⊃ → yra ⊂→ yra
⊅ → nėra ⊄→nėra
Patarimas: Atidaroma simbolio pusė visada bus nukreipta į didesnį rinkinį. |
Kai visi aibės A elementai taip pat priklauso aibei B, sakome, kad A ⊂ B arba kad A yra B. Pavyzdžiui, A = {1,2,3} ir B = {1,2,3,4,5,6}. Taip pat galima atlikti atstovavimą veno diagrama, tai atrodytų taip:
A yra B:
A ⊂ B
Pogrupiai
Kada įtraukties santykiai, tai yra, aibė A yra rinkinyje B, galime sakyti, kad A yra B pogrupis. Pogrupis lieka aibė ir a rinkinys gali turėti kelis pogrupius, pastatyta iš jai priklausančių elementų.
Pvz.: A: {1,2,3,4,5,6,7,8} yra pogrupiai B rinkiniai: {1,2,3}; C: {1,3,5,7}; D: {1} ir netgi aibė A {1,2,3,4,5,6,7,8}, tai yra, A yra jos pogrupis.
vienetinis rinkinys
Kaip jau rodo pavadinimas, būtent tai ir nustatė turi tik vieną elementą, kaip ir rinkinys D: {1}, parodytas anksčiau. Atsižvelgdami į rinkinį B: {1,2,3}, turime pogrupius {1}, {2} ir {3}, kurie yra visi vienetų rinkiniai.
DĖMESIO: Aibė E: {0} taip pat yra vientisas rinkinys, nes jis turi vieną elementą „0“ ir nėra tuščias rinkinys.
Taip pat skaitykite: Sveikųjų skaičių rinkinys - elementai ir charakteristikos
tuščias rinkinys
Turint dar įtaigesnį pavadinimą, tuščiasis rinkinys neturi elementų ir yra bet kurio rinkinio pogrupis. Norėdami pateikti tuščią rinkinį, yra du galimi vaizdai, jie yra V: {} arba simbolis Ø.
Dalių komplektai
Mes žinome kaip dalių rinkinius visus galimus tam tikro rinkinio pogrupius. Leiskite A: {1,2,3,4}, galime išvardyti visus šios A rinkinio pogrupius, pradedant nuo tų rinkinių neturi elementų (tuščių), tada tie, kurie turi vieną, du, tris ir keturis elementus, atitinkamai.
tuščias rinkinys: { };
Vienetų rinkiniai: {1}; {2};{3}; {4}.
Rinkiniai su dviem elementais: {1,2}; {1,3}; {1,4}; {2,3}; {2,4}; {3,4}.
rinkiniai su trimis elementais: {1,2,3}; {1,3,4}; {1,2,4}; {2,3,4}.
Komplektas su keturiais elementais: {1,2,3,4}.
Todėl galime apibūdinti A dalių rinkinį taip:
P: {{}, {1}, {2}, {3}, {4}, {1,2}, {1,3}, {1,4}, {2,3}, {2,4 }, {3,4}, {1,2,3}, {1,3,4}, {1,2,4}, {2,3,4}, {1,2,3,4}}
Norėdami sužinoti, kiek dalių galima padalyti į rinkinį, mes naudojame formulę:
n [P (A)] = 2ne
A dalių skaičių apskaičiuoja a potencija 2 pagrindas pakeltas iki ne, ant ko ne yra rinkinio elementų skaičius.
Apsvarstykite rinkinį A: {1,2,3,4}, kuris turi keturis elementus. Iš viso galimų šio rinkinio pogrupių yra 24 =16.
Taip pat skaitykite: Kas yra iracionalių skaičių aibė?
Galutinis ir begalinis rinkinys
Dirbdami su rinkiniais randame rinkinius, kurie yra ribotas (baigtinis) ir tie, kurie yra neribotas (begalinis). Rinkinys lyginiai ar nelyginiai skaičiai, pavyzdžiui, yra begalinis ir norėdami jį vaizduoti, mes aprašome kai kuriuos jo elementus nuosekliai, kad būtų galima nuspėti, kokie bus kiti elementai, ir mes įdėsime elipses į Galutinis.
I: {1,3,5,7,9,11 ...}
P: {2,4,6,8,10, ...}
Tačiau baigtiniame rinkinyje elipsės nededame į pabaigą, nes ji turi apibrėžtą pradžią ir pabaigą.
A: {1,2,3,4}.
visatos rinkinys
O visatos rinkinys, žymimas U, apibrėžiamas kaip rinkinys, kurį sudaro visi elementai, į kuriuos reikia atsižvelgti kaip į problemą. Kiekvienas elementas priklauso visatos rinkiniui ir kiekvienas rinkinys yra visatos rinkinyje.
Operacijos su rinkiniais
Operacijos su rinkiniais yra: sąjunga, sankirta ir skirtumas.
