PA ir PG: santrauka, formulės ir pratimai

aritmetinė progresija - PA yra reikšmių seka, turinti pastovų skirtumų tarp iš eilės einančių skaičių skaičių.

geometrinė progresija - PG pateikia skaičius tuo pačiu dalikliu dalijant du iš eilės einančius terminus.

Aritmetinėje progresijoje sąlygos gaunamos pridedant pirmtakui bendrą skirtumą, a sąlygos geometrinės progresijos randamos padauginus santykį iš paskutinio skaičiaus sekoje, taip gaunant terminą įpėdinis.

Žemiau pateikiama dviejų progresijų rūšių santrauka.

Aritmetinė progresija (AP)

Aritmetinė progresija yra seka, suformuota pagal terminus, kurie skiriasi vienas nuo kito pastovia verte, kuri vadinama santykiu, apskaičiuota pagal:

Kur,

r yra BP priežastis;
The₂ yra antroji kadencija;
The₁ yra pirmasis terminas.

Todėl aritmetinės progresijos sąlygas galima parašyti taip:

Atkreipkite dėmesį, kad PA ne terminai yra bendrojo termino formulė (_ne) seka yra:

The_ne =₁ + (n - 1) r

Kai kurie konkretūs atvejai yra šie: 3 terminų AP žymi (x - r, x, x + r), o 5 - laikotarpio AP komponentus žymi (x - 2r, x - r, x, x + r, x + 2r).

PA rūšys

Pagal santykio vertę aritmetinės progresijos skirstomos į 3 tipus:

1. Nuolatinis: kai santykis lygus nuliui ir BP sąlygos yra vienodos.

Pavyzdys: PA = (2, 2, 2, 2, 2, ...), kur r = 0

2. Auga: kai santykis yra didesnis nei nulis, o terminas iš antrojo yra didesnis nei ankstesnis;

Pavyzdys: PA = (2, 4, 6, 8, 10, ...), kur r = 2

3. leidžiantis žemyn: kai santykis yra mažesnis už nulį, o antrojo terminas yra mažesnis nei ankstesnis.

Pavyzdys: PA = (4, 2, 0, - 2, - 4, ...), kur r = - 2

Aritmetines progresijas dar galima klasifikuoti į baigtinis, kai jie turi tam tikrą terminų skaičių, ir begalinis, tai yra, su begalinėmis sąlygomis.

PA sąlygų suma

Aritmetinės progresijos sąlygų suma apskaičiuojama pagal formulę:

Kur, ne yra sekos terminų skaičius, The₁ yra pirmasis terminas ir The_ne yra devintoji kadencija. Formulė yra naudinga sprendžiant klausimus, kur nurodomas pirmasis ir paskutinis terminai.

Kai problemai yra pirmasis terminas ir BP priežastis, galite naudoti formulę:

Šios dvi formulės naudojamos pridedant baigtinio BP terminus.

Vidutinis PA terminas

Norėdami nustatyti vidutinį ar centrinį BP terminą su nelyginiu skaičių terminų, apskaičiuojame aritmetinį vidurkį su pirmuoju ir paskutiniuoju terminu (a₁ ir_ne):

Vidutinis terminas tarp trijų paeiliui einančių PA skaičių atitinka pirmtako ir įpėdinio aritmetinį vidurkį.

Išspręstas pavyzdys

Atsižvelgiant į PA (2, 4, 6, 8, 10, 12, 14), nustatykite santykį, vidutinį terminą ir terminų sumą.

1. PA priežastis

2. vidutinės trukmės laikotarpiu

3. terminų suma

Išmokti daugiau apie aritmetinė progresija.

Geometrinė progresija (PG)

Geometrinė progresija susidaro, kai sekoje yra daugiklio koeficientas, gaunamas padalijus du iš eilės einančius terminus, vadinamus bendru santykiu, kuris apskaičiuojamas pagal:

Kur,

ką yra PG priežastis;
The₂ yra antroji kadencija;
The₁ yra pirmasis terminas.

Geometrinė progresija ne terminai gali būti pateikiami taip:

Esamas The₁ pirmasis terminas, bendras PG terminas apskaičiuojamas pagal The₁.q^(ne-1).

PG tipai

Pagal santykio (q) vertę galime suskirstyti geometrinius progresus į 4 tipus:

1. Auga: santykis visada teigiamas (q> 0), o terminai didėja;

Pavyzdys: PG: (3, 9, 27, 81, ...), kur q = 3.

2. leidžiantis žemyn: santykis visada teigiamas (q> 0), ne nulis (0), o terminai mažėja;

Pavyzdys: PG: (-3, -9, -27, -81, ...), kur q = 3

3. svyruojantis: priežastis yra neigiama (q

Pavyzdys: PG: (3, -6, 12, -24, 48, -96,…), kur q = - 2

4. Nuolatinis: santykis visada lygus 1, o terminai turi tą pačią vertę.

Pavyzdys: PG: (3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, ...), kur q = 1

PG terminų suma

Geometrinės progresijos sąlygų suma apskaičiuojama pagal formulę:

Esamas The₁ pirmoji kadencija, ką paplitusi priežastis ir ne terminų skaičius.

