A sferinis dangtelis ir geometrinis kietas gaunamas, kai sferą perkerta plokštuma, padalijant ją į du geometrinius kietuosius kūnus. Sferinis dangtelis laikomas apvaliu korpusu, nes, kaip ir rutulys, jis turi apvalią formą. Norėdami apskaičiuoti sferinio dangtelio plotą ir tūrį, naudojame specialias formules.
Taip pat skaitykite: Kūgio kamienas – geometrinė kieta medžiaga, kurią sudaro kūgio dugnas, kai yra lygiagreti pagrindui
Santrauka apie sferinį dangtelį
- Sferinis dangtelis yra geometrinė kieta medžiaga, gaunama, kai rutulys yra padalintas iš plokštumos.
- Pagrindiniai rutulio formos dangtelio elementai yra rutulio spindulys, sferinės dangtelio spindulys ir sferinės dangtelio aukštis.
- Sferinis dangtelis yra ne daugiakampis, o apvalus korpusas.
- Jei plokštuma dalija sferą per pusę, sferinė dangtelis sudaro pusrutulį.
- Sferinio dangtelio spindulį galima apskaičiuoti naudojant Pitagoro teoremą, organizuotą taip:
\(\left (R-h\right)^2+r^2=R^2\)
- Sferinio dangtelio plotą galima apskaičiuoti pagal formulę:
\(A=2\pi rh\ \)
- Sferinio dangtelio tūrį galima apskaičiuoti pagal šią formulę:
\(V=\frac{\pi h^2}{3}\cdot\left (3r-h\right)\)
Kas yra sferinis dangtelis?
sferinis dangtelis yra geometrinė kieta medžiaga, gauta, kai atkarpa kamuolys bendras butas. Pjaudami rutulį plokštuma, šią sferą padaliname į dvi sferines dangtelius. Kai padalijame sferą per pusę, sferinė dangtelis yra žinomas kaip pusrutulis.
Sferiniai dangtelio elementai
Sferiniame dangtelyje pagrindiniai elementai yra sferos spindulys, sferinės dangtelio spindulys ir sferinės dangtelio aukštis.
- R → rutulio spindulys.
- r → sferinės kepurės spindulys.
- h → sferinės kepurės aukštis.
Ar sferinis dangtelis yra daugiakampis ar apvalus korpusas?
Matome, kad dangtelis yra geometrinė kieta medžiaga. Kadangi jis turi apvalų pagrindą ir suapvalintą paviršių, sferinis dangtelis laikomas a apvalus kūnas, kuri taip pat žinoma kaip revoliucijos kietoji dalis. Verta paminėti, kad daugiakampis turi veidus, kuriuos sudaro daugiakampiai, o tai nėra sferinio dangtelio atvejis, kurio pagrindas yra a ratas.
Kaip apskaičiuoti sferinio dangtelio spindulį?
Norėdami apskaičiuoti sferinio dangtelio spindulio ilgį, reikia žinoti sferinės kepurės aukščio h ilgį ir rutulio spindulio R ilgį, nes, kaip matome toliau pateiktame paveikslėlyje, egzistuoja Pitagoro ryšys.
Atkreipkite dėmesį, kad turime a taisyklingas trikampis, trikampis OO'B, kurio hipotenuzė yra R, o kojos - R - h ir r. Taikant Pitagoro teorema, Mes privalome:
\(\left (R-h\right)^2+r^2=R^2\)
Pavyzdys:
Koks yra 2 cm aukščio sferinės dangtelio spindulys, atsižvelgiant į tai, kad sferos spindulys yra 5 cm?
Rezoliucija:
Pitagoro santykio taikymas:
\(\left (R-h\right)^2+r^2=R^2\)
\(\kairė (5–2\dešinė)^2+r^2=5^2\)
\(3^2+r^2=25\)
\(9+r^2=25\)
\(r^2=25–9\)
\(r^2=16\)
\(r=\sqrt{16}\)
\(r=4\)
Kaip apskaičiuoti sferinio dangtelio plotą?
Norėdami apskaičiuoti sferinio dangtelio plotą, reikia žinoti rutulio spindulio R ilgio ir kepurės aukščio h matavimą. Paviršiaus plotui apskaičiuoti naudojama formulė:
\(A=2\pi Rh\)
- R → rutulio spindulys.
- h → sferinės kepurės aukštis.
Pavyzdys:
Sferinis dangtelis buvo gautas iš rutulio, kurio spindulys yra 6 cm, o aukštis - 4 cm. Taigi, koks yra šio sferinio dangtelio paviršiaus plotas?
Rezoliucija:
Apskaičiuodami sferinio dangtelio plotą, turime:
\(A=2\pi Rh\)
\(A=2\cdot\pi\cdot6\cdot4\ \)
\(A=48\pi\ cm^2\)
Kaip apskaičiuoti sferinio dangtelio tūrį?
Sferinio dangtelio tūris galima skaičiuoti dviem būdais. Pirmoji formulė priklauso nuo rutulio spindulio R ir aukščio h:
\(V=\frac{\pi h^2}{3}\left (3 R-h\right)\)
Pavyzdys:
Koks yra sferinio dangtelio tūris, gautas iš 8 cm spindulio rutulio, kurio sferinės dangtelio aukštis yra 6 cm?
Rezoliucija:
Kadangi žinome R ir h reikšmę, naudosime pirmąją formulę.
R = 8
h = 6
\(V=\frac{\pi h^2}{3}\left (3 R-h\right)\)
\(V=\frac{\pi6^2}{3}\left (3\cdot8-6\right)\)
\(V=\frac{36\pi}{3}\left (24-6\right)\)
\(V=12\pi\kairė (18\dešinė)\)
\(V=216\pi\ cm^3\)
Kitoje sferinio dangtelio tūrio formulėje atsižvelgiama į sferinio dangtelio spindulį r ir dangtelio aukštį h:
\(V=\frac{\pi h}{6}\left (3r^2+h^2\right)\)
Pavyzdys:
Koks yra 10 cm spindulio ir 4 cm aukščio sferinio dangtelio tūris?
Rezoliucija:
Šiuo atveju r = 10 cm ir h = 4 cm. Kadangi žinome sferinio dangtelio spindulio ir aukščio reikšmę, naudosime antrąją formulę:
\(V=\frac{\pi h}{6}\left (3r^2+h^2\right)\)
\(V=\frac{4\pi}{6}\left (3{\cdot10}^2+4^2\right)\)
\(V=\frac{4\pi}{6}\left (3\cdot100+16\right)\)
\(V=\frac{4\pi}{6}\left (300+16\right)\)
\(V=\frac{4\pi}{6}\left (316\right)\)
\(V=\frac{1264\pi}{6}\)
\(V\apytiksliai 210,7\ \pi\ cm³\)
Taip pat žiūrėkite: Piramidės kamienas – geometrinė kieta medžiaga, kurią sudaro piramidės dugnas, kai imamas skerspjūvis
Išsprendė pratimus ant sferinės kepurės
Klausimas 1
(Enem) Vaikų šventiniam stalui papuošti virtuvės šefas panaudos 10 cm skersmens sferinį melioną, kuris pasitarnaus kaip atrama smeigiant įvairius saldumynus. Jis nuims nuo meliono sferinį dangtelį, kaip parodyta paveikslėlyje, ir, kad garantuotų šios atramos stabilumą, todėl melionui bus sunku riedėti per stalą, šefas supjaustys taip, kad apskrito pjūvio ruožo spindulys r būtų bent minus 3 cm. Kita vertus, viršininkas norės turėti kuo daugiau ploto tame regione, kuriame bus iškabinti saldainiai.
Kad pasiektų visus savo tikslus, virėjas turi nupjauti meliono viršūnę aukštyje h, centimetrais, lygiu
A) \(5-\frac{\sqrt{91}}{2}\)
B)\(10-\kv.{91}\)
C) 1
D) 4
E) 5
Rezoliucija:
Alternatyva C
Žinome, kad sferos skersmuo yra 10 cm, taigi jos spindulys yra 5 cm, taigi OB = 5 cm.
Jei sekcijos spindulys yra lygiai 3 cm, turime:
AO² +AB² = OB²
AO² + 3² = 5²
AO² + 9 = 25
AO² = 25–9
AO² = 16
AO = \(\sqrt{16}\)
AO = 4 cm
Todėl:
h + 4 = 5
h = 5–4
h = 1
2 klausimas
Sferinio dangtelio plotas yra 144π cm². Žinant, kad jo spindulys yra 9 cm, šio sferinio dangtelio aukštis yra:
A) 8 cm
B) 10 cm
C) 14 cm
D) 16 cm
E) 22 cm
Rezoliucija:
Alternatyva A
Mes tai žinome:
\(A=2\pi Rh\)
\(144\pi=2\pi\cdot9\cdot h\)
\(144\pi=18\pi h\)
\(\frac{144\pi}{18\pi}=h\)
\(8=h\)
Aukštis 8 cm.
Raulis Rodriguesas de Oliveira
Matematikos mokytojas
Šaltinis: Brazilijos mokykla - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/calota-esferica.htm