Rinkinių sankirta
Susikirtimas įvyksta, kai elementai vienu metu priklauso vienam ar daugiau rinkinių. Rašydami A∩B, mes ieškome elementų, priklausančių tiek A rinkiniui, tiek B rinkiniui.
Pavyzdys:
Apsvarstykite A = {1,2,3,4,5,6} ir B = {2,4,6,7,8}, elementai, priklausantys tiek A rinkiniui, tiek B rinkiniui, yra šie: A∩B = {2, 4,6}. Ši operacija atvaizduojama taip:
A∩B
Kai rinkiniai neturi bendrų elementų, jie žinomi kaip nesusiję rinkiniai.
A∩B = Ø
skirtumas tarp rinkinių
apskaičiuoti skirtumas tarp dviejų rinkinių yra ieškoti elementų, kurie priklauso tik vienam iš dviejų rinkinių. Pvz., A - B kaip atsakymą turi rinkinį, sudarytą iš elementų, priklausančių A rinkiniui ir nepriklausančių rinkiniui B.
Pavyzdys: A: {1,2,3,4,5,6} ir B: {2,4,6,7,8}. Atkreipkite dėmesį, kad A ∩ B = {2,4,6}, taigi turime tai:
a) A - B = {1,3,5}
b) B - A = {7,8}
Vienybė
Dviejų ar daugiau rinkinių sąjunga yra prisijungti prie jūsų sąlygų. Jei yra elementų, kurie kartojasi abiejuose rinkiniuose, jie rašomi tik vieną kartą. Pvz.: A = {1,2,3,4,5} ir B = {4,5,6,7,10,14}. Norėdami atstovauti sąjungai, mes naudojame simbolį (rašoma: A sąjunga su B).
A U B = {1,2,3,4,5,6,7,10,14}
Norėdami sužinoti daugiau apie šias operacijas ir patikrinti keletą išspręstų pratimų, skaitykite: Operacijos su rinkiniais.
Morgano dėsniai
Tegul A ir B yra dvi aibės, o U - visatos aibė. Yra dvi savybės, kurias suteikia Morgano dėsniai:
(A U B)ç = Aç ∩Bç
(A ∩ B)ç = Aç U Bç
Pavyzdys:
Atsižvelgiant į rinkinius:
U: {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20}
A: {2,4,6,8,10,12,14,16,18,20}
B: {5.10,15,20}
Patikrinkime (A U B)ç = Aç ∩Bç. Taigi, mes turime:
A U B = {2,4,5,6,8,10,12,14,15,16,18,20}
Todėl (A U B)ç={1,3,7,9,11,13,17,19}
Norėdami patikrinti lygybės tikrumą, išanalizuokime operaciją Aç ∩Bç:
ç:{1,3,5,7,9,11,13,15,17,19}
Bç:{1,2,3,4,6,7,8,9,11,12,13,14,16,17,18,19}
Tada ç ∩Bç ={1,3,7,9,11,13,15,17,19}.
(A U B)ç = Aç ∩Bç
sprendė pratimus
01) Apsvarstykite U: {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}, A: {1,2,3,4,5,6} ir B: {4,5,6, 7,8,9}. Parodykite, kad (A ∩ B)ç = Aç U Bç.
Rezoliucija:
1-as žingsnis: rasti (A ∩ B)ç. Tam turime A ∩ B = {4,5,6}, taigi (A ∩ B)ç ={1,2,3,7,8,9,10}.
2 žingsnis: surastiç U Bç.ç: {7,8,9,10} ir Bç: {1,2,3,10}, taigi Aç U Bç = {1,2,3,7,8,9,19}.
Parodyta, kad (A ∩ B)ç = Aç U Bç.
02) Žinodami, kad A yra lyginių skaičių aibė nuo 1 iki 20, kokį bendrą pogrupių skaičių galime sukurti iš tos aibės elementų?
Rezoliucija:
Tegul P yra aprašyta aibė, mes turime tą P: {2,4,6,8,10,12,14,16,18,20}. Todėl P elementų skaičius yra 10.
Remiantis dalių teorijos rinkiniu, galimų P pogrupių skaičius yra:
210=1024
Autorius Raulas Rodriguesas de Oliveira
Matematikos mokytoja
(PUC-Rio-2009) Mokykloje, kurioje mokosi 100 mokinių, 80 mėgsta šokoladinius ledus, 70 mėgsta ledinius ledus ir 60 mėgsta abu skonius. Kiek studentų nemėgsta nė vieno skonio?
(PUC) Atlikus rinkos tyrimą nustatyta, kad 15 žmonių naudoja bent vieną iš A arba B produktų. Žinant, kad 10 iš tų žmonių nenaudoja B produkto, o 2 iš jų nenaudoja A produkto, kiek žmonių vartoja A ir B produktus?