Jei PG santykis yra mažesnis nei 1, terminų sumai nustatyti naudosime šią formulę.

Šios formulės naudojamos baigtiniam PG. Jei prašoma suma yra begalinė PG, naudojama formulė:

Vidutinis PG terminas

Norėdami nustatyti vidutinį ar centrinį PG terminą su nelyginiu skaičių terminų, apskaičiuojame geometrinį vidurkį su pirmuoju ir paskutiniuoju terminu (a₁ ir_ne):

Išspręstas pavyzdys

Atsižvelgiant į PG (1, 3, 9, 27 ir 81), nustatykite santykį, vidutinį terminą ir terminų sumą.

1. PG priežastis

2. vidutinės trukmės laikotarpiu

3. terminų suma

Išmokti daugiau apie geometrinė progresija.

PA ir PG formulių santrauka

aritmetinė progresija	Geometrinė progresija
Priežastis
bendras terminas
vidutinės trukmės laikotarpiu
ribota suma
begalinė suma

Išmokti daugiau apie skaičių sekos.

Pratimai PA ir PG

Klausimas 1

Koks yra 16-asis sekos terminas, prasidedantis skaičiumi 3 ir kurio BP santykis lygus 4?

a) 36
b) 52
c) 44
d) 63

Žr. Atsakymas

Teisinga alternatyva: d) 63.

Kadangi PA santykis yra pastovus, antrąjį terminą galime rasti pridėdami santykį prie pirmojo skaičiaus.

The₂ =₁ + r

The₂ = 3 + 4

The₂ = 7

Todėl galime sakyti, kad šią seką sudaro (3, 7, 11, 15, 19, 23,…)

16-ą kadenciją galima apskaičiuoti pagal bendrą termino formulę.

The_ne =₁ + (n - 1). r

The₁₆ = 3 + (16 – 1). 4

The₁₆ = 3 + 15.4

The₁₆ = 3 + 60

The₁₆ = 63

Todėl atsakymas į klausimą yra 63.

2 klausimas

Koks yra šešių trukmės AP santykis, kai pirmųjų trijų skaičių sekoje lygi suma yra 12, o dviejų paskutiniųjų lygi –34?

a) 7
b) - 6
c) - 5
d) 5

Žr. Atsakymas

Teisinga alternatyva: b) - 6.

Bendroji aritmetinės progresijos sąlygų formulė yra₁, (a₁ + r), (a₁ + 2r),..., {a₁ + (n-1) r}. Todėl pirmųjų trijų terminų sumą galima parašyti taip:

The₁ + (₁ + r) + (a₁ + 2r) = 12
3 d₁ + 3r = 12
3 d₁ = 12 - 3r
The₁ = (12 - 3r) / 3
The₁ = 4 - r

Paskutinių dviejų terminų suma yra tokia:

(₁ + 4r) + (a₁ + 5r) = - 34
2-oji₁ + 9r = - 34

Dabar mes pakeičiame₁ iki 4 - r.

2 (4 - r) + 9r = - 34
8 - 2r + 9r = - 34
7r = - 34 - 8
7r = - 42
r = - 42/7
r = - 6

Todėl PG santykis yra - 6.

3 klausimas

Jei trečioji bendrosios praktikos gydytojo kadencija yra 28, o ketvirtoji - 56, kokie yra pirmieji 5 šios geometrinės progresijos terminai?

a) 6, 12, 28, 56, 104
b) 7, 18, 28, 56, 92
c) 5, 9, 28, 56, 119
d) 7, 14, 28, 56, 112

Žr. Atsakymas

Teisinga alternatyva: d) 7, 14, 28, 56, 112

Pirmiausia turime apskaičiuoti šio PG santykį. Tam naudosime formulę:

The₄ =₃. ką
56 = 28. ką
56/28 = q
q = 2

Dabar mes apskaičiuojame pirmuosius 5 terminus. Mes pradėsime nuo₁ naudojant bendrojo termino formulę.

The_ne =₁. ką^(n-1)
The₃ =₁ . ką^(3-1)
28 =₁. 2²
The₁ = 28/ 4 = 7

Likusius terminus galima apskaičiuoti padauginus ankstesnį terminą iš santykio.

The₂ =₁.q
The₂ = 7. 2
The₂ = 14

The₅ =₄. ką
The₅ = 56. 2
The₅ = 112

Todėl pirmieji 5 PG terminai yra:

1 kadencija: 7
2 kadencija: 14
3 kadencija: 28
4 kadencija: 56
5 kadencija: 112

Taip pat žiūrėkite kitus pratimus, kad galėtumėte pratinti:

• Aritmetinės pažangos pratimai
• Geometrinės progresijos pratimai