Kompleksiniai skaičių pratimai: išspręstų klausimų ir atsiliepimų sąrašas

Tu kompleksiniai skaičiai leidžia išspręsti matematines užduotis, kurių rinkinyje nėra sprendimų tikrieji skaičiai.

Kompleksiniu skaičiumi, užrašytu kaip $\ dpi {120} z = a + bi$ , mes sakome tai $\ dpi {120} iki$ yra tikroji dalis, $\ dpi {120} b$ yra įsivaizduojama dalis ir $\ dpi {120} i = \ sqrt {-1}$ tai įsivaizduojamas vienetas.

Pasirodyti operacijos su sudėtingais skaičiais, yra keletas posakių, kurie palengvina skaičiavimus. Apsvarstykite $\ dpi {120} z_1 = a + bi$ ir $\ dpi {120} z_2 = c + di$ .

Papildymo išraiška tarp kompleksinių skaičių:

$\ dpi {120} z_1 + z_2 = (a + c) + (b + d) i$

Sudėtinių skaičių atimties išraiška:

$\ dpi {120} z_1 - z_2 = (a-c) + (b - d) i$

Sudėtinių skaičių daugybos išraiška:

$\ dpi {120} z_1 \ cdot z_2 = (ac - db) + (ad + cb) i$

Dalijimo tarp kompleksinių skaičių išraiška:

$\ dpi {120} \ frac {z_1} {z_2} = \ frac {(ac + bd)} {c ^ 2 + d ^ 2} + \ frac {(bc - ad)} {c ^ 2 + d ^ 2 } i$

Žemiau pateikiamas sąrašas klausimai, išspręsti sudėtingų skaičių pratimais. Išmokite vartoti kiekvieną iš šių skaičių turinčių sąvokų!

Indeksas

Kompleksinių skaičių pratimų sąrašas
1 klausimo sprendimas
2 klausimo sprendimas
3 klausimo sprendimas
4 klausimo sprendimas
5 klausimo sprendimas
6 klausimo sprendimas
7 klausimo sprendimas
8 klausimo sprendimas

Kompleksinių skaičių pratimų sąrašas

Klausimas 1. Atsižvelgiant į kompleksinius skaičius $\ dpi {120} z_1 = 2 + 3i$ , $\ dpi {120} z_2 = 2 - 5i$ ir $\ dpi {120} z_3 = -1 + 4i$ nustatyti vertę $\ dpi {120} A$ , Kada $\ dpi {120} A = z_2 + 4z_3 -3z_1$ .

2 klausimas. Raskite $\ dpi {120} x$ ir $\ dpi {120} m$ toks kad $\ dpi {120} (2 + xi) + (y-5i) = 3-i$ .

instagram story viewer

3 klausimas. Atsižvelgiant į kompleksinius skaičius $\ dpi {120} z_1 = -2 - 5i$ ir $\ dpi {120} z_2 = 1 + 3i$ , nustatykite $\ dpi {120} A \ cdot B$ , Kada $\ dpi {120} A = z_1 \ cdot \ juosta {z_1}$ ir $\ dpi {120} B = z_2 \ cdot \ juosta {z_2}$ .

4 klausimas. Apskaičiuokite $\ dpi {120} p$ ir $\ dpi {120} q$ kam $\ dpi {120} z_1: z_2 = q + 2i$ , Kada $\ dpi {120} z_1 = 3 - pi$ ir $\ dpi {120} z_2 = 1 + 2i$ .

5 klausimas. Nustatykite $\ dpi {120} iki$ kam $\ dpi {120} (a + 3i): (3 + 2i)$ būti grynu įsivaizduojamu skaičiumi.

6 klausimas. Apskaičiuokite šias įsivaizduojamas vieneto galias $\ dpi {120} i$ :

) $\ dpi {120} i ^ {16}$
B) $\ dpi {120} i ^ {200}$
ç) $\ dpi {120} i ^ {829}$
d) $\ dpi {120} i ^ {11475}$

7 klausimas. Raskite lygties sprendimą $\ dpi {120} x ^ 2 + 9 = 0$ kompleksinių skaičių aibėje.

8 klausimas. Nustatykite lygties sprendimą $\ dpi {120} x ^ 2 + x + 1 = 0$ kompleksinių skaičių aibėje.

