Matricos daugyba: kaip apskaičiuoti, pavyzdžiai

mmatricos daugyba atliekamas per daug dėmesio reikalaujantį algoritmą. Kad egzistuotų sandauga tarp A ir B matricos, būtina, kad skaičius stulpeliai duoda Pirmas būstinė, tuo atveju A yra lygus linijos duoda Pirmadienis būstinė, B atveju.

Iš dauginimo tarp matricų galima suprasti, kas yra tapatumo matrica, kuri yra neutralus matricos daugybos elementas ir kokia yra atvirkštinė matricos M matrica, kuri yra matrica M^-1 kurio M sandauga M^-1 yra lygus tapatybės matricai. Taip pat galima padauginti matricą iš tikro skaičiaus - šiuo atveju mes padauginame kiekvieną iš sąlygų būstinė pagal skaičių.

Taip pat skaitykite: Kas yra trikampė matrica?

egzistavimo sąlyga

Matricų dauginimas yra daug dėmesio reikalaujantis procesas.

Norėdami padauginti dvi matricas, pirmiausia reikia patikrinti egzistavimo sąlygą. Kad produktas egzistuotų, pirmosios matricos stulpelių skaičius turi būti lygus antrosios matricos eilučių skaičiui. Be to, daugybos rezultatas yra matrica, turinti tą patį eilučių skaičių kaip pirmoji matrica ir tą patį stulpelių skaičių kaip ir antroji matrica.

Pavyzdžiui, produktas AB tarp matricų A_3x2 ir B_2x5 egzistuoja, nes A stulpelių skaičius (2 stulpeliai) yra lygus B eilučių skaičiui (2 eilutės), o rezultatas yra matrica AB_3x5. Jau yra produktas tarp C matricų_3x5 ir matrica D_2x5 neegzistuoja, nes C turi 5 stulpelius, o D - 3 eilutes.

Kaip apskaičiuoti sandaugą tarp dviejų matricų?

Norėdami atlikti matricos dauginimą, būtina atlikti kai kuriuos veiksmus. Mes pateiksime algebrinės matricos A daugybos pavyzdį_2x3 pagal B matricą_3x2

Mes žinome, kad produktas egzistuoja, nes matricoje A yra 3 stulpeliai, o matricoje B - 3 eilutės. C pavadinsime daugybos rezultatu A · B. Be to, mes taip pat žinome, kad rezultatas yra C matrica._2x2, nes matricoje A yra 2 eilutės, o matricoje B - 2 stulpeliai.

Norėdami apskaičiuoti A matricos sandaugą_2x3 ir matrica B_3x2, atlikime kelis veiksmus.

Pirmiausia rasime kiekvieną iš matricos C sąlygų_2x2:

Leiskite rasti sąlygas visada susiekite A matricos eilutes su B matricos stulpeliais:

ç₁₁ → 1-oji A eilutė ir 1 B stulpelis
ç₁₂ → 1-oji A eilutė ir 2 B stulpelis
ç₂₁ → 2-oji A eilutė ir 1 B stulpelis
ç₂₂ → 2-oji A eilutė ir 2 B stulpelis

Kiekvieną terminą apskaičiuojame padauginę A eilutės terminus ir B stulpelio terminus. Dabar turime pridėti šiuos produktus, pradedant nuo ç_11:

1-oji A eilutė
1 B stulpelis

ç₁₁ = The₁₁· B₁₁ + The₁₂· B₂₁+ The₁₃· B₃₁

skaičiuojant ç₁₂:

1-oji A eilutė
2 B stulpelis

ç₁₂ = The₁₁· B₁₂ + The₁₂· B₂₂+The₁₃· B₃₂

skaičiuojant ç₂₁:

2-oji A eilutė
1 B stulpelis

ç₂₁ = The₂₁· B₁₁ + The₂₂· B₂₁+The₂₃· B₃₁

skaičiuojant terminą ç₂₂:

2-oji A eilutė
2 B stulpelis

ç₂₂ = The₂₁· B₁₂ + The₂₂· B₂₂+The₂₃· B₃₂

Taigi matricą C sudaro terminai:

Pavyzdys:

Apskaičiuokime A ir B matricų dauginimą.

Mes žinome, kad A_2x2 ir B_2x3, stulpelių skaičius pirmame yra lygus eilučių skaičiui antrame, taigi produktas egzistuoja. Taigi padarysime C = A · B ir žinome, kad C_2x3.

Padauginę turime:

Taip pat žiūrėkite: Kas yra perkelta matrica?

tapatybės matrica

Dauginant matricas yra keletas specialių atvejų, pvz tapatumo matrica, kuri yra neutralus dauginimo tarp matricų elementas.. Tapatumo matrica yra kvadratinė matrica, tai yra, eilučių skaičius visada yra lygus stulpelių skaičiui. Be to, tik įstrižainės sąlygos yra lygios 1 joje, o visos kitos - nulio. Kai matricą M padauginsime iš tapatumo I matricos_ne, Mes privalome:

M · Aš_ne = M

Tapatybės matricos nuo 2 iki 5 eilės

Pavyzdys:

Kas yra atvirkštinė matrica?

Atsižvelgdami į matricą M, mes ją žinome kaip atvirkštinę M matricą. matrica M^-1kurio produktas M · M^-1 lygu à tapatybės matrica I_ne. Kad matrica turėtų atvirkštinę, ji turi būti kvadratas ir jos lemiantis turi skirtis nuo 0. Pažvelkime į atvirkštinių matricų pavyzdžius:

Apskaičiuodami sandaugą A · B, turime:

Atkreipkite dėmesį, kad sandauga tarp A ir B sukurtos I matricos₂. Kai taip atsitinka, sakome, kad B yra atvirkštinė A matrica. Norėdami sužinoti daugiau apie šio tipo matricą, skaitykite: Atvirkštinė matrica.

Matricos padauginimas iš tikro skaičiaus

Skirtingai nuo dauginimo tarp matricų, yra ir matricos padauginimas iš vienos tikras numeris, kuris yra daug paprastesnė operacija ieškant sprendimo.

Duota matrica M, padauginus matricą iš realiojo skaičiaus k yra lygus matricai kM. Norėdami rasti šią matricą kM, užteks padauginkite visus matricos terminus iš konstantos k.

Pavyzdys:

jei k = 5 ir atsižvelgiant į matricą M žemiau, raskite 5M matricą.

Padauginus:

sprendė pratimus

Klausimas 1 - (Unitau) Pateiktos A ir B matricos,

c elemento reikšmė₁₁ matricos C = AB yra:

A) 10.

B) 28.

C) 38.

D) 18.

E) 8.

Rezoliucija

Alternatyva A.

Kaip mes norime termino c₁₁, padauginkime terminus pirmoje eilutėje ir A su terminais pirmame B stulpelyje.

skaičiuojant c₁₁ = 1 · 3 + 2 · 2 + 3 · 1 = 3 + 4 + 3 = 10

2 klausimas - (Enem 2012) Studentas užrašė lentelėje kai kurių savo dalykų pažymius kas antrą mėnesį. Jis pažymėjo, kad skaitiniai įrašai lentelėje sudarė 4 × 4 matricą ir kad jis galėjo apskaičiuoti šių disciplinų metinius vidurkius naudodamas matricų sandaugą. Visų testų svoris buvo vienodas, o lentelė, kurią jis gavo, parodyta žemiau.

Norėdami gauti šiuos vidurkius, jis padaugino iš lentelės gautą matricą iš matricos:

Rezoliucija

E alternatyva.

Vidurkis yra ne kas kita, kaip elementų suma, padalyta iš elementų skaičiaus. Atkreipkite dėmesį, kad vienoje eilutėje yra 4 natos, taigi vidurkis būtų tų natų suma, padalyta iš 4. Padalyti iš 4 yra tas pats, kas padauginti iš trupmena ¼. Taip pat pažymių matrica yra 4x4 matrica, todėl norėdami rasti matricą, kurioje yra pažymių vidurkis, turime padauginti iš 4x1 matricos, tai yra, ji turi 4 eilutes ir 1 stulpelį.

Autorius Raulas Rodriguesas de Oliveira
Matematikos mokytoja

Šaltinis: Brazilijos mokykla - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/multiplicacao-matrizes.htm