Komentuojami trigonometrijos pratimai stačiajame trikampyje

Trigonometrija yra svarbi matematikos tema, leidžianti be kitų trigonometrinių funkcijų pažinti kraštus ir kampus stačiuoju trikampiu per sinusą, kosinusą ir liestinę.

Norėdami pagerinti savo studijas ir išplėsti savo žinias, vadovaukitės 8 pratimų ir 4 stojamojo egzamino klausimų sąrašu.

1 pratimas

Ryte stebėdamas pastato ant žemės šešėlį, vienas asmuo nustatė, kad jis matuoja 63 metrus, kai saulės spinduliai daro 30 ° kampą su paviršiumi. Remdamiesi šia informacija, apskaičiuokite pastato aukštį.

Žr. Atsakymas

Teisingas atsakymas: maždaug 36,37 m.

Pastatas, šešėlis ir saulės spindulys nustato stačią trikampį. Naudodami 30 ° kampą ir liestinę galime nustatyti pastato aukštį.

tan g e n t e tarpas, lygus skaitiklio erdvei c a t e t o space o po s t o virš vardiklio c a t e t erdvė a d j a c e n t e trupmenos pabaiga

Kadangi pastato aukštis yra h, turime:

įdegio erdvė 30 laipsnių ženklo erdvė, lygi erdvei h virš 63 erdvės erdvė h erdvė lygi erdvei 63 erdvės daugybos ženklas erdvė įdegis tarpas 30 laipsnių ženklas tarpas tarpas h tarpas lygus erdvei 63 tarpas daugybos ženklas tarpas skaitiklis kvadratinė šaknis iš maždaug 3 vardiklis 3 trupmenos galas h tarpas lygus tarpui 21 kvadratinė 3 erdvės šaknis m h tarpas maždaug vienodas tarpas 36 kablelis 37 tarpas m

2 pratimas

3 skersmens apskritime segmentas AC, vadinamas akordu, sudaro 90 ° kampą su kitu to paties ilgio akordu CB. Koks yra stygų matas?

Žr. Atsakymas

Teisingas atsakymas: Virvės ilgis yra 2,12 cm.

Kadangi segmentai AC ir CB sudaro 90 ° kampą ir yra vienodo ilgio, suformuotas trikampis yra lygiašonis, o pagrindo kampai yra vienodi.

instagram story viewer

Kadangi trikampio vidinių kampų suma lygi 180 °, o mes jau turime 90 ° kampą, liko dar 90 °, kuriuos reikia padalyti po lygiai tarp dviejų pagrindinių kampų. Taigi jų vertė lygi 45º.

Kadangi skersmuo lygus 3 cm, spindulys yra 1,5 cm, o stygos ilgiui nustatyti galime naudoti kosinumą 45 °.

cos erdvė 45 laipsnių ženklo erdvė, lygi erdvės skaitikliui 1 kablelis 5 virš vardiklio c o r d trupmenos pabaiga c o r d erdvė lygi erdvei skaitiklis 1 kablelis 5 virš vardiklio cos tarpas 45 laipsnių ženklo trupmenos c pabaiga arba d tarpas lygus erdvės skaitiklis 1 kablelis 5 virš vardiklio pradžios stilius rodyti skaitiklį 2 kvadratinė šaknis virš vardiklio 2 trupmenos pabaiga stiliaus pabaiga trupmenos pabaiga c o r d a tarpas lygus tarpui 1 kablelis 5 tarpo daugybos ženklo tarpo skaitiklis 2 virš vardiklio kvadratinės šaknies iš 2 trupmenos c arba d trupmenos galo, maždaug vienodo atstumo 2 kablelis 12 vietos cm

3 pratimas

Čempionate dalyvaujantis dviratininkas prie finišo tiesi šlaito viršuje. Bendras šios paskutinės bandymo dalies ilgis yra 60 m, o kampas, susidarantis tarp rampos ir horizontalės, yra 30 °. Tai žinodami apskaičiuokite vertikalų aukštį, į kurį dviratininkui reikia lipti.

Žr. Atsakymas

Teisingas atsakymas: aukštis bus 30 m.