1 klausimo sprendimas

Mes turime $\ dpi {120} z_1 = 2 + 3i$ ir $\ dpi {120} z_2 = 2 - 5i$ ir $\ dpi {120} z_3 = -1 + 4i$ ir mes norime nustatyti $\ dpi {120} A$ , Kada $\ dpi {120} A = z_2 + 4z_3 -3z_1$ .

Pirmiausia paskaičiuokime $\ dpi {120} 4z_3$ ir $\ dpi {120} 3z_1$ , atskirai:

$\ dpi {120} 4z_3 = 4. (- 1 + 4i) = -4 + 16i$

$\ dpi {120} 3z_1 = 3. (2 + 3i) = 6 + 9i$

Dabar paskaičiuokime $\ dpi {120} A$ :

$\ dpi {120} A = z_2 + 4z_3 -3z_1$

$\ dpi {120} \ dešinė rodyklė A = (2 - 5i) + (- 4 + 16i) - (6 + 9i)$

$\ dpi {120} \ dešinysis rodyklė A = (2-4-6) + (-5 + 16-9) i$

$\ dpi {120} \ dešinysis rodyklė A = -8 + 2i$

2 klausimo sprendimas

Mes norime rasti x ir y, kad $\ dpi {120} (2 + xi) + (y-5i) = 3-i$ .

Išreikšdami sumą tarp dviejų kompleksinių skaičių, turime:

$\ dpi {120} (2 + xi) + (y-5i) = 3-i$

$\ dpi {120} \ dešinė rodyklė (2 + y) + (x-5) i = 3-i$

Taigi privalome turėti $\ dpi {120} (2 + y) = 3$ ir $\ dpi {120} (x-5) i = -i$ . Išspręskime šias dvi lygtis, kad rastume x ir y.

$\ dpi {120} (2 + y) = 3 \ stačiakampis y = 3-2 \ dešiniarankis y = 1$

$\ dpi {120} (x-5) i = -i \ dešiniarankis x- 5 = -1 \ dešiniarankis x = -1 + 5 \ dešinysis x = 4$

3 klausimo sprendimas

Mes turime $\ dpi {120} z_1 = -2 - 5i$ ir $\ dpi {120} z_2 = 1 + 3i$ ir mes norime nustatyti $\ dpi {120} A \ cdot B$ , Kada $\ dpi {120} A = z_1 \ cdot \ juosta {z_1}$ ir $\ dpi {120} B = z_2 \ cdot \ juosta {z_2}$ .

Pirma, mes apskaičiuojame $\ dpi {120} A = z_1 \ cdot \ juosta {z_1}$ .

$\ dpi {120} A = z_1 \ cdot \ juosta {z_1}$

$\ dpi {120} \ dešinė rodyklė A = (-2 - 5i) \ cdot (-2 + 5i)$

Išreiškdami dauginimą tarp dviejų kompleksinių skaičių, turime:

$\ dpi {120} A = [(- 2) \ cdot (-2) - (- 5) \ cdot 5] + [(- 2) \ cdot 5 + (-5) \ cdot (-2)]$

$\ dpi {120} \ dešinysis rodyklė A = [4 +25] + [- 10 +10]$

$\ dpi {120} \ dešinė rodyklė A = 29$

Dabar paskaičiuokime $\ dpi {120} B = z_2 \ cdot \ juosta {z_2}$ .

$\ dpi {120} B = z_2 \ cdot \ juosta {z_2}$

$\ dpi {120} \ dešiniarankis B = (1 + 3i) \ cdot (1-3i)$

$\ dpi {120} \ Dešiniarankis B = [1 \ cdot 1 - 3 \ cdot (-3)] + [1 \ cdot (-3) +1 \ cdot 3] i$

$\ dpi {120} \ dešinysis rodyklė B = [1 + 9] + [- 3 + 3] i$

$\ dpi {120} \ dešiniarankis B = 10$

Todėl, $\ dpi {120} A \ cdot B = 29 \ cdot 10 = 290$ .

4 klausimo sprendimas

Norime apskaičiuoti $\ dpi {120} p$ ir $\ dpi {120} q$ kam $\ dpi {120} z_1: z_2 = q + 2i$ , Kada $\ dpi {120} z_1 = 3 - pi$ ir $\ dpi {120} z_2 = 1 + 2i$ .

