Pitagoro teorema rodo, kad stačiajame trikampyje kvadrato formos hipotenuzos matas yra lygus kojos matų kvadratų sumai.
Pasinaudokite išspręstais ir komentuotais pratimais, kad atsakytumėte į visas abejones dėl šio svarbaus turinio.
Siūlomi pratimai (su rezoliucija)
Klausimas 1
Carlosas ir Ana iš namų išvyko dirbti iš to paties taško - pastato, kuriame gyvena, garažo. Po 1 minutės, eidami statmenu keliu, jie buvo 13 m atstumu.
Jei per tą laiką Carloso automobilis nuvažiavo 7 m daugiau nei Ana, ar jie buvo toli nuo garažo?
a) Carlosas buvo 10 m nuo garažo, o Ana - 5 m.
b) Carlosas buvo 14 m nuo garažo, o Ana - 7 m.
c) Carlosas buvo 12 m nuo garažo, o Ana - 5 m.
d) Carlosas buvo 13 m nuo garažo, o Ana - 6 m.
Teisingas atsakymas: c) Carlosas buvo 12 m nuo garažo, o Ana - 5 m.
Šiuo klausimu suformuoto stačiojo trikampio kraštinės yra šios:
- hipotenuzė: 13 m
- didesnė koja: 7 + x
- trumpesnė koja: x
Taikydami Pitagoro teoremos vertes, turime:
Dabar taikome Bhaskaros formulę, kad rastume x reikšmę.
Kadangi tai yra ilgio matas, turime naudoti teigiamą vertę. Todėl šiame klausime suformuoto stačiojo trikampio kraštinės yra šios:
- hipotenuzė: 13 m
- ilgesnė koja: 7 + 5 = 12 m
- trumpesnė koja: x = 5 m
Taigi Ana buvo už 5 metrų nuo garažo, o Carlosas - už 12 metrų.
2 klausimas
Carla, ieškodama savo kačiuko, pamatė jį ant medžio viršaus. Tada ji paprašė motinos pagalbos, ir jie pastatė kopėčias prie medžio, kad padėtų katei nusileisti.
Žinant, kad katė buvo 8 metrai nuo žemės, o kopėčių pagrindas buvo išdėstytas 6 metrus nuo medžio, kiek laiko kopėčios buvo naudojamos gelbėti kačiuką?
a) 8 metrai.
b) 10 metrų.
c) 12 metrų.
d) 14 metrų.
Teisingas atsakymas: b) 10 metrų.
Atkreipkite dėmesį, kad katės aukštis ir atstumas, per kurį kopėčių pagrindas buvo pastatytas, sudaro stačią kampą, ty 90 laipsnių kampą. Kadangi kopėčios išdėstytos priešais stačiu kampu, tada jų ilgis atitinka stačiojo trikampio hipotenuzą.
Taikydami Pitagoro teoremoje pateiktas vertes, mes atrandame hipotenuzos vertę.
Todėl kopėčios yra 10 metrų ilgio.
3 klausimas
Pagal žemiau pateiktose alternatyvose pateiktas priemones pateikiamos stačiojo trikampio vertės?
a) 14 cm, 18 cm ir 24 cm
b) 21 cm, 28 cm ir 32 cm
c) 13 cm, 14 cm ir 17 cm
d) 12 cm, 16 cm ir 20 cm
Teisingas atsakymas: d) 12 cm, 16 cm ir 20 cm.
Norėdami sužinoti, ar pateiktos priemonės sudaro stačiakampį trikampį, kiekvienai alternatyvai turime pritaikyti Pitagoro teoremą.
a) 14 cm, 18 cm ir 24 cm
b) 21 cm, 28 cm ir 32 cm
c) 13 cm, 14 cm ir 17 cm
d) 12 cm, 16 cm ir 20 cm
Todėl matmenys 12 cm, 16 cm ir 20 cm atitinka stačiojo trikampio kraštus, nes ilgiausios kraštinės hipotenuzės kvadratas yra lygus kojų kvadrato sumai.
4 klausimas
Atkreipkite dėmesį į šias geometrines figūras, kurių viena pusė yra stačiojo trikampio, kurio matmenys yra 3 m, 4 m ir 5 m, hipotenuzėje.
Raskite lygiakraščio trikampio BCD aukštį (h) ir kvadrato BCFG įstrižainę (d).
a) h = 4,33 m ir d = 7,07 m
b) h = 4,72 m ir d = 8,20 m
c) h = 4,45 m ir d = 7,61 m
d) h = 4,99 m ir d = 8,53 m
Teisingas atsakymas: a) h = 4,33 m ir d = 7,07 m.