Skambindami h aukščiu, turime:

s ir n tarpas 30-asis tarpas, lygus erdvės skaitikliui h tarpas virš vardiklio 60 trupmenos pabaiga tarpas h tarpas lygus erdvei 60 tarpas ženklas dauginimo tarpas s ir n 30 laipsnių ženklo tarpas h tarpas lygus erdvei 60 tarpas daugybos ženklo erdvė 1 pusė h tarpas lygus erdvei 30 m vietos

4 pratimas

Šią figūrą sudaro trys trikampiai, kur aukštis h nustato du stačius kampus. Elemento vertės yra:

α = 30°
β = 60°
h = 21

Nustatykite a + b reikšmę.

Žr. Atsakymas

Teisingas atsakymas:

Naudodami duotų kampų liestines, galime nustatyti segmentų a ir b matavimus.

Skaičiavimas:

įdegio kosmoso alfa erdvė, lygi erdvei a per h kosmoso erdvė erdvė lygi erdvei h erdvės daugybos ženklas space tan alfa space space space a tarpas lygus tarpui 21 tarpo daugybos ženklas tarpo skaitiklis kvadratinė šaknis iš 3 virš vardiklio 3 trupmenos galo tarpas lygus 7 kvadratinei šaknei iš 3

B apskaičiavimas:

Taigi,

tarpas plius tarpas b tarpas lygus tarpui 28 kvadratinė šaknis iš 3

5 pratimas

Lėktuvas pakilo iš A miesto ir 50 km skrido tiesia linija, kol nusileido B mieste. Vėliau jis nuskriejo dar 40 km, šįkart link D miesto. Šios dvi trasos yra 90 ° kampu viena kitos atžvilgiu. Tačiau dėl nepalankių oro sąlygų pilotas iš valdymo bokšto gavo pranešimą, kuriame pranešė, kad jis negali nusileisti D mieste ir kad jis turėtų grįžti į A miestą.

Norėdamas apsisukti iš taško C, pilotas turėtų pasisukti, kiek laipsnių į dešinę?

Apsvarstykite:

nuodėmė 51 ° = 0,77
cos 51 ° = 0,63
įdegis 51 ° = 1,25

Žr. Atsakymas

Teisingas atsakymas: Pilotas turi pasukti 129 ° į dešinę.

Analizuodami figūrą matome, kad kelias suformuoja stačią trikampį.

Paskambinkime kampu, kurio ieškome W. Kampai W ir Z yra papildomi, ty jie sudaro seklų 180 ° kampą.

Taigi, W + Z = 180 °.

W = 180 - Z (1 lygtis)

Dabar mūsų užduotis yra nustatyti Z kampą ir tam naudosime jo liestinę.

įdegio tarpas Z tarpas, lygus erdvei 50, virš 40 įdegio erdvei, erdvė Z, lygus tarpui 1, kablelis 25

Turime savęs paklausti: koks yra kampas, kurio liestinė yra 1,25?

Problema suteikia mums šiuos duomenis, įdegis 51 ° = 1,25.

Šią vertę taip pat galima rasti trigonometrinėje lentelėje arba naudojant mokslinį skaičiuotuvą, naudojant funkciją:

įdegis iki minus 1 eksponentinio galo galios

Pakeisdami Z reikšmę 1 lygtyje, turime:

Plotis = 180 ° - 51 ° = 129 °

6 pratimas

Monochromatinės šviesos spindulys, eidamas iš vienos terpės į kitą, patiria nukrypimą jo link. Šis jo sklidimo pokytis yra susijęs su terpės lūžio rodikliais, kaip parodyta šiame santykyje:

Snello įstatymas - Dekartas

s ir n tarpas r tarpas x tarpas n su 2 indekso tarpais lygus erdvei s ir n tarpas i tarpas x tarpas n su 1 indeksu

Kur i ir r yra kritimo ir lūžio kampai, o n1 ir n2 - 1 ir 2 vidurkio lūžio rodikliai.

Pataikius į oro ir stiklo atskyrimo paviršių, šviesos spindulys keičia savo kryptį, kaip parodyta paveikslėlyje. Koks yra stiklo lūžio rodiklis?

Duomenys: oro lūžio rodiklis lygus 1.

