A įsišaknijimas Tai matematinė operacija, kaip ir sudėtis, atimtis, daugyba, dalyba ir stiprinimas. Lygiai taip pat, kaip atimtis yra atvirkštinė sudėties operacija, o dalyba yra atvirkštinė daugybos operacija, radiacija yra atvirkštinė stiprinimo operacija. Taigi, jei tikrasis teigiamas x ir y ir sveikasis skaičius n (didesnis arba lygus 2), jei x pakeltas į n yra lygus y, galime sakyti, kad n-oji y šaknis yra lygi x. Matematiniu užrašu: \(x^n=y\Rightarrow\sqrt[n]{y}=x\).
Taip pat skaitykite:Frakcijų stiprinimas ir radiacija – kaip tai padaryti?
Santrauka apie įsišaknijimą
Įsišaknijimas yra matematinė operacija.
Radiacija ir potencija yra atvirkštinės operacijos, ty teigiamiems x ir y, \(x^n=y\Rightarrow\sqrt[n]{y}=x\).
Skaičiuojant n-ąją skaičiaus y šaknį, reikia rasti tokį skaičių x, kad x pakeltas į n būtų lygus y.
Šaknies skaitymas priklauso nuo indekso n. Jei n = 2, tai vadiname kvadratine šaknimi, o jei n = 3, vadiname kubo šaknimi.
Operacijose su radikalais naudojame terminus su tuo pačiu indeksu.
Radiacija turi svarbių savybių, kurios palengvina jos apskaičiavimą.
Video pamoka apie įsišaknijimą
Šaknies vaizdavimas
Norėdami atstovauti įsišaknijimui, turime apsvarstyti tris susijusius elementus: radikalas, indeksas ir šaknis. Simbolis \(√\) vadinamas radikalu.
\(\sqrt[n]{y}=x\)
Šiame pavyzdyje y yra radikandas, n yra indeksas ir x yra šaknis. Jame parašyta „n-oji y šaknis yra x“. Nors x ir y reiškia teigiamus realiuosius skaičius, n reiškia sveikąjį skaičių, lygų arba didesnį už 2. Svarbu pažymėti, kad n = 2 indekso galima praleisti. Taigi, pvz. \(\sqrt[2]{9}=\sqrt9\).
Spinduliavimą galime pavaizduoti naudodami radikandą su trupmeniniu rodikliu. Formaliai sakome, kad n-oji šaknis \(y^m\) galima parašyti y pakeltą į trupmeninį rodiklį \(\frac{m}n\).
\(\sqrt[n]{y^m}=y^\frac{m}{n}\)
Žiūrėkite pavyzdžius:
\(√5=5^\frac{1}{2}\)
\(\sqrt[3]{2^4}=2^\frac{4}{3}\)
Skirtumai tarp radiacijos ir potencijos
Potencija ir radiacija yra atvirkštinės matematinės operacijos. Tai reiškia, kad jei \(x^n=y\), tada \(\sqrt[n]{y}=x\). Atrodo sunku? Pažvelkime į keletą pavyzdžių.
Jeigu \(3^2=9\), tada \(\sqrt[2]{9}=3\).
Jeigu \(2^3=8\), tada \(\sqrt[3]{8}=2\).
Jeigu \(5^4=625\), tada \(\sqrt[4]{625}=5\).
Kaip skaityti šaknį?
Norėdami perskaityti šaknį, turime atsižvelgti į indeksą n. Jei n = 2, vadiname kvadratine šaknimi. Jei n = 3, tai vadiname kubo šaknimi. Dėl vertybių n didesni, eiliniams skaičiams naudojame nomenklatūrą: ketvirtoji šaknis (jei n = 4), penkta šaknis (jei n = 5) ir pan. Peržiūrėkite keletą pavyzdžių:
\(\sqrt[2]{9}\) – kvadratinė šaknis iš 9.
\(\sqrt[3]{8}\) – kubo šaknis iš 8.
\(\sqrt[4]{625}\) – ketvirtoji 625 šaknis.
Kaip apskaičiuoti skaičiaus šaknį?
