apskaičiuoti faktorialas iš skaičiaus turi prasmę tik tada, kai dirbame su natūraliaisiais skaičiais. Ši operacija yra gana įprasta kombinatorinė analizė, palengvinantis susitarimų, permutacijų, derinių ir kitų problemų, susijusių su skaičiavimu, skaičiavimą. Faktoralas yra kurį žymi simbolis „!“. Apibrėžiame jį kaip n! (n faktorialas) į n dauginimas iš visų jo pirmtakų kol pasieksite 1. ne! = n · (n - 1) · (n - 2) ·… · 3 · 2 · 1.
Taip pat skaitykite: Pagrindinis skaičiavimo principas - pagrindinė kombinatorinės analizės samprata
Kas yra faktoriška?
Faktorialas yra labai svarbi kombinatorinės analizės tyrimo ir plėtros operacija. Matematikoje skaičius, po kurio eina šauktukas (!) yra žinomas kaip faktorius, pvz., x! (x faktorius).
Mes žinome kaip faktorių natūralusis skaičius The padauginus šį skaičių iš pirmtakų, išskyrus nulį, t.y:
ne! = n · (n-1) · (n-2)… 3 · 2 · 1 |
Pažymėtina, kad norint, kad ši operacija būtų prasminga, n yra natūralusis skaičius, tai yra, mes neapskaičiuojame neigiamo skaičiaus, net dešimtainio skaičiaus ar trupmenos faktorinio skaičiaus.
faktorių skaičiavimas
Norėdami rasti skaičiaus faktorialą, tiesiog apskaičiuokite sandaugą. Taip pat atkreipkite dėmesį, kad faktorialas yra operacija, kuri, kai padidinti n vertę, rezultatas taip pat labai padidės.
Pavyzdžiai:
4! =4 · 3 · 2 · 1 = 24
5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1= 120
6! = 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 720
7! = 7· 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 5040
Pagal apibrėžimą mes turime:
0! = 1
1! = 1
Faktorinės operacijos
Norint išspręsti faktorių operacijas, svarbu būti atsargiems ir nedaryti klaidų. Kai ketiname sudėti, atimti ar padauginti du faktorialus, kiekvieną iš jų reikia apskaičiuoti atskirai. Tik skyrius turi konkrečius būdus, kaip atlikti supaprastinimus. Nepadarykite klaidos atlikdami operaciją ir išlaikydami faktorialą, arba sudedant, atimant, arba dauginant.
2! + 3! ≠ 5!
4! · 2! ≠ 12!
7! – 5! ≠ 2!
Spręsdami bet kurią iš šių operacijų, turime apskaičiuoti kiekvieną iš faktorių.
Pavyzdžiai:
a) 2! + 3! = (2 · 1) + (3 · 2 · 1) = 2 + 6 = 8
b) 4! · 2! = (4 · 3 · 2 · 1) · (2 · 1) = 24 · 2 = 48.
c) 7! - 5! =(7 · 6· 5· 4 · 3 · 2 · 1) - (5· 4 · 3 · 2 · 1) = 5040 – 120 = 4920.
Taip pat žiūrėkite: Kaip išspręsti lygtį su faktoriumi?
Faktorinis supaprastinimas
Skirstymai yra gana pasikartojantys. Formulėse derinys, išdėstymas ir permutacija su kartojimu, mes visada griebsimės supaprastinimo, kad išspręstume problemas, susijusias su faktoriumi. Atlikime kelis veiksmus.
Pavyzdys:
1 žingsnis: nustatykite didžiausią iš faktorialų - šiuo atveju tai yra 8! Dabar, žiūrėdami į vardiklį, kuris yra 5!, parašykime pirmtakų 8 padauginimą, kol pasieksime 5 !.
Skaičio n faktorą, tai yra, n!, Galima perrašyti kaip n padauginimą iš k! Taigi,
ne! = n · (n -1) · (n- 2) ·… · k!, taigi perrašykime 8! patinka dauginimas nuo 8 iki 5 !.
8! = 8 · 7 · 6 · 5!
Taigi perrašykime priežastį taip:
2 žingsnis: perrašius priežastis, galima supaprastinti skaitiklį vardikliu, nes 5! jis yra tiek skaitiklyje, tiek vardiklyje. Po supaprastinimo tiesiog atlikite dauginimą.
2 pavyzdys:
Kombinatorinė ir faktorių analizė
Atliekant toliau atliekant kombinatorinę analizę, visada pasirodys skaičiaus faktorialas. Pagrindinės kombinatorinės analizės grupės, kurios yra permutacija, derinimas ir išdėstymas, savo formulėse naudoja skaičiaus faktorialą.
Permutacija
permutacija ir pertvarkyti visus rinkinio elementus. Norėdami apskaičiuoti permutaciją, pasitelksime faktorių, nes n elementų permutacija apskaičiuojama pagal:
Pne = n!
Pavyzdys:
Kiek anagramos ar galime pastatyti pavadinimu HEITOR?
Tai tipiška permutacijos problema. Kadangi pavadinime yra 6 raidės, norėdami apskaičiuoti galimų anagramų skaičių, tiesiog apskaičiuokite P6.
P6 = 6! = 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 720
Taip pat prieiga: Permutacija su pakartotiniais elementais: kaip ją išspręsti?
Susitarimai
Apskaičiuoti susitarimus tai taip pat reikalauja įsisavinti skaičiaus faktorialą. Išdėstymas, kaip ir permutacija, yra pertvarkymo formavimas. Skirtumas yra, aranžuotėje pertvarkome dalį rinkinio, tai yra, mes norime sužinoti, kiek galimų pertvarkymų galime suformuoti pasirinkdami k kiekį iš vieno rinkinys su n elementais.
Pavyzdys:
Bendrovėje yra 6 kandidatai vadovauti įstaigai, du bus atrinkti į direktoriaus ir direktoriaus pavaduotojo pareigas. Žinant, kad jie bus išrinkti balsavimu, kiek galimų rezultatų yra?
Tokiu atveju apskaičiuosime 6 išdėstymą, paimtą iš 2 iš 2, nes yra du kandidatai į dvi laisvas vietas.
Derinys
Derinyje, kaip ir kituose, būtina įvaldyti skaičiaus faktorių. Mes apibūdiname kaip derinį tu rinkinio pogrupiai. Skirtumas yra tas, kad derinyje nėra pertvarkymo, nes tvarka nėra svarbi. Taigi mes apskaičiuojame, kiek pogrupių su k elementais galime suformuoti n elementų rinkinyje.
Pavyzdys:
Klasei atstovauti bus pasirinkta 3 mokinių komisija. Žinant, kad yra 5 kandidatai, kiek galima sudaryti komisijų?
Taip pat skaitykite: Išdėstymas ar derinys?
sprendė pratimus
Klausimas 1 - Apie skaičiaus faktorialą įvertinkite šiuos teiginius.
Aš). 0! + 1! = 2
II). 5! - 3! = 2!
III) 2! · 4! = 8
A) Tiesa esu tik aš.
B) Tiesa yra tik II.
C) Tiesa yra tik III.
D) Tik I ir II yra teisingi.
E) Tik II ir II yra teisingi.
Rezoliucija
Alternatyva A.
I) Tiesa.
0! = 1
1! = 1
0! + 1! = 1+1 = 2
II) Klaidinga.
5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1= 120
3! = 3 · 2 · 1 = 6
5! – 3! = 120 – 6 = 114
III) Klaidinga.
2! = 2 · 1
4! = 4 · 3 · 2 · 1= 24
2 klausimas - (UFF) Ar produktas 20 × 18 · 16 · 14… · 6 · 4 · 2 atitinka?
A) 20: 2
B) 2 · 10!
C) 20: 210
D) 210· 10!
E) 20!: 10!
Rezoliucija
D alternatyva.
Žvelgdami į visų lyginių skaičių nuo 2 iki 20 sandaugą, žinome, kad:
20 = 2 · 10
18 = 2 · 9
16 = 2 · 8
14 = 2 · 7
12 = 2 · 6
10 = 2 · 5
8 = 2 · 4
6 = 2 · 3
4 = 2 · 2
2 = 2 · 1
Taigi galime perrašyti kaip 210 · 10 · 9 · … ·2 · 1 = 210 · 10!
Autorius Raulas Rodriguesas de Oliveira
Matematikos mokytoja