Plokščios figūros plotas rodo figūros pratęsimo plokštumoje mastą. Kaip plokščias figūras, be kitų, galime paminėti trikampį, stačiakampį, rombą, trapeciją, apskritimą.
Norėdami patikrinti savo žinias apie šį svarbų geometrijos dalyką, naudokite toliau pateiktus klausimus.
Konkurso problemos išspręstos
Klausimas 1
(Cefet / MG - 2016) Aikštės kvadratinis plotas turi būti padalytas į keturias lygias dalis, taip pat kvadratinę, ir viename iš jų turi būti išlaikytas vietinis miško rezervatas (išperėtas plotas), kaip parodyta a paveiksle sekti.
Žinant, kad B yra AE segmento vidurio taškas, o C yra EF segmento vidurinis taškas, išperėtas plotas, m2, duok man
a) 625,0.
b) 925,5.
c) 1562,5.
d) 2500,0.
Teisinga alternatyva: c) 1562.5.
Stebėdami figūrą pastebime, kad išbrėžtas plotas atitinka kvadrato plotą, kurio kraštinė yra 50 m, atėmus trikampių BEC ir CFD plotą.
Trikampio BEC kraštinės BE matas yra lygus 25 m, nes taškas B padalija kraštą į du susiliejančius segmentus (atkarpos vidurio taškas).
Tas pats atsitinka su EC ir CF šonais, ty jų matavimai taip pat lygūs 25 m, nes taškas C yra EF segmento vidurio taškas.
Taigi galime apskaičiuoti trikampių BEC ir CFD plotą. Atsižvelgiant į dvi puses, žinomas kaip pagrindas, kita pusė bus lygi aukščiui, nes trikampiai yra stačiakampiai.
Apskaičiuodami kvadrato ir trikampių BEC ir CFD plotą, turime:
Todėl išperėtas plotas, m2, matuoja 1562,5.
2 klausimas
(Cefet / RJ - 2017) Kvadratas su x kraštine ir lygiakraštis trikampis su y krašteliu turi tos pačios matmens sritis. Taigi galima sakyti, kad x / y santykis yra lygus:
Teisinga alternatyva: .
Problemoje pateikta informacija yra ta, kad sritys yra vienodos, tai yra:
Trikampio plotas randamas padauginus pagrindinį matavimą iš aukščio matavimo ir padalijus rezultatą iš 2. Kadangi trikampis yra lygiakraštis, o kraštinė lygi y, jo aukščio vertę nurodo:
Todėl galima sakyti, kad x / y santykis yra lygus .
3 klausimas
(IFSP - 2016) Apskritimo formos viešosios aikštės spindulys yra 18 metrų. Atsižvelgdami į tai, kas išdėstyta pirmiau, pažymėkite alternatyvą, kuri pateikia jūsų vietovę.
a) 1017,36 m2
b) 1 254,98 m2
c) 1 589,77 m2
d) 1698,44 m2
e) 1710,34 m2
Teisinga alternatyva: a) 1 017, 36 m2.
Norėdami rasti kvadrato plotą, turime naudoti apskritimo ploto formulę:
A = π.R2
Pakeitus spindulio vertę ir atsižvelgiant į π = 3,14, randame:
A = 3,14. 182 = 3,14. 324 = 1 017, 36 m2
Todėl kvadrato plotas yra 1 017, 36 m2.
4 klausimas
(TFAS - 2016) Stačiakampis turi x ir y matmenis, kurie išreiškiami x lygtimis2 = 12 ir (y - 1)2 = 3.
Šio stačiakampio perimetras ir plotas yra atitinkamai
a) 6√3 + 2 ir 2 + 6√3
b) 6√3 ir 1 + 2√3
c) 6√3 + 2 ir 12
d) 6 ir 2√3
e) 6√3 + 2 ir 2√3 + 6
Teisinga alternatyva: e) 6√3 + 2 ir 2√3 + 6.
