Spręsti tiesinių sistemų pratimai

Praktikuokite savo žinias apie tiesines sistemas, svarbią matematikos temą, apimančią vienalaikių lygčių tyrimą. Su daugybe praktinių pritaikymų jie naudojami sprendžiant problemas, susijusias su skirtingais kintamaisiais.

Visi klausimai sprendžiami žingsnis po žingsnio, kur naudosime skirtingus metodus, tokius kaip: pakeitimas, papildymas, pašalinimas, mastelio keitimas ir Cramerio taisyklė.

1 klausimas (pakeitimo metodas)

Nustatykite eilės porą, kuri išsprendžia šią tiesinių lygčių sistemą.

Žiūrėti atsakymą

Atsakymas:

Išskirkite x pirmoje lygtyje:

Pakeičiant x į antrąją lygtį:

y reikšmės pakeitimas pirmoje lygtyje.

Taigi, užsakyta pora, kuri išsprendžia sistemą, yra:

2 klausimas (mastelio keitimo metodas)

Šios tiesinių lygčių sistemos sprendimas yra toks:

Žiūrėti atsakymą

Atsakymas: x = 5, y = 1, z = 2

Sistema jau yra ešeloninės formos. Trečioji lygtis turi du nulinius koeficientus (y = 0 ir x = 0), antroji lygtis turi nulinį koeficientą (x = 0), o trečioji lygtis neturi nulinių koeficientų.

Ešeloninėje sistemoje sprendžiame „iš apačios į viršų“, tai yra, pradedame nuo trečiosios lygties.

Pereidami prie viršutinės lygties, pakeičiame z = 2.

Galiausiai pirmoje lygtyje pakeičiame z = 2 ir y = 1, kad gautume x.

Sprendimas

x = 5, y = 1, z = 2

3 klausimas (Cramerio taisyklė arba metodas)

Išspręskite šią tiesinių lygčių sistemą:

Žiūrėti atsakymą

Atsakymas: x = 4, y = 0.

Naudojant Cramerio taisyklę.

1 žingsnis: nustatykite determinantus D, Dx ir Dy.

Koeficientų matrica yra tokia:

Jo determinantas:
D = 1. 1 - 2. (-1)
D = 1 – (-2) = 1 + 2 = 3

Skaičiuodami Dx, pakeičiame x terminų stulpelį nepriklausomų terminų stulpeliu.

Dx = 4. 1 - 8. (-1)
Dx = 4 + 8 = 12

Skaičiuodami Dy, y terminus pakeičiame nepriklausomais nariais.

Dy = 1. 8 - 2. 4
Dy = 8–8
Dy = 0

2 žingsnis: nustatykite x ir y.

Norėdami nustatyti x, darome:

Norėdami nustatyti y, darome:

4 klausimas

Marškinėlių ir kepurių pardavėjas sporto renginyje pardavė 3 marškinėlius ir 2 kepures, iš viso surinkęs 220,00 R$. Kitą dieną jis pardavė 2 marškinius ir 3 kepures, surinkdamas 190,00 R$. Kokia būtų marškinėlių ir kepurės kaina?

a) Marškinėliai: 60,00 BRL | Kepurė: 40,00 BRL

b) Marškinėliai: 40,00 BRL | Kepurė: 60,00 BRL

c) Marškinėliai: 56,00 BRL | Kepurė: 26,00 BRL

d) marškinėliai: 50,00 BRL | Kepurė: 70,00 BRL

e) marškinėliai: 80,00 BRL | Kepurė: 30,00 BRL

patvirtinti atsakymą

Atsakymas paaiškintas

Pažymėkime marškinėlių kainą c ir skrybėlių kainą b.

Pirmą dieną turime:

3c + 2b = 220

Antrą dieną turime:

2c + 3b = 190

Sudarome dvi lygtis su dviem nežinomaisiais c ir b. Taigi turime 2x2 tiesinių lygčių sistemą.

Rezoliucija

Kramerio taisyklės naudojimas:

1 žingsnis: koeficientų matricos determinantas.

2 žingsnis: determinantas Dc.

C stulpelį pakeičiame nepriklausomų terminų matrica.

3 žingsnis: determinantas Db.

4 žingsnis: nustatykite c ir b reikšmes.

Atsakymas:

Marškinėlių kaina – 56,00 R$, o kepuraitės – 26,00 R$.