Žr. Atsakymas

Teisingas atsakymas: Stiklo lūžio rodiklis yra lygus kvadratinė šaknis iš 3 .

Turimų verčių pakeitimas:

s ir n tarpas 30 laipsnių ženklo erdvės padauginimo ženklo erdvė n su vi i d r požyminio indekso galo pabaiga lygi erdvės erdvei n padauginimo tarpas s ir n tarpas 60 laipsnių ženklo tarpas n su vi i d r abonento indekso galo pabaiga lygi skaitiklio erdvei n dauginimo tarpas e tarpas 60 laipsnių ženklas virš vardiklio s e tarpas 30 laipsnių ženklas trupmenos n pabaiga su v i d r abonento tarpo indekso pabaiga lygi erdvės skaitikliui 1 tarpas daugybos ženklas pradžios stilius rodyti skaitiklį kvadratinė šaknis iš 3 virš vardiklio 2 pabaigos trupmenos pabaigos stilius virš vardiklio pradžios stiliaus rodyti 1 vidurio pabaigos stiliaus pabaiga trupmena n su v i d r indekso tarpo pabaiga, lygi skaitiklio tarpui, kvadratinė šaknis iš 3 per vardiklį 2 trupmenos tarpo pabaiga daugybos ženklo erdvė 2 per 1 tarpą, lygi kvadratinės šaknies erdvė iš 3

7 pratimas

Norėdami įvilkti rąstą į savo dirbtuvę, šaltkalvis pririšo virvę prie rąsto ir patraukė dešimčia pėdų horizontaliu paviršiumi. 40 N jėga per stygą padarė 45 ° kampą su važiavimo kryptimi. Apskaičiuokite pritaikytos jėgos darbą.

Žr. Atsakymas

Teisingas atsakymas: atliktas darbas yra maždaug 84,85 J.

Darbas yra skaliarinis dydis, gautas iš jėgos ir poslinkio sandaugos. Jei jėga neturi tos pačios krypties kaip poslinkis, turime šią jėgą suskaidyti ir atsižvelgti tik į šios krypties komponentą.

Tokiu atveju jėgos dydį turime padauginti iš kampo kosinuso.

Taigi mes turime:

T erdvė lygi F erdvei. tarpas d tarpas. erdvė cos erdvė 45 laipsnių ženklas T erdvė lygi erdvei 40 erdvė. tarpas 3 tarpas. skaitiklio tarpo kvadratinė šaknis iš 2 virš vardiklio 2 trupmenos T dalies pabaiga, lygi 60 vietos erdvei. 2 T kvadratinės šaknies erdvė maždaug lygi tarpui 84 kablelis 85 J tarpas

8 pratimas

Tarp dviejų kalnų dviejų kaimų gyventojams teko sunkiai keliauti aukštyn ir žemyn. Norėdami išspręsti situaciją, buvo nuspręsta, kad tarp A ir B kaimų bus pastatytas vanaginis tiltas.

Reikėtų apskaičiuoti atstumą tarp dviejų kaimų tiesia linija, ant kurios bus ištemptas tiltas. Kadangi gyventojai jau žinojo miestų aukštį ir pakilimo kampus, šį atstumą buvo galima apskaičiuoti.

Remdamiesi žemiau esančia diagrama ir žinodami, kad miestų aukštis buvo 100 m, apskaičiuokite tilto ilgį.

Žr. Atsakymas

Teisingas atsakymas: Tilto ilgis turėtų būti maždaug 157,73 m.

Tilto ilgis yra šonų, esančių šalia nurodytų kampų, suma. Skambindami h aukščiu, turime:

Skaičiavimas 45 ° kampu

įdegio erdvė 45 laipsnių ženklo erdvė, lygi erdvės skaitikliui h virš vardiklio c a t e t erdvės a d j a c e n t ir trupmenos c a t e t erdvės a d j pabaigos a c e n t e erdvė lygi erdvės skaitikliui h virš vardiklio įdegio erdvės 45 laipsnių ženklo trupmenos pabaiga c a t e t erdvė a d j a c e n t e lygi erdvė tarpo skaitiklis 100 virš vardiklio pradžios stiliaus rodo 1 stiliaus pabaigą trupmenos pabaiga c a t e t tarpas a d j a c e n t e tarpas lygus 100 tarpo m

