Vidurinės mokyklos lygtis: komentuojami pratimai ir konkurso klausimai

Vienas antrojo laipsnio lygtis yra visa formos lygtis kirvis² + bx + c = 0, su a, b ir c realiaisiais skaičiais ir a ≠ 0. Norėdami išspręsti šio tipo lygtį, galite naudoti skirtingus metodus.

Norėdami išsiaiškinti visas abejones, naudokitės komentuotomis pratimų rezoliucijomis, pateiktomis žemiau. Taip pat būtinai pasitikrinkite savo žinias išsprendę konkurso klausimus.

Komentuojami pratimai

1 pratimas

Mano mamos amžius, padaugintas iš mano amžiaus, yra 525. Jei gimus mano motinai buvo 20 metų, kiek man metų?

Sprendimas

Mano amžius lygus x, tada galime manyti, kad mano motinos amžius yra lygus x + 20. Tada mes žinome savo amžiaus produkto vertę:

x. (x + 20) = 525

Taikymas dauginimo skirstomosioms savybėms:

x² + 20 x - 525 = 0

Tada mes pasiekiame pilną 2 laipsnio lygtį, kur a = 1, b = 20 ir c = - 525.

Norėdami apskaičiuoti lygties šaknis, ty x reikšmes, kur lygtis lygi nuliui, naudokime Bhaskaros formulę.

Pirmiausia turime apskaičiuoti ∆ vertę:

Norėdami apskaičiuoti šaknis, mes naudojame:

Pakeisdami reikšmes aukščiau pateiktoje formulėje, rasime lygties šaknis, kaip šis:

Kadangi mano amžius negali būti neigiamas, mes niekiname vertę -35. Taigi rezultatas yra 15 metų.

2 pratimas

Kvadratas, pavaizduotas toliau pateiktame paveikslėlyje, turi stačiakampę formą, o jo plotas lygus 1 350 m². Žinodami, kad jo plotis atitinka 3/2 aukščio, nustatykite kvadrato matmenis.

Sprendimas

Atsižvelgiant į tai, kad jo aukštis yra lygus x, tada plotis bus lygus 3 / 2x. Stačiakampio plotas apskaičiuojamas padauginus jo pagrindą iš aukščio vertės. Šiuo atveju mes turime:

Mes gauname neišsamią 2 laipsnio lygtį, kurios a = 3/2, b = 0 ir c = - 1350, galime apskaičiuoti tokio tipo lygtis, išskirdami x ir apskaičiuodami kvadratinės šaknies vertę.

Kadangi x reikšmė rodo aukščio matą, mes neatsižvelgsime į - 30. Taigi stačiakampio aukštis lygus 30 m. Norėdami apskaičiuoti plotį, padauginkime šią vertę iš 3/2:

Todėl kvadrato plotis yra lygus 45 m o jo aukštis lygus 30 m.

3 pratimas

Taigi x = 1 yra lygties 2ax šaknis² + (2² - a - 4) x - (2 + a²) = 0, a reikšmės turėtų būti:

a) 3 ir 2
b) - 1 ir 1
c) 2 ir - 3
d) 0 ir 2
e) - 3 ir - 2

Sprendimas

Norėdami rasti a vertę, pirmiausia pakeiskime x į 1. Tokiu būdu lygtis atrodys taip:

2.a.1² + (2² - iki - 4). 1 - 2 - a² = 0
2 + 2² - į - 4 - 2 - į² = 0
The² + iki - 6 = 0

Dabar turime apskaičiuoti visos 2 laipsnio lygties šaknį, tam naudosime Bhaskaros formulę.

Todėl teisinga alternatyva yra raidė C.

Konkurso klausimai

1) Eparas - 2017 m

Apsvarstykite ℝ lygtį (m+2) x² - 2mx + (m - 1) = 0 kintamajame x, kur m yra tikrasis skaičius, išskyrus - 2.

Peržiūrėkite toliau pateiktus teiginius ir įvertinkite juos kaip V (TRUE) arba F (FALSE).

() Visiems m> 2 lygtis turi tuščią sprendinių rinkinį.
() Yra dvi realios m reikšmės, kad lygtis pripažintų lygias šaknis.
() Jei lygtyje ∆> 0, tada m gali prisiimti tik teigiamas reikšmes.

Teisinga seka yra

a) V - V - V
b) F - V - F
c) F - F - V
d) V - F - F

Žr. Atsakymas

Pažvelkime į kiekvieną iš teiginių:

Visiems m> 2 lygtis turi tuščią sprendinių rinkinį

Kadangi lygtis yra antrojo laipsnio in, ji neturės sprendimo, kai delta yra mažesnė už nulį. Skaičiuodami šią vertę turime:

Taigi pirmasis teiginys yra teisingas.

Yra dvi realios m reikšmės, kad lygtis pripažintų lygias šaknis.

Lygtis turės vienodas realias šaknis, kai Δ = 0, tai yra:

- 4m + 8 = 0
m = 2

Todėl teiginys yra klaidingas, nes yra tik viena m reikšmė, kur šaknys yra tikros ir lygios.

