Polinomo skilimo teorema

Pagrindinė algebros teorema daugianario lygtys garantuoja tai "kiekvieno laipsnio polinomas n ≥ 1 turi bent vieną sudėtingą šaknį ". Šios teoremos įrodymą pateikė matematikas Friedrichas Gaussas 1799 m. Iš jo galime parodyti daugianario skilimo teorema, kuris garantuoja, kad bet kurį polinomą galima suskaidyti į pirmojo laipsnio veiksnius. Paimkite šį daugianarį p (x) laipsnio n ≥ 1 ir_ne ≠ 0:

p (x) = a_ne x^ne +_n-1 x^n-1 +... +₁x¹ +₀

Remdamiesi pagrindine algebros teorema galime teigti, kad šis daugianaris turi bent vieną sudėtingą šaknį. u₁, toks kad p (u₁) = 0. O D'Alemberto teorema į daugianario padalijimas teigia, kad jei p (u₁) = 0, tada p (x) dalijasi iš (x - u₁), gaunamas koeficientas ką₁x), kuris yra laipsnio polinomas (n - 1), kuris mus verčia sakyti:

p (x) = (x - u₁). ką₁x)

Iš šios lygties reikia išskirti dvi galimybes:

Jei u = 1 ir ką₁x) yra laipsnio polinomas (n - 1)tada ką₁x) turi laipsnį 0. Kaip dominuojantis koeficientas p (x) é The_ne, ką₁x) yra pastovus tipo polinomas ką₁x)=The_ne. Taigi mes turime:

p (x) = (x - u₁). ką₁x)
(x) = (x - u₁). The_ne
p (x) = a_ne . (x - u₁)

Bet jei u ≥ 2, tada daugianaris ką₁ turi laipsnį n - 1 ≥ 1 o pagrindinė algebros teorema galioja. Galime sakyti, kad daugianaris ką₁ turi bent vieną šaknį ne₂, kuris mus verčia tai sakyti ką₁ galima parašyti taip:

ką₁(x) = (x - u₂). ką₂x)

Bet kaip p (x) = (x - u₁). ką₁(x), galime perrašyti taip:

p (x) = (x - u₁). (x - u₂). ką₂x)

Nuosekliai kartodami šį procesą turėsime:

p (x) = a_ne. (x - u₁). (x - u₂)… (X - u_ne)

Taigi galime daryti išvadą, kad kiekviena daugianario ar daugianario lygtis p (x) = 0 laipsnio n ≥ 1 savo tiksliai ne sudėtingos šaknys.​

Pavyzdys: Būk p (x) laipsnio polinomas 5, tokios, kad jos šaknys yra – 1, 2, 3, – 2 ir 4. Parašykite šį polinomą, suskaidytą į 1 laipsnio veiksnius, atsižvelgiant į dominuojantis koeficientas lygus 1. Tai turi būti parašyta išplėstine forma:

jei – 1, 2, 3, – 2 ir 4 yra daugianario šaknys, taigi skirtumų sandauga x kiekvienai iš šių šaknų atsiranda p (x):

p (x) = a_ne. (x + 1). (x - 2). (x - 3). (x + 2). (x - 4)

Jei dominuojantis koeficientas The_ne = 1, mes turime:

p (x) = 1. (x + 1). (x - 2). (x - 3). (x + 2). (x - 4)
p (x) = (x + 1). (x - 2). (x - 3). (x + 2). (x - 4)
p (x) = (x² - x - 2). (x - 3). (x + 2). (x - 4)
p (x) = (x³ - 4x² + x + 6). (x + 2). (x - 4)
p (x) = (x⁴ - 2x³ - 7x² + 8x + 12). (X - 4)
p (x) = x⁵ - 6x⁴ + x³ + 36x² - 20x - 48

Autorius Amanda Gonçalves
Baigė matematiką

Šaltinis: Brazilijos mokykla - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/teorema-decomposicao-um-polinomio.htm