Žemiau pamatysime, kaip apskaičiuoti teigiamo tikrojo skaičiaus šaknį. Norėdami apskaičiuoti skaičiaus šaknį, turime atsižvelgti į susijusią atvirkštinę operaciją. Tai yra, jei ieškome n-osios skaičiaus y šaknies, turime ieškoti tokio skaičiaus x, kad \(x^n=y\).
Priklausomai nuo y reikšmės (ty radikando), šis procesas gali būti paprastas arba sunkus. Pažvelkime į keletą pavyzdžių, kaip apskaičiuoti skaičiaus šaknį.
1 pavyzdys:
Kas yra kvadratinė šaknis iš 144?
Rezoliucija:
Skambiname numeriu, kurio ieškome x, tai yra \(\sqrt{144}=x\). Atkreipkite dėmesį, kad tai reiškia, kad reikia ieškoti tokio skaičiaus x \(x^2=144\). Išbandykime kai kurias galimybes su natūraliaisiais skaičiais:
\(9^2=81\)
\(10^2=100\)
\(11^2=121\)
\(12^2=144\)
Todėl, \(\sqrt{144}=12\).
2 pavyzdys:
Kas yra 100 kubo šaknis?
Rezoliucija:
Skambiname numeriu, kurio ieškome x, tai yra \(\sqrt[3] = x\). Tai reiškia, kad \(x^3=100\). Išbandykime keletą galimybių:
\(2^3=8\)
\(3^3=27\)
\(4^3=64\)
\(5^3=125\)
Atkreipkite dėmesį, kad mes ieškome skaičiaus, kuris yra nuo 4 iki 5, kaip \(4^3=64\) tai yra \(5^3=125\). Taigi, išbandykime kai kurias galimybes su skaičiais nuo 4 iki 5:
\(4,1^3=68,921\)
\(4,2^3=74,088\)
\(4,3^3=79,507\)
\(4,4^3=85,184\)
\(4,5^3=91,125\)
\(4,6^3=97,336\)
\(4,7^3=103,823\)
Kaip \(4,6^3 \) yra skaičius, artimas 100 ir mažesnis už 100, galime pasakyti, kad 4,6 yra 100 kubo šaknies apytikslis rodiklis. Todėl, \(\sqrt[3] ≈4,6\).
Svarbu:Kai šaknis yra racionalus skaičius, sakome, kad šaknis yra tiksli; kitu atveju šaknis nėra tiksli. Aukščiau pateiktame pavyzdyje nustatome diapazoną tarp tikslių šaknų, kuriose randama ieškoma šaknis:
\(\sqrt[3]{64}
\(4
Ši strategija labai naudinga apskaičiuojant šaknies aproksimaciją.
Operacijos su radikalais
Operacijose su radikalais naudojame terminus su tuo pačiu indeksu. Atsižvelgdami į tai, atidžiai perskaitykite toliau pateiktą informaciją.
→ Sudėjimas ir atėmimas tarp radikalų
Norėdami išspręsti radikalų sudėjimą arba atimtį, turime atskirai apskaičiuoti kiekvieno radikalo šaknį.
Pavyzdžiai:
\(\sqrt[3]{27}+\sqrt[3]{216}=3+6=9\)
\(\sqrt{400}-\sqrt{169}=20-13=7\)
Svarbu: Neįmanoma atlikti sudėjimo ir atimties operacijų radikalais. Atkreipkite dėmesį, kad, pavyzdžiui, operacija \(\sqrt4+\sqrt9\) gaunamas skirtingas skaičius \(\sqrt{13}\), net jei \(4+9=13\).
\(\sqrt4+\sqrt9=2+3=5\)
\(\sqrt{13}≈3,6\)
→ Daugyba ir dalijimas tarp radikalų
Norėdami išspręsti daugybą arba padalijimą tarp radikalų, galime atskirai apskaičiuoti kiekvieno radikalo šaknį, bet galime naudoti ir radikalumo savybes, kurias pamatysime toliau.
Pavyzdžiai:
\(\sqrt{121}⋅\sqrt{49}=11⋅49=539\)
\(\sqrt[3]{512}÷\sqrt[3]{64}=8÷4=2\)
Kokios yra radiacijos savybės?