5 klausimas

Kino teatras kainuoja 10,00 R$ už bilietą suaugusiems ir 6,00 R$ už bilietą vaikams. Per vieną dieną buvo parduota 80 bilietų, o iš viso surinkta 700,00 R$. Kiek bilietų į kiekvieną tipą buvo parduota?

a) Suaugusieji: 75 | Vaikai: 25

b) Suaugusieji: 40 | Vaikai: 40

c) Suaugusieji: 65 | Vaikai: 25

d) Suaugusieji: 30 | Vaikai: 50

e) Suaugusieji: 25 | Vaikai: 75

patvirtinti atsakymą

Atsakymas paaiškintas

Pavadinsime kaip The bilieto kaina suaugusiems ir w vaikams.

Kalbant apie bendrą bilietų skaičių, kurį turime:

a + c = 80

Kalbant apie gautą vertę, turime:

10a + 6c = 700

Sudarome tiesinių lygčių sistemą su dviem lygtimis ir dviem nežinomaisiais, tai yra 2x2 sistemą.

Rezoliucija

Mes naudosime pakeitimo metodą.

A išskyrimas pirmoje lygtyje:

a = 80 - c

Pakeičiant a į antrąją lygtį:

10.(80 - c) + 6c = 700

800 -10c + 6c = 700

800–700 = 10c–6c

100 = 4c

c = 100/4

c = 25

Pakeičiant c antroje lygtyje:

6a + 10c = 700

6a+10. 25 = 700

6m + 250 = 700

6a = 700–250

6a = 450

a = 450/6

a = 75

6 klausimas

Parduotuvėje parduodami marškinėliai, šortai ir batai. Pirmą dieną buvo parduoti 2 marškinėliai, 3 šortai ir 4 poros batų, kurių bendra vertė – 350,00 R$. Antrą dieną buvo parduoti 3 marškinėliai, 2 šortai ir 1 pora batų už 200,00 R$. Trečią dieną buvo parduoti 1 marškinėliai, 4 šortai ir 2 poros batų už 320,00 R$. Kiek kainuotų marškinėliai, šortai ir batų pora?

a) Marškinėliai: 56,00 BRL | Bermudai: 24,00 R$ | Batai: 74,00 BRL

b) Marškinėliai: 40,00 BRL | Bermudai: 50,00 R$ | Batai: 70,00 BRL

c) Marškinėliai: 16,00 BRL | Bermudai: 58,00 R$ | Batai: 36,00 BRL

d) marškinėliai: 80,00 BRL | Bermudai: 50,00 R$ | Batai: 40,00 BRL

e) marškinėliai: 12,00 BRL | Bermudai: 26,00 R$ | Batai: 56,00 BRL

patvirtinti atsakymą

Atsakymas paaiškintas

• c – marškinių kaina;
• b – šortų kaina;
• s yra batų kaina.

Pirmą dieną:

2c + 3b + 4s = 350

Antrą dieną:

3c + 2b + s = 200

Trečią dieną:

c + 4b + 2s = 320

Turime tris lygtis ir tris nežinomuosius, sudarančius 3x3 tiesinių lygčių sistemą.

Naudojant Cramerio taisyklę.

Koeficientų matrica yra

Jo determinantas yra D = 25.

Atsakymų stulpelių matrica yra tokia:

Norėdami apskaičiuoti Dc, atsakymų stulpelio matricą pakeičiame pirmuoju koeficientų matricos stulpeliu.

dc = 400

Norėdami apskaičiuoti Db:

Db = 1450

Norėdami apskaičiuoti Ds:

Ds = 900

Norėdami nustatyti c, b ir s, determinantus Dc, Db ir Ds padalijame iš pagrindinio determinanto D.

7 klausimas

Restorane siūlomi trys patiekalai: mėsos, salotų ir picos. Pirmąją dieną buvo parduota 40 mėsos patiekalų, 30 salotų patiekalų ir 10 picų, kurių bendra parduota 700,00 R$. Antrą dieną buvo parduota 20 mėsos patiekalų, 40 salotų patiekalų ir 30 picų, kurių bendra pardavimas siekė 600,00 R$. Trečią dieną buvo parduota 10 mėsos patiekalų, 20 salotų patiekalų ir 40 picų, kurių bendra vertė – 500,00 R$. Kiek kainuotų kiekvienas patiekalas?

a) mėsa: 200,00 BRL | salotos: 15,00 R$ | pica: 10,00 BRL

b) mėsa: 150,00 R$ | salotos: 10,00 R$ | pica: 60,00 BRL

c) mėsa: 100,00 BRL | salotos: 15,00 R$ | pica: 70,00 BRL

d) mėsa: 200,00 BRL | salotos: 10,00 R$ | pica: 15,00 BRL

e) mėsa: 140,00 BRL | salotos: 20,00 R$ | pica: 80,00 BRL

patvirtinti atsakymą

Atsakymas paaiškintas

Naudojant:

• c mėsai;
• s salotoms;
• p picai.

Pirmą dieną:

Antrą dieną:

Trečią dieną:

Kiekvieno patiekalo kainą galima gauti išsprendus sistemą:

Rezoliucija

Naudojant pašalinimo metodą.

20c + 40s + 30p = 6000 padauginkite iš 2.

Iš pirmosios atimkite gautą antrąją matricos lygtį.

Aukščiau pateiktoje matricoje šią lygtį pakeičiame antrąja.

Trečią aukščiau pateiktą lygtį padauginame iš 4.

Iš pirmosios lygties atėmę trečiąją, gauname:

Gautą lygtį pakeičiant trečiąja.

Atėmus antrą ir trečią lygtis, gauname:

Iš trečiosios lygties gauname p = 80.

Pakeičiant p antroje lygtyje:

50s + 50,80 = 5000

50s + 4000 = 5000

50s = 1000

s = 1000/50 = 20

Pakeičiant s ir p reikšmes pirmoje lygtyje:

40c + 30,20 + 10,80 = 7000

40c + 600 + 800 = 7000

40c = 7000–600–800

40c = 5600

c = 5600 / 40 = 140

Sprendimas

p = 80, s = 20 ir c = 140

8 klausimas

(UEMG) Plane – sistema reiškia eilučių porą

a) sutapimas.

b) atskiras ir lygiagretus.

c) lygiagrečios linijos taške ( 1, -4/3 )

d) lygiagrečios linijos taške ( 5/3, -16/9 )

patvirtinti atsakymą

Atsakymas paaiškintas

Pirmąją lygtį padauginkite iš dviejų ir pridėkite dvi lygtis:

Pakeičiant x A lygtyje:

9 klausimas

(PUC-MINAS) Tam tikra laboratorija A, B ir C vaistinėms išsiuntė 108 užsakymus. Yra žinoma, kad B vaistinei išsiųstų užsakymų skaičius dvigubai viršijo bendrą užsakymų skaičių kitoms dviem vaistinėms. Be to, į vaistinę C buvo išsiųsti trys užsakymai, daugiau nei pusė vaistinei A išsiųstos sumos.

Remiantis šia informacija, TEISINGA teigti, kad bendras į vaistines B ir C išsiųstų užsakymų skaičius buvo

a) 36

b) 54

c) 86

d) 94

patvirtinti atsakymą

Atsakymas paaiškintas

Pagal pareiškimą mes turime:

A + B + C = 108.

Be to, B kiekis buvo dvigubai didesnis nei A + C.

B = 2 (A + C)

Į vaistinę C išsiųsti trys užsakymai, daugiau nei pusė kiekio išsiųsta vaistinei A.

C = A/2 + 3

Turime lygtis ir tris nežinomuosius.

Naudojant pakeitimo metodą.

1 veiksmas: pakeiskite trečią antruoju.

2 veiksmas: gautą rezultatą ir trečiąją lygtį pakeiskite pirmuoju.

3 veiksmas: pakeiskite A reikšmę, kad nustatytumėte B ir C reikšmes.

B = 3A + 6 = 3,22 + 6 = 72

C:

4 veiksmas: pridėkite B ir C reikšmes.

72 + 14 = 86

10 klausimas

(UFRGS 2019) Kad tiesinių lygčių sistema įmanoma ir ryžtinga, būtina ir pakanka to

a) a ∈ R.

b) a = 2.

c) a = 1.

d) a ≠ 1.

c) a ≠ 2.

patvirtinti atsakymą

Atsakymas paaiškintas

Vienas iš būdų klasifikuoti sistemą kaip įmanomą ir determinuotą yra Cramerio metodas.

Sąlyga yra ta, kad determinantai skiriasi nuo nulio.

Pagrindinės matricos determinantas D lygus nuliui:

Norėdami sužinoti daugiau apie linijines sistemas:

• Linijinės sistemos: kas tai yra, tipai ir kaip išspręsti
• Lygčių sistemos
• Tiesinių sistemų mastelio keitimas
• Cramerio taisyklė

Norėdami gauti daugiau pratimų:

• 1-ojo laipsnio lygčių sistemos

Kaip cituoti?

ASTH, Rafaelis. Išspręstų tiesinių sistemų pratimai.Visa materija, [n.d.]. Galima įsigyti: https://www.todamateria.com.br/exercicios-de-sistemas-lineares-resolvidos/. Prieiga adresu:

Taip pat žiūrėkite

• Linijinės sistemos
• Tiesinių sistemų mastelio keitimas
• Lygčių sistemos
• 11 matricos daugybos pratimų
• Antrojo laipsnio lygtis
• Nelygybės pratimai
• 27 Baziniai matematikos pratimai
• Cramerio taisyklė