Eksponentinė funkcija: 5 komentuoti pratimai

eksponentinė funkcija yra kiekviena ℝ funkcija ℝ^*_+, apibrėžta f (x) = a^x, kur a yra tikrasis skaičius, didesnis už nulį ir nėra lygus 1.

Pasinaudokite komentuojamomis pratybomis, kad pašalintumėte visas abejones dėl šio turinio ir būtinai patikrinkite savo žinias išspręstuose konkursų klausimuose.

Komentuojami pratimai

1 pratimas

Grupė biologų tiria tam tikros bakterijų kolonijos ir nustatyta, kad esant idealioms sąlygoms, bakterijų skaičių galima rasti naudojant išraišką N (t) = 2000. 2^{0,5 t}, būdamas t valandomis.

Atsižvelgiant į šias sąlygas, kiek laiko po stebėjimo pradžios bakterijų skaičius bus lygus 8192000?

Sprendimas

Siūlomoje situacijoje žinome bakterijų skaičių, tai yra, žinome, kad N (t) = 8192000, ir norime rasti t reikšmę. Taigi, tiesiog pakeiskite šią vertę pateiktoje išraiškoje:

Norėdami išspręsti šią lygtį, parašykime skaičių 4096 pirminiais veiksniais, nes jei turime tą pačią bazę, galime lyginti rodiklius. Todėl, atsižvelgdami į skaičių, turime:

Taigi kultūra turės 8 192 000 bakterijų po 1 dienos (24 valandų) nuo stebėjimo pradžios.

2 pratimas

Radioaktyviosios medžiagos laikui bėgant turi natūralų polinkį suirti jų radioaktyvią masę. Laikas, per kurį suyra pusė radioaktyviosios masės, vadinamas jo pusperiodžiu.

Tam tikro elemento radioaktyviosios medžiagos kiekį nurodo:

Esamas,

N (t): radioaktyviųjų medžiagų kiekis (gramais) per tam tikrą laiką.
N₀: pradinis medžiagos kiekis (gramais)
T: pusinės eliminacijos laikas (metais)
t: laikas (metais)

Atsižvelgiant į tai, kad šio elemento pusinės eliminacijos laikas yra lygus 28 metams, nustatykite laiką, kurio reikia, kad radioaktyvioji medžiaga sumažėtų iki 25% pradinio jos kiekio.

Sprendimas

Siūlomai situacijai A (t) = 0,25 A₀ = 1/4 A₀, todėl galime parašyti pateiktą išraišką, pakeisdami T 28 metais, tada:

Todėl praeis 56 metai, kol radioaktyviųjų medžiagų kiekis sumažės 25 proc..

Konkurso klausimai

1) „Unesp“ - 2018 m

Ibuprofenas yra išrašytas vaistas nuo skausmo ir karščiavimo, jo pusinės eliminacijos laikas yra maždaug 2 valandos. Tai reiškia, kad, pavyzdžiui, po 2 valandų nurijus 200 mg ibuprofeno, paciento kraujyje liks tik 100 mg vaisto. Praėjus dar 2 valandoms (iš viso 4 valandoms), kraujyje liks tik 50 mg ir pan. Jei pacientas gauna 800 mg ibuprofeno kas 6 valandas, šio vaisto kiekis, likęs kraujyje 14 valandą po pirmosios dozės vartojimo, bus

a) 12,50 mg
b) 456,25 mg
c) 114,28 mg
d) 6,25 mg
e) 537,50 mg

Žr. Atsakymas

Kadangi pradinis vaistų kiekis kraujyje kas 2 valandas padalijamas per pusę, mes galime parodyti šią situaciją naudodami šią schemą:

Atkreipkite dėmesį, kad rodiklis kiekvienoje situacijoje yra lygus laiko dalijimui iš 2. Taigi mes galime apibrėžti vaistų kiekį kraujyje kaip laiko funkciją, naudodami šią išraišką:

Esamas

Q (t): kiekis per tam tikrą valandą
Klausimas₀: pradinis suvartotas kiekis
t: laikas valandomis

Atsižvelgiant į tai, kad kas 6 valandas buvo imtasi 800 mg ibuprofeno, turime:

Norėdami sužinoti vaistų kiekį kraujyje praėjus 14 valandų po 1-os dozės suvartojimo, turime pridėti sumas, susijusias su 1-ąja, 2-ąja ir 3-ąja dozėmis. Skaičiuodami šiuos dydžius, turime:

Pirmosios dozės kiekis bus nustatytas atsižvelgiant į laiką, lygų 14 valandų, taigi mes turime:

Antrosios dozės, kaip parodyta aukščiau pateiktoje diagramoje, laikas buvo 8 valandos. Pakeisdami šią vertę, turime:

Trečios dozės laikas bus tik 2 valandos. Tada suma, susijusi su trečiąja doze, bus:

Dabar, kai žinome kiekvienos suvartotos dozės kiekį, bendrą sumą galime rasti pridėdami kiekvieną rastą kiekį:

Klausimas_viso= 6,25 + 50 + 400 = 456,25 mg

B alternatyva) 456,25 mg

2) UERJ - 2013 m

Miestui tiekti naudojamas ežeras buvo užterštas po pramoninės avarijos ir pasiekė toksiškumo lygį T₀, atitinkantį dešimt kartų didesnį už pradinį lygį.
Perskaitykite toliau pateiktą informaciją.