→ 1 radiacijos savybė
Jei y yra teigiamas skaičius, tada n-oji šaknis \(y^n\) yra lygus y.
\(\sqrt[n]{y^n}=y\)
Žiūrėkite pavyzdį:
\(\sqrt[3]{2^3}=\sqrt[3]{8}=2\)
Ši savybė plačiai naudojama norint supaprastinti išraiškas su radikalais.
→ 2 radiacijos savybė
N-oji produkto šaknis \(y⋅z\) yra lygus y ir z n-ųjų šaknų sandaugai.
\(\sqrt[n]{y\cdot z}=\sqrt[n]{y}\cdot \sqrt[n]{z}\)
Žiūrėkite pavyzdį:
\(\sqrt{36 ⋅ 196}=\sqrt{36}⋅\sqrt{196}=6⋅14=84\)
Svarbu: Kai apskaičiuojame didelio skaičiaus šaknį, tai labai naudinga faktorius (išskaidyti) radikandą į pirminius skaičius ir pritaikykite 1 ir 2 savybes. Žiūrėkite šį pavyzdį, kuriame norime apskaičiuoti \(\sqrt{7744}\):
\(7744=2^2⋅2^2⋅2^2⋅11^2\)
Kaip šitas,
\(\sqrt{2^2⋅2^2⋅2^2⋅11^2}=\sqrt{2^2}⋅\sqrt{2^2}⋅\sqrt{2^2}⋅\sqrt{11 ^2}= 2⋅2 ⋅2⋅11 = 88\)
→ 3 turtasįsišaknijimo
N-oji koeficiento šaknis \(\frac{y}z\), su \(z≠0\), yra lygus y ir z n-ųjų šaknų daliniui.
\(\sqrt[n]{\frac{y}{z}}=\frac{\sqrt[n]{y}}{\sqrt[n]{z}}\)
Žiūrėkite pavyzdį:
\(\sqrt[a]{\frac{125}{64}}=\frac{\sqrt[3]{125}}{\sqrt[3]{64}}=\frac{5}4\)
→ 4 radiacijos savybė
n-oji y šaknis, pakelta iki eksponento m, yra lygi n-ajai šaknims \(y^m\).
\((\sqrt[n]{y})^m=\sqrt[n]{y^m}\)
Žiūrėkite pavyzdį:
\((\sqrt[3]{8})^2=\sqrt[3]{8^2}=\sqrt[3]{64}=4\)
Taip pat žiūrėkite: Kokios yra potencijos savybės?
Išsprendė pratimus apie radiaciją
Klausimas 1
(FGV) Supaprastinimas \(2\sqrt3+2\sqrt12-2\sqrt{75}\), jūs gaunate:
A) 0
B) – 23
C) – 43
D) - 63
D) – 83
Rezoliucija:
Alternatyva C.
Atkreipkite dėmesį, kad naudojant radiacijos savybes, mes turime
\(2\sqrt{12}=2⋅\sqrt{3⋅ 4}=2⋅\sqrt3⋅\sqrt4=2⋅\sqrt3⋅2=4\sqrt3\)
\(2\sqrt{75}=2⋅\sqrt{25⋅3}=2⋅\sqrt{25}⋅\sqrt3=2⋅5⋅\sqrt3=10\sqrt3\)
Taigi teiginio išraišką galime perrašyti kaip
\(2\sqrt3+4\sqrt3-10\sqrt3\)
Įvedus terminą \(\sqrt3\) įrodymų, darome tokią išvadą
\(2\sqrt3+4\sqrt3-10\sqrt3=(2+4-10)⋅\sqrt3=-4\sqrt3\)
2 klausimas
(Cefet) Iš kurio skaičiaus turėtume padauginti skaičių 0,75, kad gautos sandaugos kvadratinė šaknis būtų lygi 45?
A) 2700
B) 2800
C) 2900
D) 3000
Rezoliucija:
Alternatyva A.
Ieškomas skaičius yra x. Taigi, pasak pareiškimo,
\(\sqrt{0,75⋅x}=45\)
Todėl,
\(0,75⋅x=45^2\)
\(0,75⋅x=2025\)
\(x=\frac{2025}{0.75}\)
\(x = 2700\)
