simetrinė matrica yra būstinė kuriame kiekvienas elementas \(a_{ij}\) yra lygus elementui \(a_{ji}\) visoms i ir j reikšmėms. Vadinasi, kiekviena simetriška matrica yra lygi jos perkėlimui. Taip pat verta paminėti, kad kiekviena simetriška matrica yra kvadratinė ir kad pagrindinė įstrižainė veikia kaip simetrijos ašis.
Taip pat skaitykite:Matricos sudėjimas ir atėmimas – kaip apskaičiuoti?
Šio straipsnio temos
- 1 – simetrinės matricos santrauka
- 2 – Kas yra simetrinė matrica?
- 3 – Kokios yra simetrinės matricos savybės?
- 4 – Kuo skiriasi simetrinė matrica ir antisimetrinė matrica?
- 5 - Išspręsti pratimai ant simetrinės matricos
Santrauka apie simetrinę matricą
Simetriškoje matricoje \(a_{ij}=a_{ji}\) visiems i ir j.
Kiekviena simetriška matrica yra kvadratinė.
Kiekviena simetriška matrica yra lygi jos perkėlimui.
Simetrinės matricos elementai yra simetriški pagrindinės įstrižainės atžvilgiu.
Būdami simetrinėje matricoje \(a_{ij}=a_{ji}\) visiems i ir j; antisimetrinėje matricoje, \(a_{ij}=-a_{ji}\) visiems i ir j.
Kas yra simetrinė matrica?
Simetrinė matrica yra kvadratinė matrica kur \(\mathbf{a_{ij}=a_{ji}}\) už kiekvieną i ir kiekvieną j. Tai reiškia, kad \(a_{12}=a_{21},a_{23}=a_{32},a_{13}=a_{13}\)ir tt visoms galimoms i ir j reikšmėms. Atminkite, kad galimos i reikšmės atitinka matricos eilutes, o galimos j reikšmės atitinka matricos stulpelius.
Simetrinių matricų pavyzdžiai
\(\begin{bmatrix} 5 & 9 \\ 9 & 3 \\ \end{bmatrix}\), \(\begin{bmatrix} -2 & 1 & 7 \\ 1 & 0 & 3 \\ 7 & 3 & 8 \\ \end{bmatrix}\), \(\begin{bmatrix} a & b & c \\ b & d & e \\ c & e & f \\ \end{bmatrix}\)
Nesimetrinių matricų pavyzdžiai (apsvarstykite \(\mathbf{b≠g}\))
\(\begin{bmatrix} 5 & 8 \\ 9 & 3 \\ \end{bmatrix}\), \(\begin{bmatrix} -2 & 1 & 7 \\ 1 & 0 & 3 \\ 4 & 3 & 8 \\ \end{bmatrix}\), \(\begin{bmatrix} a & g & c \\ b & d & e \\ c & e & f \\ \end{bmatrix}\)
Svarbu: Pasakyti, kad matrica nėra simetriška, reiškia tai parodyti \(a_{ij}≠a_{ji}\) bent jau kai kuriems i ir j (ką galime pamatyti palyginę ankstesnius pavyzdžius). Tai skiriasi nuo antisimetrinės matricos koncepcijos, kurią pamatysime vėliau.
Nesustok dabar... Po viešumos dar daugiau ;)
Kokios yra simetrinės matricos savybės?
Kiekviena simetriška matrica yra kvadratinė
Atkreipkite dėmesį, kad simetrinės matricos apibrėžimas pagrįstas kvadratinėmis matricomis. Taigi, kiekviena simetriška matrica turi tiek pat eilučių, kiek stulpelių.
Kiekviena simetriška matrica yra lygi jos perkėlimui
Jei A yra matrica, jos perkelta (\(A^T\)) apibrėžiama kaip matrica, kurios eilutės yra A stulpeliai, o stulpeliai yra A eilutės. Taigi, jei A yra simetrinė matrica, mes turime \(A=A^T\).
Simetriškoje matricoje elementai „atspindi“ pagrindinės įstrižainės atžvilgiu
Kaip \(a_{ij}=a_{ji}\) simetrinėje matricoje virš pagrindinės įstrižainės esantys elementai yra žemiau esančių elementų „atspindys“. įstrižainės (arba atvirkščiai) įstrižainės atžvilgiu, kad pagrindinė įstrižainė veiktų kaip ašis simetrija.
Kuo skiriasi simetrinė matrica ir antisimetrinė matrica?
Jei A yra simetrinė matrica, tada \(a_{ij}=a_{ji}\) visiems i ir visiems j, kaip mes studijavome. Antisimetrinės matricos atveju situacija yra kitokia. Jei B yra antisimetrinė matrica, tada \(\mathbf{b_{ij}=-b_{ji}}\) už kiekvieną i ir kiekvieną j.
Atkreipkite dėmesį, kad tai lemia \(b_{11}=b_{22}=b_{33}=⋯=b_{nn}=0\), tai yra, pagrindiniai įstrižainės elementai lygūs nuliui. To pasekmė yra ta, kad antisimetrinės matricos transponavimas yra lygus jos priešingumui, tai yra, jei B yra antisimetrinė matrica, tada \(B^T=-B\).
Antisimetrinių matricų pavyzdžiai
\(\begin{bmatrix} 0 & -2 \\ 2 & 0 \\ \end{bmatrix}\), \(\begin{bmatrix} 0 & 5 & -1 \\ -5 & 0 & 4 \\ 1 & -4 & 0 \\ \end{bmatrix}\), \(\begin{bmatrix} 0 & -m & x \\ m & 0 & -y \\ -x & y & 0 \\ \end{bmatrix}\)
Taip pat žiūrėkite: Tapatybės matrica – matrica, kurioje pagrindiniai įstrižainės elementai yra lygūs 1, o likę elementai lygūs 0
Spręsti pratimai ant simetrinės matricos
Klausimas 1
(„Unicentro“)
jei matrica \(\begin{bmatrix} 1 & x & y-1 \\ y-1 & 0 & x+5 \\ x & 7 & -1 \\ \end{bmatrix}\) yra simetriškas, todėl xy reikšmė yra:
A) 6
B) 4
C) 2
D) 1
E) -6
Rezoliucija:
Alternatyva A
Jei duota matrica yra simetriška, tada simetriškose pozicijose esantys elementai yra lygūs (\(a_{ij}=a_{ji}\)). Todėl turime:
\(x = y – 1\)
\(x + 5 = 7\)
Pirmojo pakeitimas lygtis antruoju darome išvadą \(y=3\), greitai:
\(x=2\) tai yra \(xy=6\)
2 klausimas
(UFSM) Žinant, kad matrica \(\begin{bmatrix} Y & 36 & -7 \\ x^2 & 0 & 5x \\ 4-y & -30 & 3 \\ \end{bmatrix}\) yra lygus jo transponavimui, vertei \(2x+y\) é:
A) -23
B) -11
C) -1
D) 11
E) 23
Rezoliucija:
Alternatyva C
Kadangi duota matrica yra lygi jos transponavimui, tai yra simetriška matrica. Taigi simetriškose padėtyse esantys elementai yra lygūs (\(a_{ij}=a_{ji}\)), t.y:
\(x^2=36\)
\(4-y=-7\)
\(-30 = 5x\)
Pagal pirmąją lygtį, x=-6 arba x=6. Pagal trečiąją lygtį gauname teisingą atsakymą: x = -6. Pagal antrąją lygtį, y = 11.
Netrukus:
\(2x+y=2.(-6)+11=-1\)
Parašė Maria Luiza Alves Rizzo
Matematikos mokytojas
Ar norėtumėte remtis šiuo tekstu mokykloje ar akademiniame darbe? Žiūrėk:
RIZZO, Maria Luiza Alves. „Simetrinė matrica“; Brazilijos mokykla. Galima įsigyti: https://brasilescola.uol.com.br/matematica/matriz-simetrica.htm. Žiūrėta 2023 m. liepos 18 d.
Supraskite čia matricos struktūros apibrėžimus ir formalizacijas. Taip pat žiūrėkite, kaip valdyti jo elementus ir įvairių tipų matricas.
Spustelėkite čia ir sužinokite apie tapatybės matricą, neutralų matricos daugybos elementą. Taip pat sužinokite, kaip sukurti šio ypatingo tipo matricą.
Supraskite, kas yra transponavimo matrica. Žinokite transponuotos matricos savybes. Sužinokite, kaip rasti perkeltą duotosios matricos matricą.
Sužinokite, kas yra simetrija, ir sužinokite, kokie yra jos tipai. Taip pat žiūrėkite pavyzdžius ir šio reiškinio svarbą.
Matrica, matricų tipas, matricų tvarka, eilučių matrica, stulpelių matrica, nulinė matrica, matrica kvadratas, įstrižainė matrica, tapatumo matrica, priešinga matrica, matrica, lygi matrica, lygybė matricos.
Cringe
Iš anglų kalbos pritaikytas slengas vartojamas norint apibūdinti asmenį, kuris laikomas lipniu, gėdingu, pasenusiu ir nebemadingu.
Neurologinė įvairovė
Judy Singer sugalvotas terminas vartojamas įvairiems žmogaus proto elgesio būdams apibūdinti.
PL netikrų naujienų
Taip pat žinomas kaip PL2660, tai įstatymo projektas, nustatantis socialinių tinklų reguliavimo mechanizmus Brazilijoje.