Kadangi trikampis yra lygiakraštis, tai reiškia, kad jo trys kraštinės turi tą patį matą. Nubrėždami liniją, atitinkančią trikampio aukštį, mes ją padalijome į du stačiuosius trikampius.
Tas pats pasakytina ir apie aikštę. Nubrėžę jo įstrižinę liniją, galime pamatyti du stačiuosius trikampius.
Taikydami Pitagoro teoremoje esančio teiginio duomenis, vertes randame taip:
1. Trikampio (stačiojo trikampio kojos) aukščio apskaičiavimas:
Tada pasiekiame aukščio apskaičiavimo formulę. Dabar tiesiog pakeiskite L vertę ir apskaičiuokite ją.
2. Kvadrato įstrižainės apskaičiavimas (stačiojo trikampio hipotenuzė):
Todėl lygiakraščio trikampio BCD aukštis yra 4,33, o kvadrato BCFG įstrižainė - 7,07.
Taip pat žiūrėkite: Pitagoro teorema
Stojimo egzamino problemos išspręstos
5 klausimas
(Cefet / MG - 2016) Aitvaras, kurio paveikslas parodytas žemiau, buvo pastatytas ABCD keturkampiu formatu, ir
. lazda
aitvaras kerta meškerę
jo vidurio taške E, suformuodamas stačią kampą. Statant šį aitvarą, priemonės
naudojami atitinkamai 25 cm ir 20 cm, o matmenys -
lygu
dydžio priemonės
.
Esant šioms sąlygoms, , cm, yra lygus
a) 25.
b) 40.
c) 55.
d) 70.
Teisinga alternatyva: c) 55.
Stebėdami klausimo figūrą matome, kad DE segmentas, kurį norime rasti, yra tas pats kaip BD segmentas, atimant BE segmentą.
Taigi, kadangi žinome, kad BE segmentas yra lygus 20 cm, turime rasti BD segmento vertę.
Atminkite, kad problema pateikia šią informaciją:
Taigi, norėdami rasti BD matą, turime žinoti segmento AC vertę.
Kadangi taškas E padalija segmentą į dvi lygias dalis (vidurio tašką), tada . Todėl pirmiausia reikia rasti CE segmento matą.
Norėdami rasti CE matavimą, mes nustatėme, kad trikampis BCE yra stačiakampis, kad BC yra hipotenuzė, o BE ir CE yra kojos, kaip parodyta žemiau esančiame paveikslėlyje:
Tada pritaikysime Pitagoro teoremą, kad rastume kojos matą.
252 = 202+ x2
625 = 400 + x2
x2 = 625 - 400
x2 = 225
x = √225
x = 15 cm
Norėdami rasti apykaklę, mes taip pat galėjome pastebėti, kad trikampis yra Pitagoro, tai yra, jo šonų matmenys yra keli trikampio 3, 4, 5 matavimų skaičiai.
Taigi, padauginę 4 iš 5, turime apykaklės vertę (20), o padauginę 5 iš 5, turime hipotenuzą (25). Todėl kita koja galėjo būti tik 15 (5. 3).
Radę EB vertę, galime rasti kitas priemones:
AC = 2. CE ⇒ AC = 2,15 = 30 cm
Todėl priemonė yra lygus 55 cm.
Taip pat žiūrėkite: Pitagoras
6 klausimas
(TFAS - 2017) Apsvarstykite lygiakraštį trikampį, kurio kraštinė yra 5√3 ܿ݉. Koks yra atitinkamai šio trikampio aukštis ir plotas?
Teisinga alternatyva: e) 7,5 cm ir 75√3 / 4 cm2
Pirmiausia nubrėžkime lygiakraštį trikampį ir nubrėžkime aukštį, kaip parodyta žemiau esančiame paveikslėlyje:
Atkreipkite dėmesį, kad aukštis padalija pagrindą į du tos pačios matmens segmentus, nes trikampis yra lygiakraštis. Taip pat atkreipkite dėmesį, kad trikampis ACD paveiksle yra stačiasis trikampis.
Taigi, norėdami rasti aukščio matą, naudosime Pitagoro teoremą:
Žinodami aukščio matavimą, plotą galime rasti pagal formulę:
7 klausimas
(TFAS - 2016) Žemiau esančiame paveikslėlyje x ir y reikšmė yra atitinkamai
Teisinga alternatyva: a) 4√2 ir √97.
Norėdami rasti x vertę, pritaikykime Pitagoro teoremą stačiajam trikampiui, kurio kraštinės lygios 4 cm.
x2 = 42 + 42
x2 = 16 + 16
x = √32
x = 4√2 cm
Norėdami rasti y vertę, mes taip pat naudosime Pitagoro teoremą, atsižvelgdami į tai, kad vienos kojos ilgis yra 4 cm, o kitos - 9 cm (4 + 5 = 9).
y2 = 42 + 92
y2 = 16 + 81
y = √97 cm
Todėl x ir y reikšmė atitinkamai yra 4√2 ir √97.
