THE Vidaus bisektoriaus teorema buvo sukurta specialiai trikampiai ir parodo, kad kai atsekame trikampio kampo vidinę pusiausvyrą, trikampio susikirtimo taškas su priešinga kraštine padalija tą kraštinę į linijos atkarpos proporcingas gretimoms to kampo kraštinėms. Taikant vidinio bisektoriaus teoremą galima nustatyti trikampio kraštinės ar atkarpų reikšmę naudojant proporciją tarp jų.
Taip pat žiūrėkite: Mediana, kampo pusiausvyra ir trikampio aukštis – koks skirtumas?
Vidinio bisektoriaus teoremos santrauka:
Bisektorius yra a spindulys kuri padalija kampą į du sutampančius kampus.
Vidaus bisektoriaus teorema būdinga trikampiams.
Ši teorema įrodo, kad bisektorius dalija priešingą pusę į proporcingus segmentus į šalia esančias puses kampu.
Video pamoka apie vidinio bisektoriaus teoremą
Kas yra bisektoriaus teorema?
Prieš suprantant, ką sako vidinio bisektoriaus teorema, svarbu žinoti, kas yra kampo pusiausvyra. Tai spindulys, dalijantis kampą į dvi lygias dalis., tai yra, dvi dalys, turinčios tą patį matą.
Suprasdami, kas yra bisektorius, pastebime, kad jis egzistuoja vidiniame trikampio kampe. Nubrėžę trikampio kampo pusiausvyrą, priešingą kraštinę jis padalins į dvi dalis. Kalbant apie vidinę pusiausvyrą, jo teorema sako, kad du atkarpos, padalintos iš jo, yra proporcingos gretimoms kampo kraštinėms.
Atkreipkite dėmesį, kad bisektorius dalija šoninę AC į du segmentus: AD ir DC. Bisektoriaus teorema rodo tai:
\(\frac{\overline{AB}}{\overline{AD}}=\frac{\overline{BC}}{\overline{CD}}\)
Žinoti daugiau: Pitagoro teorema – kita teorema, sukurta trikampiams
Vidinės pusiausvyros teoremos įrodymas
Žemiau esančiame trikampyje ABC atskirsime atkarpą BD, kuri yra šio trikampio pusiausvyra. Be to, atseksime jos kraštinės CB ir segmento AE pailgėjimą, lygiagrečiai BD:
Kampas AEB sutampa su kampu DBC, nes CE yra a tiesiai skersai lygiagrečių atkarpų AE ir BD.
taikant Talio teorema, padarėme išvadą, kad:
\(\frac{\overline{BE}}{\overline{AD}}=\frac{\overline{BC}}{\overline{DC}}\)
Dabar mes belieka parodyti, kad BE = AB.
Kadangi x yra kampo ABD ir DBC matas, analizuodami kampą ABE gauname:
ABE = 180 - 2x
Jei y yra kampo EAB matas, turime tokią situaciją:
Mes žinome, kad trikampio vidinių kampų suma ABE yra 180°, todėl galime apskaičiuoti:
180 – 2x + x + y = 180
– x + y = 180–180
– x + y = 0
y = x
Jei kampas x ir kampas y turi tą patį matą, trikampis ABE yra lygiašoniai. Todėl kraštinė AB = AE.
Kadangi trikampio vidinių kampų suma visada lygi 180°, trikampyje ACE turime:
x + 180 - 2x + y = 180
– x + y = 180–180
– x + y = 0
y = x
Kadangi y = x, trikampis ACE yra lygiašonis. Todėl segmentai AE ir AC yra sutampa. AE keitimas į AC in priežastis, įrodyta, kad:
\(\frac{\overline{AB}}{\overline{AD}}=\frac{\overline{BC}}{\overline{DC}}\)
Pavyzdys:
Raskite x reikšmę šiame trikampyje:
Analizuodami trikampį, gauname tokį santykį:
\(\frac{6}{3}=\frac{8}{x}\)
Kryžminis dauginimas:
6x = 8 ⋅ 3
6x = 24
\(x=\frac{24}{6}\)
x = 4
Taip pat skaitykite: Įspūdingi trikampio taškai – kas jie?
Išspręstas vidinio bisektoriaus teoremos pratimas
Klausimas 1
Žvelgdami į žemiau esantį trikampį galime pasakyti, kad x reikšmė yra:
a) 9
B) 10
C) 11
D) 12
E) 13
Rezoliucija:
Alternatyva D
Taikydami vidinio bisektoriaus teoremą, gauname tokį skaičiavimą:
\(\frac{27}{30-x}=\frac{18}{x}\)
Kryžminis dauginimas:
\(27x=18\ \left (30-x\right)\)
\(27x\ =\ 540\ -\ 18x\ \)
\(27x\ +\ 18x\ =\ 540\ \)
\(45x\ =\ 540\ \)
\(x=\frac{540}{45}\)
\(x\ =\ 12\)
2 klausimas
Išanalizuokite šį trikampį, žinodami, kad jūsų matavimai buvo pateikti centimetrais.
Trikampio ABC perimetras yra lygus:
A) 75 cm
B) 56 cm
C) 48 cm
D) 24 cm
E) 7,5 cm
Rezoliucija:
Alternatyva C
Taikydami bisektoriaus teoremą, pirmiausia rasime x reikšmę:
\(\frac{2x}{5}=\frac{4x-9}{7}\)
\(5\ \left (4x-9\right)=2x\cdot7\)
\(20x\ -\ 45\ =\ 14x\)
\(20x\ -\ 14x\ =\ 45\ \)
\(6x\ =\ 45\ \)
\(x=\frac{45}{6}\)
\(x\ =\ 7,5\)
Taigi nežinomos pusės matuoja:
\(2\cdot7,5\ =\ 15\ \)
\(4\cdot7,5\ -\ 9\ =\ 21\ \)
Prisimenant, kad matuoklio ilgis buvo naudojamas cm, the perimetras šio trikampio dydis yra lygus:
P = 21 + 15 + 5 + 7 = 48 cm
Raulis Rodriguesas de Oliveira
Matematikos mokytojas
Šaltinis: Brazilijos mokykla - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/teorema-da-bissetriz-interna.htm