Jei lygtyje ∆> 0, tada m gali gauti tik teigiamas reikšmes.

Jei Δ> 0, turime:

Kadangi begalinių realiųjų skaičių rinkinyje yra neigiamų skaičių, mažesnių nei 2, teiginys taip pat yra klaidingas.

D alternatyva: V-F-F

2) „Coltec“ - UFMG - 2017 m

Laura turi išspręsti „namų“ II laipsnio lygtį, tačiau supranta, kad kopijuodama iš lentos į sąsiuvinį pamiršo nukopijuoti x koeficientą. Norėdami išspręsti lygtį, jis ją užrašė taip: 4x² + kirvis + 9 = 0. Kadangi ji žinojo, kad lygtis turi tik vieną sprendimą, o šis yra teigiamas, ji sugebėjo nustatyti a reikšmę, kuri yra

a) - 13
b) - 12
c) 12
d) 13

Žr. Atsakymas

Kai 2-ojo laipsnio lygtis turi vieną sprendimą, delta pagal Bhaskaros formulę lygi nuliui. Taigi, norint rasti The, tiesiog apskaičiuokite delta, prilygindami jos vertę nuliui.

Taigi, jei a = 12 arba a = - 12, lygtis turės tik vieną šaknį. Tačiau vis tiek turime patikrinti, kurios iš reikšmių The rezultatas bus teigiamas šaknis.

Tam suraskime šaknį, reikšmes .

Taigi a = -12 lygtis turės tik vieną šaknį ir teigiamą.

B alternatyva: -12

3) Priešas - 2016 m

Tunelis turi būti užplombuotas betonine danga. Tunelio ir betoninio dangčio skerspjūvis turi parabolės arkos kontūrus ir vienodus matmenis. Norėdamas nustatyti darbo kainą, inžinierius turi apskaičiuoti plotą po atitinkamu paraboliniu lanku. Naudodamas horizontalią ašį žemės lygyje ir parabolės simetrijos ašį kaip vertikalią ašį, jis gavo tokią parabolės lygtį:
y = 9 - x², kur x ir y matuojami metrais.
Yra žinoma, kad plotas po tokia parabolė yra lygus 2/3 stačiakampio ploto, kurio matmenys yra atitinkamai lygūs įėjimo į tunelį pagrindui ir aukštiui.
Koks yra betoninės dangos priekinės dalies plotas, kvadratiniais metrais?

a) 18
b) 20
c) 36
d) 45
e) 54

Žr. Atsakymas

Norėdami išspręsti šią problemą, turime rasti tunelio įėjimo pagrindo ir aukščio matavimus, kaip problema mums sako, kad priekio plotas yra lygus 2/3 stačiakampio ploto su šiais matmenimis.

Šios vertės bus rastos pagal pateiktą 2 laipsnio lygtį. Šios lygties parabolėje įgaubimas pasisuko žemyn, nes koeficientas The yra neigiamas. Žemiau pateikiami šios palyginimo metmenys.

Iš grafiko galime pamatyti, kad tunelio pagrindo matas bus surastas apskaičiuojant lygties šaknis. Jau jo aukštis bus lygus viršūnės matui.

Norėdami apskaičiuoti šaknis, stebime, kad lygtis 9 - x² yra neišsami, todėl jos šaknis galime rasti lygindami lygtį su nuline ir išskirdami x:

Todėl tunelio pagrindo matavimas bus lygus 6 m, tai yra atstumui tarp dviejų šaknų (-3 ir 3).

Žvelgdami į grafiką matome, kad viršūnės taškas atitinka y ašies vertę, kad x yra lygus nuliui, taigi mes turime:

Dabar, kai žinome tunelio pagrindo ir aukščio matavimus, galime apskaičiuoti jo plotą:

C alternatyva: 36

4) Cefet - RJ - 2014 m

Kuriai „a“ reikšmei lygtis (x - 2). (2ax - 3) + (x - 2). (- ax + 1) = 0 turi dvi šaknis ir yra lygios?

iki 1
b) 0
c) 1
d) 2

Žr. Atsakymas

Kad 2 laipsnio lygtis turėtų dvi lygias šaknis, būtina, kad Δ = 0, tai yra, b²-4ac = 0. Prieš apskaičiuodami delta, turime parašyti lygtį formos ašyje² + bx + c = 0.

Galime pradėti nuo paskirstomojo turto pritaikymo. Tačiau pažymime, kad (x - 2) kartojasi abiem terminais, todėl padėkime tai kaip įrodymą:

(x - 2) (2ax -3 - ax + 1) = 0
(x - 2) (kirvis -2) = 0

Dabar, platindami produktą, turime:

kirvis² - 2x - 2ax + 4 = 0

Apskaičiuojant Δ ir lygų nuliui, randame:

Taigi, kai a = 1, lygtis turės dvi lygias šaknis.

C alternatyva: 1

Norėdami sužinoti daugiau, taip pat žiūrėkite:

• Antrojo laipsnio lygtis
• Pirmojo laipsnio lygtis
• Kvadratinė funkcija
• Kvadratinė funkcija - pratimai
• Linijinė funkcija
• Susijusios funkcijos pratimai