8 klausimas
(Mokinys jūreivis - 2017 m.) Pažvelkite į paveikslėlį žemiau.
Aukščiau pateiktame paveikslėlyje yra lygiašonis trikampis ACD, kuriame segmento AB matmenys yra 3 cm, nelygios AD pusės kraštinės ilgis yra 10√2 cm, o atkarpos AC ir CD yra statmenos. Todėl teisinga teigti, kad BD segmentas matuoja:
a) √53 cm
b) √97 cm
c) √111 cm
d) √149 cm
e) √161 cm
Teisinga alternatyva: d) √149 cm
Atsižvelgdami į problemoje pateiktą informaciją, mes sudarome toliau pateiktą paveikslą:
Pagal paveikslą randame, kad norint rasti x vertę, reikės rasti kraštinės, kurią vadiname a, dydį.
Kadangi trikampis ACD yra stačiakampis, mes pritaikysime Pitagoro teoremą, kad surastume kojos a vertę.
Dabar, kai žinome a reikšmę, galime rasti x vertę, atsižvelgdami į stačiąjį trikampį BCD.
Atkreipkite dėmesį, kad koja BC yra lygi kojos matui atėmus 3 cm, tai yra 10 - 3 = 7 cm. Taikydami Pitagoro teoremą šiam trikampiui, turime:
Todėl teisinga teigti, kad BD segmento matmenys yra √149 cm.
9 klausimas
(IFRJ - 2013) Federalinio instituto Arrozal miestelyje esantis sporto kiemas yra stačiakampis, 100 m ilgio ir 50 m pločio, šiame paveiksle pavaizduotas ABCD stačiakampiu.
Alberto ir Bruno yra du studentai, kurie sportuoja kieme. Alberto eina iš taško A į tašką C išilgai stačiakampio įstrižainės ir tuo pačiu keliu grįžta į pradinį tašką. Bruno pradeda nuo taško B, visiškai apeina kiemą, eidamas išilgai šoninių linijų, ir grįžta į pradinį tašką. Taigi, atsižvelgiant į √5 = 2,24, teigiama, kad Bruno ėjo daugiau nei Alberto
a) 38 m.
b) 64 m.
c) 76 m.
d) 82 m.
Teisinga alternatyva: c) 76 m.
Stačiakampio įstrižainė padalija jį į du stačiuosius trikampius, o hipotenuzė yra įstrižainė, o kraštinės yra lygios stačiakampio kraštinėms.
Taigi, norėdami apskaičiuoti įstrižainės matą, pritaikykime Pitagoro teoremą:
Albertas nuėjo ir grįžo, todėl jis įveikė 224 m.
Bruno įveikė atstumą, lygų stačiakampio perimetrui, kitaip tariant:
p = 100 + 50 + 100 + 50
p = 300 m
Todėl Bruno ėjo 76 m ilgiau nei Alberto (300 - 112 = 76 m).
10 klausimas
(Enem - 2017) Norėdami papuošti vaikų vaišių stalą, virėjas naudos sferinį 10 cm skersmens melioną, kuris bus parama įvairiems saldumynams kepti. Jis pašalins iš meliono sferinį dangtelį, kaip parodyta paveikslėlyje, ir, siekiant užtikrinti šios atramos stabilumą, todėl melionui sunku riedėti ant stalo, viršininkas pjaus taip, kad apskrito pjūvio ruožo spindulys r būtų plaukuotas. minus 3 cm. Kita vertus, virėjas norės, kad regione būtų kuo didesnis plotas, kuriame bus sutvarkyti saldumynai.
Kad pasiektų visus savo tikslus, viršininkas turi nupjauti meliono kepurę h aukštyje, centimetrais, lygus
Teisinga alternatyva: c) 1
Stebėdami klausime pateiktą paveikslą, nustatėme, kad aukštį h galima rasti sumažinus segmento OA matą nuo sferos spindulio (R) mato.
Rutulio spindulys (R) yra lygus pusei jo skersmens, kuris šiuo atveju lygus 5 cm (10: 2 = 5).
Taigi turime rasti OA segmento vertę. Tam mes atsižvelgsime į OAB trikampį, pavaizduotą žemiau esančiame paveikslėlyje, ir pritaikysime Pitagoro teoremą.
52 = 32 + x2
x2 = 25 - 9
x = √16
x = 4 cm
Taip pat galime tiesiogiai rasti x vertę, pažymėdami, kad tai Pitagoro trikampis 3,4 ir 5.
Taigi h reikšmė bus lygi:
h = R - x
h = 5 - 4
h = 1 cm
Todėl virėjas turėtų perpjauti meliono dangtelį 1 cm aukštyje.
11 klausimas
(„Enem“ - 2016 m. - 2-oji paraiška) „Boccia“ yra sportas, žaidžiamas aikštėse, kurios yra lygios ir lygios, ribotos perimetrinėmis medinėmis platformomis. Šios sporto šakos tikslas yra tam, kad išmestų burbulus, kurie yra kamuoliai iš sintetinės medžiagos padėkite juos kuo arčiau bolimo, kuris yra mažesnis rutulys, pageidautina pagamintas iš plieno paleistas. 1 paveiksle pavaizduotas aikštėje žaidžiamas bocce kamuolys ir bolimas. Tarkime, kad žaidėjas išmetė 5 cm spinduliu kamuolį, kuris buvo atsirėmęs į bolimą, 2 cm spinduliu, kaip parodyta 2 paveiksle.
Laikykite tašką C rutulio centru, o tašką O - rutulio centru. Yra žinoma, kad A ir B yra taškai, kuriuose bokso kamuolys ir bulinas paliečia aikštės žemę, o atstumas tarp A ir B yra lygus d. Kokiomis tokiomis sąlygomis yra santykis tarp d ir bolimo spindulio?
Teisinga alternatyva: e) √10
Norėdami apskaičiuoti atstumo d vertę tarp taškų A ir B, pastatykime figūrą, jungiančią dviejų sferų centrus, kaip parodyta žemiau:
Atkreipkite dėmesį, kad mėlyna taškuota figūra yra kaip trapecija. Padalinkime šią trapeciją, kaip parodyta žemiau:
Padalinę trapeciją, gauname stačiakampį ir stačiąjį trikampį. Trikampio hipotenuzė lygi bocce rutulio spindulio ir bolimio spindulio sumai, tai yra 5 + 2 = 7 cm.
Vienos kojos matavimas yra lygus d, o kitos kojos matas yra lygus segmento CA matavimui, kuris yra bocce rutulio spindulys, atėmus bolimo spindulį (5 - 2 = 3) .
Tokiu būdu galime rasti d matą, pritaikydami Pitagoro teoremą šiam trikampiui, tai yra:
72 = 32 - apie2
d2 = 49 - 9
d = √40
d = 2 √10
Todėl santykis tarp atstumo d ir bolimo bus pateiktas taip:.
12 klausimas
(„Enem“ - 2014 m.) Kasdieninė gyvenamoji vieta sunaudoja 20 160 Wh Šioje rezidencijoje yra 100 saulės elementų stačiakampis (įtaisai, galintys saulės šviesą paversti elektros energija), kurio matmenys 6 cm x 8 cm. Kiekviena iš šių ląstelių visą dieną gamina 24 Wh vienam centimetrui įstrižainės. Šio namo savininkas per dieną nori pagaminti lygiai tiek pat energijos, kiek sunaudoja jo namas. Ką šis savininkas turėtų padaryti, kad jis pasiektų savo tikslą?
a) Pašalinkite 16 langelių.
b) Pašalinkite 40 langelių.
c) Pridėkite 5 langelius.
d) Įpilkite 20 langelių.
e) Pridėti 40 langelių.
Teisinga alternatyva: a) Pašalinkite 16 langelių.
Pirmiausia turėsite sužinoti, kokia yra kiekvienos ląstelės energijos išeiga. Tam turime rasti stačiakampio įstrižainės matą.
Įstrižainė yra lygi trikampio, kurio kojos lygios 8 cm ir 6 cm, hipotenuzai. Tada apskaičiuosime įstrižainę, pritaikydami Pitagoro teoremą.
Tačiau mes pastebime, kad nagrinėjamas trikampis yra Pitagoro, kuris yra trikampio 3,4 ir 5 kartotinis.
Tokiu būdu hipotenuzo matavimas bus lygus 10 cm, nes Pitagoro trikampio 3,4 ir 5 kraštai padauginami iš 2.
Dabar, kai žinome įstrižainės matavimą, galime apskaičiuoti 100 ląstelių pagamintą energiją, ty:
E = 24. 10. 100 = 24 000 Wh
Kadangi sunaudojama energija lygi 20 160 Wh, turėsime sumažinti ląstelių skaičių. Norėdami rasti šį numerį, atliksime:
24 000 - 20 160 = 3840 Wh
Padaliję šią vertę iš ląstelės pagamintos energijos, randame skaičių, kurį reikėtų sumažinti, tai yra:
3 840: 240 = 16 ląstelių
Todėl savininko veiksmai, kad jis pasiektų savo tikslą, turėtų būti pašalinti 16 langelių.
Norėdami sužinoti daugiau, taip pat žiūrėkite: Trigonometrijos pratimai