Skaičiavimas 60 ° kampu

įdegio erdvė 60 laipsnių ženklo erdvė, lygi erdvės skaitikliui h virš vardiklio c a t e t erdvės a d j a c e n t trupmenos galo c a t e t erdvės a d j a c e n t e erdvė lygi erdvės skaitikliui h virš vardiklio įdegio erdvė 60 laipsnių ženklo trupmenos pabaiga c a t e t erdvė a d j a c e n t e erdvė lygi erdvės skaitikliui 100 vardiklis pradinis stilius rodyti 3 stiliaus pabaigos kvadratinę šaknį trupmenos pabaigos c a t e t tarpas a d j a c e n t e tarpas maždaug vienodas tarpas 57 kablelis 73 m vietos

Norėdami nustatyti tilto ilgį, susumuojame gautas reikšmes.

k o m pr i m e n t tarpas lygus erdvei 100 tarpo plius erdvei 57 kablelis 73 tarpas apytiksliai vienodas tarpas 157 kablelis 73 tarpas m

Klausimas 1

Cefetas - SP

Žemiau esančiame trikampyje ABC CF = 20 cm ir BC = 60 cm. Pažymėkite atitinkamai AF ir BE segmentų matavimus.

a) 5, 15
b) 10, 20
c) 15, 25
d) 20, 10
e) 10, 5

Žr. Atsakymas

Atsakymas: b) 10, 20

Norėdami nustatyti AF

Pažymime, kad AC = AF + CF, todėl turime:

AF = AC - CF (1 lygtis)

CF suteikia problema, lygi 20 cm.

AC galima nustatyti naudojant 30 ° sinusą.

s ir n tarpas 30 laipsnių ženklo erdvė, lygi erdvės skaitikliui A C virš vardiklio B C trupmenos pabaiga tarpas A C tarpas, lygus erdvei B C erdvės daugybos ženklo erdvė s ir n tarpas 30 laipsnių ženklas vietos

BC suteikia problema, lygi 60 cm.

C erdvė lygi erdvei 60 erdvės daugybos ženklo erdvė 1 pusė lygi erdvei 30 tarpas c m.

Pakeisdami 1 lygtį, turime:

A F erdvė lygi erdvei A C erdvė atėmus erdvę C F erdvė erdvė A F erdvė lygi erdvei 30 erdvė atėmus erdvę 20 erdvė lygi erdvei 10 tarpas c m

Nustatyti BE

Pirmas pastebėjimas:

Mes patikriname, ar trikampio viduje esanti figūra yra stačiakampis dėl stačių kampų, nustatytų paveikslėlyje.

Todėl jų pusės yra lygiagrečios.

Antras pastebėjimas:

BE segmentas suformuoja stačiakampį trikampį, kurio kampas yra 30 °, kur: aukštis lygus AF, kurį ką tik nustatėme, o BE yra hipotenuzė.

Skaičiavimas:

BE nustatymui naudojame 30 ° sinusą

s ir n tarpas 30 laipsnių ženklo tarpas, lygus 10 skaitiklio tarpo virš vardiklio B E trupmenos tarpo pabaiga B tarpas E tarpas lygus 10 skaitiklio tarpui virš vardiklio s ir n tarpo 30 laipsnio ženklas trupmenos tarpo pabaiga B E tarpas, lygus tarpo skaitikliui 10 virš vardiklio pradžios stiliaus rodyti 1 vidurio stiliaus pabaigos pabaiga B E tarpas lygus erdvei 20 tarpas c m

2 klausimas

EPCAR-MG

Lėktuvas pakyla iš taško B pastoviu 15 ° nuolydžiu į horizontalę. 2 km nuo B yra 600 m aukščio kalnų grandinės aukščiausio taško D vertikali projekcija C, kaip parodyta paveikslėlyje.