Tai reiškia rasti $\ dpi {120} p$ ir $\ dpi {120} q$ kad:

Peržiūrėkite keletą nemokamų kursų

Nemokamas internetinis įtraukiojo švietimo kursas
Nemokama internetinė žaislų biblioteka ir mokymosi kursai
Nemokami internetiniai matematikos žaidimų ankstyvojo ugdymo kursai
Nemokami internetiniai pedagoginių kultūros dirbtuvių kursai

$\ dpi {120} \ frac {3-pi} {1 + 2i} = q + 2i$

Išsakydami padalijimą tarp dviejų sudėtingų skaičių, turime:

$\ dpi {120} \ frac {3-pi} {1 + 2i} = \ frac {[3 \ cdot 1 + (- p) \ cdot 2]} {1 ^ 2 + 2 ^ 2} + \ frac {[ (-p) \ cdot 1-3 \ cdot 2]} {1 ^ 2 + 2 ^ 2} i = \ frac {3 - 2p} {5} + \ frac {(- p - 6)} {5} i$

Sujungdami šias dvi sąlygas turime:

$\ dpi {120} \ frac {3 - 2p} {5} + \ frac {(- p - 6)} {5} i = q + 2i$

T.y:

$\ dpi {120} \ frac {3 - 2p} {5} = q \: \: \ mathrm {e} \: \: \ frac {(- p-6)} {5} i = 2i$

Išspręskime kiekvieną iš šių lygčių, pradedant antrąja, kuri priklauso tik nuo p.

$\ dpi {120} \ frac {(- p-6)} {5} i = 2i$

$\ dpi {120} \ Righty rodyklė \ frac {(- p-6)} {5} = 2$

$\ dpi {120} \ dešinė rodyklė -p - 6 = 10$

$\ dpi {120} \ dešiniarankis p = -16$

Dabar q randame pagal kitą lygtį:

$\ dpi {120} \ frac {3 - 2p} {5} = q$

$\ dpi {120} \ dešinė rodyklė \ frac {3 - 2 \ cdot (-16)} {5} = q$

$\ dpi {120} \ dešinė rodyklė q = 7$

5 klausimo sprendimas

Mes norime rasti $\ dpi {120} iki$ kam $\ dpi {120} (a + 3i): (3 + 2i)$ būti grynu įsivaizduojamu skaičiumi.

Grynas įsivaizduojamas skaičius yra tas, kurio tikroji dalis lygi nuliui.

Atsižvelgdami į dviejų sudėtingų skaičių padalijimo išraišką, turime tai:

$\ dpi {120} \ frac {a + 3i} {3 + 2i} = \ frac {a \ cdot 3 + 3 \ cdot 2} {3 ^ 3 + 2 ^ 2} + \ frac {3 \ cdot 3 - a \ cdot 2} {3 ^ 3 + 2 ^ 2} i = \ frac {3a + 6} {13} + \ frac {9-2a} {13} i$

Kad šis skaičius būtų grynas įsivaizduojamas, turime turėti:

$\ dpi {120} \ frac {3a + 6} {13} = 0$

$\ dpi {120} \ dešiniarankis 3a + 6 = 0$

$\ dpi {120} \ dešinė rodyklė a = -2$

6 klausimo sprendimas

Apibrėždami galias ir sudėtingus skaičius, turime:

$\ dpi {120} i ^ 0 = 1$
$\ dpi {120} i ^ 1 = i$
$\ dpi {120} i ^ 2 = -1$
$\ dpi {120} i ^ 3 = -i$
$\ dpi {120} i ^ 4 = 1$
$\ dpi {120} i ^ 5 = i$
$\ dpi {120} i ^ 6 = -1$
$\ dpi {120} i ^ 7 = -i$

Stebėkite modelį, kuris pasikartoja kas keturias paeiliui galias: 1, i, -1 ir -i.

Taigi, norėdami rasti rezultatą bet kuria i galia, tiesiog padalykite rodiklį iš 4. Likusi padalijimo dalis bus 0, 1, 2 arba 3, ir ši reikšmė bus rodiklis, kurį turėtume naudoti.

) $\ dpi {120} i ^ {16}$

16: 4 = 4, o likusi dalis yra 0.

Tada $\ dpi {120} i ^ {16} = i ^ 0 = 1$ .