• Natūralus ežero srautas leidžia kas dešimt dienų atnaujinti 50% jo tūrio.
• Toksiškumo lygį T (x) po x avarijos dienų galima apskaičiuoti naudojant šią lygtį:

Apsvarstykite D mažiausią vandens tiekimo sustabdymo dienų skaičių, reikalingą toksiškumui grįžti į pradinį lygį.
Jei log 2 = 0,3, D vertė lygi:

a) 30
b) 32
c) 34
d) 36

Žr. Atsakymas

Norint grįžti į pradinį toksiškumo lygį, būtina, kad:

Pakeisdami šią vertę į pateiktą funkciją, turime:

Padauginus iš „kryžiaus“, lygybė tampa:

2 ^0,1x= 10

Taikykime bazinį 10 logaritmą abiejose pusėse, kad paverstume jį 1 laipsnio lygtimi:

žurnalas (2^0,1x) = log 10

Prisimindami, kad 10 bazės 10 logaritmas yra lygus 1, mūsų lygtis atrodys taip:

0,1x. log 2 = 1

Atsižvelgiant į tai, kad log 2 = 0,3 ir pakeičiant šią vertę lygtyje:

Taigi mažiausias dienų skaičius, maždaug, turėtų būti sustabdytas, yra 34 dienos.

C) alternatyva 34

3) „Fuvesp“ - 2018 m

Tegul f: ℝ → ℝ ir g: ℝ₊ → ℝ apibrėžta

atitinkamai.

Sudėtinės funkcijos g grafikas_ºtikėjimas:

Žr. Atsakymas

Grafikas, kurio ieškote, yra sudėtinė funkcija g_ºf, todėl pirmiausia reikia nustatyti šią funkciją. Tam mes turime pakeisti funkciją f (x) funkcijos g (x) x. Atlikdami šį pakeitimą, rasime:

Naudodami koeficiento ir galios logaritmo savybę, turime:

Atkreipkite dėmesį, kad aukščiau nustatyta funkcija yra ax + b tipo, kuri yra afininė funkcija. Taigi jūsų diagrama bus tiesi.

Be to, nuolydis a yra lygus rąstui₁₀ 5, tai yra teigiamas skaičius, todėl grafikas didės. Tokiu būdu galime panaikinti b, c ir e variantus.

Mums lieka parinktys a ir d, tačiau, kai x = 0, turime gof = - log₁₀ 2, kuri yra neigiama reikšmė, kaip parodyta grafike a.

A alternatyva

4) „Unicamp“ - 2014 m

Žemiau pateiktame grafike parodyta mikroorganizmų populiacijos biotinio potencialo kreivė q (t) laikui bėgant t.

Kadangi a ir b yra tikrosios konstantos, funkcija, kuri gali atspindėti šį potencialą, yra

a) q (t) = ties + b
b) q (t) = ab^t
c) q (t) = ties² + bt
d) q (t) = a + žurnalas _B t

Žr. Atsakymas

Pagal pateiktą grafiką galime nustatyti, kad kai t = 0, funkcija lygi 1000. Be to, taip pat galima pastebėti, kad funkcija nėra afininė, nes grafikas nėra tiesi linija.

Jei funkcija būtų q (t) = at tipo²+ bt, kai t = 0, rezultatas būtų lygus nuliui, o ne 1000. Taigi tai nėra ir kvadratinė funkcija.

Kaip prisijungti_B0 nėra apibrėžtas, be to, jis neturėtų atsakyti funkcijos q (t) = a + log_Bt.

Taigi vienintelė galimybė būtų funkcija q (t) = ab^t. Atsižvelgiant į t = 0, funkcija bus q (t) = a, kadangi a yra pastovi reikšmė, pakanka, kad ji būtų lygi 1000, kad funkcija atitiktų pateiktą grafiką.

B) q (t) = ab variantas^t

5) Priešas (PPL) - 2015 m

Bendrovės darbuotojų sąjunga siūlo, kad klasės atlyginimas būtų 1 800,00 USD, siūlant fiksuotą procentinį padidėjimą kiekvieniems darbui skirtiems metams. Išraiška, atitinkanti pasiūlymą (-us) dėl atlyginimo, atsižvelgiant į darbo stažo (t) funkciją metais, yra s (t) = 1800. (1,03)^t .

Pagal profesinės sąjungos pasiūlymą šios įmonės profesionalo, turinčio 2 metus darbo stažo, atlyginimas iš tikrųjų bus

a) 7 416,00
b) 3 819,24
c) 3 709,62
d) 3 708,00
e) 1 909,62.

Žr. Atsakymas

Sąjungos siūloma darbo užmokesčio kaip laiko funkcijos apskaičiavimo išraiška atitinka eksponentinę funkciją.

Norėdami rasti atlyginimo vertę nurodytoje situacijoje, apskaičiuokime s vertę, kai t = 2, kaip nurodyta toliau:

s (2) = 1800. (1,03)² = 1800. 1,0609 = 1 909,62

E alternatyva) 1 909,62

Skaityk ir tu:

• Eksponentinė funkcija
• Logaritmas
• Logaritmas - pratimai
• Logaritmo ypatybės
• Potenciacija
• potencijos pratimai
• Affine funkcija
• Linijinė funkcija
• Susijusios funkcijos pratimai
• Kvadratinė funkcija
• Kvadratinė funkcija - pratimai
• Matematikos formulės