Pirmiausia išspręskime lygtis, kad rastume x ir y reikšmes:
x2= 12 ⇒ x = √12 = √4.3 = 2√3
(y - 1) 2= 3 ⇒ y = √3 + 1
Stačiakampio perimetras bus lygus visų kraštų sumai:
P = 2,2√3 + 2. (√3 + 1) = 4√3 + 2√3 + 2 = 6√3 + 2
Norėdami rasti plotą, tiesiog padauginkite x.y:
A = 2√3. (√3 + 1) = 2√3 + 6
Todėl stačiakampio perimetras ir plotas yra atitinkamai 6√3 + 2 ir 2√3 + 6.
5 klausimas
(Mokinys jūreivis - 2016 m.) Išanalizuokite šį paveikslą:
Žinodami, kad EP yra vidurio vidurio apskritimo spindulys E, kaip parodyta aukščiau esančiame paveikslėlyje, nustatykite tamsiausios srities vertę ir patikrinkite teisingą parinktį. Duomenys: skaičius π = 3
a) 10 cm2
b) 12 cm2
c) 18 cm2
d) 10 cm2
e) 24 cm2
Teisinga alternatyva: b) 12 cm2.
Tamsiausias plotas randamas pridedant pusapvalio plotą prie trikampio ABD ploto. Pradėkime nuo trikampio ploto apskaičiavimo, tam atkreipkite dėmesį, kad trikampis yra stačiakampis.
Paskambinkime x AD pusei ir apskaičiuokime jos matą pagal Pitagoro teoremą, kaip nurodyta toliau:
52= x2 + 32
x2 = 25 - 9
x = √16
x = 4
Žinodami AD šoninį matą, galime apskaičiuoti trikampio plotą:
Mums dar reikia apskaičiuoti pusapvalio plotą. Atkreipkite dėmesį, kad jo spindulys bus lygus pusei matavimo AD pusėje, taigi r = 2 cm. Pusapvalio plotas bus lygus:
Tamsiausia sritis bus nustatyta atlikus: AT = 6 + 6 = 12 cm2
Todėl tamsiausio ploto vertė yra 12 cm2.
6 klausimas
(Priešas - 2016 m.) Vyras, dviejų vaikų tėvas, nori nusipirkti du žemės sklypus, kuriuose būtų tos pačios priemonės plotai, po vieną kiekvienam vaikui. Viena iš aplankytų žemių jau yra atribota ir, nors ji neturi įprasto formato (kaip parodyta B paveiksle), ji patiko vyresniajam sūnui ir todėl buvo nupirkta. Jauniausias sūnus turi namo, kurį nori pasistatyti, architektūrinį projektą, tačiau jam to reikia stačiakampio formos reljefo (kaip parodyta A paveiksle), kurio ilgis yra 7 m ilgesnis už plotis.
Kad patenkintų jauniausią sūnų, šiam ponui reikia rasti stačiakampį žemės gabalą, kurio matmenys metrais, ilgiu ir plotu yra atitinkamai lygūs
a) 7,5 ir 14,5
b) 9,0 ir 16,0
c) 9.3 ir 16.3
d) 10,0 ir 17,0
e) 13,5 ir 20,5
Teisinga alternatyva: b) 9.0 ir 16.0.
Kadangi A paveikslo plotas yra lygus B paveikslo plotui, pirmiausia apskaičiuokime šį plotą. Tam padalinkime B paveikslą, kaip parodyta žemiau:
Atkreipkite dėmesį, kad dalydami figūrą turime du stačiuosius trikampius. Todėl B paveikslo plotas bus lygus šių trikampių plotų sumai. Skaičiuodami šias sritis, turime:
Kadangi paveikslas A yra stačiakampis, jo plotas nustatomas atlikus:
= x. (x + 7) = x2 + 7 kartus
A paveikslo plotą prilygindami B paveikslo ploto vertei, randame:
x2 + 7x = 144
x2 + 7x - 144 = 0
Išspręskime 2 laipsnio lygtį naudodami Bhaskaros formulę:
Kadangi matas negali būti neigiamas, apsvarstykime tik vertę, lygią 9. Todėl A paveiksle žemės plotis bus lygus 9 m, o ilgis - 16 m (9 + 7).
Todėl ilgio ir pločio matavimai turi būti atitinkamai lygūs 9,0 ir 16,0.
7 klausimas
(Enem - 2015) Mobiliųjų telefonų kompanija turi dvi antenas, kurias pakeis nauja, galingesnė. Antenų, kurios bus pakeistos, aprėpties zonos yra 2 km spinduliu apskritimai, kurių apskritimai liestų tašką O, kaip parodyta paveikslėlyje.
Taškas O nurodo naujos antenos padėtį, o jo aprėpties sritis bus apskritimas, kurio apskritimas išoriškai liestų mažesnių aprėpties zonų apskritimus. Įrengus naują anteną, išplėstas aprėpties ploto matavimas kvadratiniais kilometrais
a) 8 π
b) 12 π
c) 16 π
d) 32 π
e) 64 π
Teisinga alternatyva: a) 8 π.
Aprėpties srities matavimo padidinimas bus nustatytas mažinant didesnio apskritimo mažesnių apskritimų plotus (atsižvelgiant į naują anteną).
Kadangi naujojo aprėpties regiono apskritimas išoriškai liečia mažesnius apskritimus, jo spindulys bus lygus 4 km, kaip nurodyta toliau pateiktame paveikslėlyje:
Apskaičiuokime plotus A1 ir2 mažesnių apskritimų ir ploto A3 iš didesnio rato:
1 = A2 = 22. π = 4 π
3 = 42.π = 16 π
Padidėjusio ploto matavimas bus atliktas:
A = 16 π - 4 π - 4 π = 8 π
Todėl, įdiegus naują anteną, aprėpties ploto matas kvadratiniais kilometrais buvo padidintas 8 π.
8 klausimas
(Enem - 2015) I diagramoje parodyta krepšinio aikštelės konfigūracija. Pilkos spalvos trapecijos, vadinamos karbonais, atitinka ribojamas zonas.
Siekdami įvykdyti 2010 m. Tarptautinės krepšinio federacijos (Fiba) Centro komiteto gaires, kurios suvienodino žymėjimą skirtingų lydinių atveju teismų korpusuose buvo numatyta modifikacija, kuri taps stačiakampiais, kaip parodyta schemoje II.
Atlikus planuojamus pakeitimus, pasikeitė kiekvieno karavano užimamas plotas, kuris atitinka a (a)
a) 5800 cm padidėjimas2.
b) 75 400 cm padidėjimas2.
c) padidėjimas 214 600 cm2.
d) sumažėjimas 63 800 cm2.
e) sumažėjimas 272 600 cm2.
Teisinga alternatyva: a) padidėjimas 5800 cm².
Norėdami sužinoti, koks buvo okupuoto ploto pokytis, apskaičiuokime plotą prieš ir po pakeitimo.
Apskaičiuodami I schemą, naudosime trapecijos ploto formulę. II diagramoje naudosime stačiakampio ploto formulę.
Tada ploto pokytis bus:
A = AII - AAš
A = 284 200 - 278 400 = 5 800 cm2
Todėl atlikus numatytas modifikacijas pasikeitė kiekvieno karavano užimamas plotas, o tai atitinka 5800 cm² padidėjimą.
Siūlomi pratimai (su rezoliucija)
9 klausimas
Ana nusprendė savo name pastatyti stačiakampį baseiną, kurio pagrindas būtų 8 m ir 5 m aukščio. Aplink jį, kaip trapecijos formos, užpildė žolė.
Žinant, kad trapecijos aukštis yra 11 m, o jo pagrindai - 20 m ir 14 m, koks yra žolės užpiltos dalies plotas?
a) 294 m2
b) 153 m2
c) 147 m2
d) 216 m2
Teisinga alternatyva: c) 147 m2.
Kai stačiakampis, vaizduojantis baseiną, įterpiamas į didesnę figūrą, trapeciją, pradėkime nuo išorinės figūros ploto apskaičiavimo.
Trapecijos plotas apskaičiuojamas pagal formulę:
Kur,
B yra didžiausios bazės matas;
b yra mažiausios pagrindo matas;
h yra aukštis.
Formulėje pakeisdami teiginio duomenis, turime:
Dabar apskaičiuokime stačiakampio plotą. Tam mums tiesiog reikia padauginti pagrindą iš aukščio.
Norėdami rasti žolėmis apsodintą plotą, turime atimti baseino užimamą erdvę iš trapecijos zonos.
Todėl žolėmis užimtas plotas buvo 147 m2.
Taip pat žiūrėkite: Trapecijos sritis
10 klausimas
Norėdamas atnaujinti savo sandėlio stogą, Carlosas nusprendė įsigyti kolonijines čerpes. Naudojant tokio tipo stogą, kiekvienam kvadratiniam metrui stogo reikia 20 vienetų.
Jei vietos stogą sudaro dvi stačiakampės plokštės, kaip parodyta aukščiau esančiame paveikslėlyje, kiek plytelių reikia nusipirkti Carlosui?
a) 12000 plytelių
b) 16000 plytelių
c) 18000 plytelių
d) 9600 plytelių
Teisinga alternatyva: b) 16000 plytelių.
Sandėlio stogas pagamintas iš dviejų stačiakampių plokščių. Todėl turime apskaičiuoti stačiakampio plotą ir padauginti iš 2.
Todėl bendras stogo plotas yra 800 m.2. Jei kiekvienam kvadratiniam metrui reikia 20 plytelių, naudodami paprastą trijų taisyklę apskaičiuojame, kiek plytelių užpildo kiekvieno sandėlio stogą.
Todėl reikės nusipirkti 16 tūkstančių plytelių.
Taip pat žiūrėkite: Stačiakampio sritis
11 klausimas
Marcia norėtų, kad dvi identiškos medinės vazos papuoštų įėjimą į jos namus. Kadangi ji galėjo nusipirkti tik vieną iš savo mėgstamiausių, ji nusprendė pasamdyti baldininką, kad pastatytų kitą tų pačių matmenų vazą. Vaza turi būti iš keturių lygiašonės trapecijos formos, o pagrindas yra kvadratas.
Kiek kvadratinių metrų medienos reikės neatsižvelgiant į medienos storį, norint atgaminti gabalą?
a) 0,2131 m2
b) 0,1311 m2
c) 0,2113 m2
d) 0,3121 m2
Teisinga alternatyva: d) 0,3121 m2.
Lygiašonio trapecijos tipas yra lygus ir jo pagrindai skirtingi. Pagal paveikslėlį turime šiuos trapecijos matavimus kiekvienoje indo pusėje:
Mažesnis pagrindas (b): 19 cm;
Didesnis pagrindas (B): 27 cm;
Aukštis (h): 30 cm.
Turėdami vertes, mes apskaičiuojame trapecijos plotą:
Kadangi indą suformuoja keturios trapecijos, turime padauginti rastą plotą iš keturių.
Dabar turime apskaičiuoti vazos pagrindą, kurį suformuoja 19 cm kvadratas.
Pridėjus apskaičiuotus plotus, gaunamas bendras medienos plotas, kuris bus naudojamas statybai.
Tačiau plotą reikia pateikti kvadratiniais metrais.
Todėl, neatsižvelgiant į medienos storį, reikėjo 0,3121 m2 medžiagos vazos gamybai.
Taip pat žiūrėkite: Aikštės plotas
12 klausimas
Kad būtų lengviau apskaičiuoti, kiek žmonių dalyvauja viešuose renginiuose, paprastai laikoma, kad vieną kvadratinį metrą užima keturi žmonės.
Švęsdama miesto jubiliejų, miesto valdžia pasamdė grupę groti centre esančioje aikštėje, kurios plotas 4000 m.2. Ar žinai, kad aikštė buvo sausakimša, maždaug kiek žmonių dalyvavo renginyje?
a) 16 tūkstančių žmonių.
b) 32 tūkstančiai žmonių.
c) 12 tūkstančių žmonių.
d) 40 tūkstančių žmonių.
Teisinga alternatyva: a) 16 tūkstančių žmonių.
Kvadratas turi keturias lygias kraštines, o jo plotas apskaičiuojamas pagal formulę: A = L x L.
jei per 1 m2 joje gyvena keturi žmonės, todėl keturis kartus didesnis už kvadrato plotą pateikiamas įvykyje dalyvavusių žmonių įvertis.
Taigi miesto rotušės propaguotame renginyje dalyvavo 16 tūkst.
Norėdami sužinoti daugiau, taip pat žiūrėkite:
- Plokščių figūrų plotai
- Geometrinės formos
- Pitagoro teorema - pratimai