Duomenys: cos 15 ° = 0,97; nuodėmė 15 ° = 0,26; tg 15 ° = 0,27

Teisinga sakyti, kad:

a) Lėktuvas nesusidurs su pjūklu, kol nepasieks 540 m aukščio.
b) 540 m aukštyje susidurs lėktuvas ir pjūklas.
c) Lėktuvas susidurs su D pjūklu.
d) Jei plokštuma pakyla 220 m prieš B, išlaikant tą patį nuolydį, plokštumos nesusidurs su pjūklu.

Žr. Atsakymas

Atsakymas: b) 540 m aukštyje susidurs lėktuvas ir pjūklas.

Pirma, būtina naudoti tą patį ilgio matavimo vieneto kartotinį. Todėl eisime 2 km iki 2000 m.

Laikydamiesi tų pačių pradinių skrydžio sąlygų, galime numatyti aukštį, kuriame plokštuma bus vertikalioje taško C projekcijoje.

Naudodami 15 ° liestinę ir apibrėždami aukštį h, turime:

įdegio erdvė 15 laipsnių ženklo erdvė, lygi erdvės skaitikliui h tarpas virš vardiklio 2000 trupmenos pabaiga tarpas h tarpas lygus erdvei 2000 erdvės daugybos ženklas space tan space 15-oji erdvė h tarpas, lygus erdvei, 2000 erdvės daugybos ženklas space 0 kablelis 27 space space tarpas h space lygus erdvei 540 space m

3 klausimas

KRAŠTAS 2018 m

Papuošti tiesų apskritą cilindrą bus naudojama stačiakampio formos skaidraus popieriaus juosta, ant kurios paryškinta briauna nupiešta įstrižainė, kuri su apatiniu kraštu sudaro 30 °. Cilindro pagrindo spindulys yra 6 / π cm, o vyniojant juostą gaunama spiralės formos linija, kaip parodyta paveikslėlyje.

Cilindro aukščio matavimo vertė centimetrais yra:

a) 36√3
b) 24√3
c) 4√3
d) 36
e) 72

Žr. Atsakymas

Atsakymas: b) 24√3

Stebėdami paveikslą pastebime, kad aplink cilindrą buvo atlikti 6 posūkiai. Kadangi tai yra tiesus cilindras, bet kurioje jo aukščio vietoje mes turėsime apskritimą.

Norėdami apskaičiuoti trikampio pagrindo matą.

Apskritimo ilgį galima gauti pagal formulę:

Kur r yra spindulys e, lygus 6 tipografija tiesiame pi ,mes turime:

2 vietos. tiesi erdvė pi erdvė. 6 tarpas tiesiai pi

Kaip sekasi 6 ratai:

6 vietos. tarpas 2 tarpas. tiesi erdvė pi erdvė. 6 tarpas tiesioje pi erdvėje yra lygus 72 tarpui

Norėdami apskaičiuoti aukštį, galime naudoti 30 ° įdegį.

įdegio erdvė 30 laipsnių ženklo erdvė, lygi erdvės skaitikliui a l t u r a erdvė virš vardiklio b a s ir trupmenos erdvės erdvės a l t u r a pabaiga erdvė lygi erdvei b a s ir erdvės daugybos ženklas space tan space 30 laipsnių ženklo tarpas a l t u r a erdvė lygi erdvei 72 space daugybos ženklas tarpo skaitiklis kvadratinė šaknis iš 3 virš vardiklio 3 trupmenos galas a l t u r a erdvė lygi tarpui 24 kvadratinė šaknis iš 3

4 klausimas

KARŠTAS 2017 m

Saulės spinduliai siekia ežero paviršių X paviršiumi su jo paviršiumi, kaip parodyta paveikslėlyje.

Esant tam tikroms sąlygoms, galima daryti prielaidą, kad šių spindulių šviesos intensyvumas ežero paviršiuje yra apskaičiuojamas apytiksliai pagal I (x) = k. sin (x), k yra konstanta ir darant prielaidą, kad X yra tarp 0 ° ir 90 °.

Kai x = 30º, šviesos stipris sumažinamas iki didžiausios jo vertės procentinės dalies?

A) 33%
B) 50%
C) 57%
D) 70 proc.
E) 86%

Žr. Atsakymas

Atsakymas: B) 50%

Pakeisdami 30 ° sinuso reikšmę funkcijoje, gauname: