Norėdami apskaičiuoti mažesnių ar lygių 3 (n≤3) kvadratinių matricų determinantus, turime keletą praktinių taisyklių šiems skaičiavimams atlikti. Tačiau kai užsakymas yra didesnis nei 3 (n> 3), daugelis šių taisyklių netaikomos.
Taigi pamatysime Laplaso teoremą, kuri, naudodama kofaktoriaus koncepciją, lemia lemiančių veiksnių apskaičiavimą prie taisyklių, taikomų bet kokioms kvadratinėms matricoms.
Laplaso teorema susideda iš vienos iš matricos eilučių (eilutės ar stulpelio) pasirinkimo ir atitinkamų kofaktorių pridėjus tos eilutės elementų sandaugą.
Algebrinė iliustracija:
Pažvelkime į pavyzdį:
Apskaičiuokite C matricos determinantą naudodami Laplace'o teoremą:
Pagal Laplaso teoremą, norėdami apskaičiuoti determinantą, turime pasirinkti eilutę (eilutę arba stulpelį). Panaudokime pirmąjį stulpelį:
Turime rasti kofaktoriaus vertes:
Taigi pagal Laplace'o teoremą matricos C determinantas pateikiamas tokia išraiška:
Atkreipkite dėmesį, kad nereikėjo apskaičiuoti matricos elemento, kuris buvo lygus nuliui, kofaktoriaus, galų gale, kai padauginsime kofaktorių, rezultatas vis tiek būtų lygus nuliui. Todėl, kai susiduriame su matricomis, kurių vienoje iš savo eilučių yra daug nulių, Laplace'o teoremos naudojimas tampa įdomus, nes nereikės apskaičiuoti kelių kofaktoriai.
Pažvelkime į šio fakto pavyzdį:
Apskaičiuokite matricos B determinantą naudodamiesi Laplace'o teorema:
Atkreipkite dėmesį, kad antrasis stulpelis yra eilutė, kurioje yra didžiausias nulių kiekis, todėl naudosime šią eilutę matricos determinantui apskaičiuoti pagal Laplace'o teoremą.
Todėl norėdami nustatyti B matricos determinantą, tiesiog suraskite kofaktorių A22.
Todėl galime užbaigti determinanto skaičiavimus:
det B = (- 1). (- 65) = 65
Autorius Gabrielius Alessandro de Oliveira
Baigė matematiką
Brazilijos mokyklos komanda
Šaltinis: Brazilijos mokykla - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/teorema-laplace.htm