Racionaliųjų šaknų teorema

Apsvarstykite daugianario lygtis žemiau, kur visi koeficientai Theneyra sveiki skaičiai:

Thenexne +n-1xn-1 +n-2xn-2 +... +2x2 +1x + a0 = 0

O Racionaliųjų šaknų teorema garantuoja, kad jei ši lygtis pripažins racionalųjį skaičių P/kaip šaknis (su P,  ir mdc (p, q) = 1), tada The0 dalijasi iš P ir Thene dalijasi iš .

Komentarai:

1º) Racionaliųjų šaknų teorema negarantuoja, kad daugianario lygtis turi šaknis, tačiau, jei jos egzistuoja, teorema leidžia mums nustatyti visos šaknys lygties;

2º) jei Thene= 1 o kiti koeficientai yra visi skaičiai, lygtis turi tik sveiko skaičiaus šaknis.

3°) jei q = 1 ir yra racionalios šaknys, jos yra sveikos ir dalijančios The0.

Racionaliųjų šaknų teoremos taikymas:

Panaudokime teoremą, kad rastume visas daugianario lygties šaknis 2x4 + 5x3 - 11x2 - 20x + 12 = 0.

Pirmiausia nustatykime galimas racionalias šios lygties šaknis, tai yra formos šaknis P/. Pagal teoremą, The0 dalijasi iš P; tokiu būdu, kaip The0 = 12, tada galimos P yra {± 1, ± 2, ± 3, ± 4, ± 6, ± 12}. Analogiškai turime tai padaryti

Thene dalijasi iš ir Thene = 2, tada gali turėti šias reikšmes: {± 1, ± 2}. Todėl dalijant reikšmes P ką, gauname galimas vertybes P/lygties šaknys: {+ ½, - ½, +1, - 1, +3/2, –3/2, +2, –2, +3, –3, +4, –4, +6, –6, +12, –12}.

Norėdami patvirtinti, kad rastos reikšmės iš tikrųjų yra daugianario lygties šaknis, pakeiskime kiekvieną reikšmę vietoje x lygties. Per algebrinis skaičiavimas, jei daugianario rezultatas yra nulis, taigi pakeistas skaičius iš tikrųjų yra lygties šaknis.

2x4 + 5x3 - 11x2 - 20x + 12 = 0

Jei x = + ½

2.(½)4 + 5.(½)3 – 11.(½)2 – 20.(½) + 12 = 0

Jei x = - ½

2.(– ½)4 + 5.(– ½)3 – 11.(– ½)2 – 20.(– ½) + 12 = 75/4

Nesustokite dabar... Po reklamos yra daugiau;)

Jei x = + 1

2.14 + 5.13 – 11.12 – 20.1 + 12 = – 12

Jei x = - 1

2.(– 1)4 + 5.(– 1)3 – 11.(– 1)2 – 20.(– 1) + 12 = 18

Jei x = + 3/2

2.(3/2)4 + 5.(3/2)3 – 11.(3/2)2 – 20.(3/2) + 12 = – 63/4

Už x = - 3/2

2.(– 3/2)4 + 5.(– 3/2)3 – 11.(– 3/2)2 – 20.(– 3/2) + 12 = 21/2

Jei x = + 2

2.24 + 5.23 – 11.22 – 20.2 + 12 = 0

Jei x = - 2

2.(– 2)4 + 5.(– 2)3 – 11.(– 2)2 – 20.(– 2) + 12 = 0

Jei x = + 3

2.34 + 5.33 – 11.32 – 20.3 + 12 = 150

Jei x = - 3

2.(– 3)4 + 5.(– 3)3 – 11.(– 3)2 – 20.(– 3) + 12 = 0

Jei x = + 4

2.44 + 5.43 – 11.42 – 20.4 + 12 = 588

Jei x = - 4

2.(– 4)4 + 5.(– 4)3 – 11.(– 4)2 – 20.(– 4) + 12 = 108

Jei x = + 6

2.64 + 5.63 – 11.62 – 20.6 + 12 = 3168

Jei x = - 6

2.(– 6)4 + 5.(– 6)3 – 11.(– 6)2 – 20.(– 6) + 12 = 1248

Jei x = + 12

2.124 + 5.123 – 11.122 – 20.12 + 12 = 48300

Jei x = - 12

2.(– 12)4 + 5.(– 12)3 – 11.(– 12)2 – 20.(– 12) + 12 = 31500

Todėl daugianario lygties šaknys 2x4 + 5x3 - 11x2 - 20x + 12 = 0 jie yra {– 3, – 2, ½, 2}. Per daugianario skilimo teorema, šią lygtį galėtume parašyti kaip (x + 3). (x + 2). (x - ½). (x - 2)= 0.


Autorius Amanda Gonçalves
Baigė matematiką

Ar norėtumėte paminėti šį tekstą mokykloje ar akademiniame darbe? Pažvelk:

RIBEIRO, Amanda Gonçalves. „Racionalių šaknų teorema“; Brazilijos mokykla. Yra: https://brasilescola.uol.com.br/matematica/teorema-das-raizes-racionais.htm. Žiūrėta 2021 m. Birželio 28 d.

Pajutimas perimetrui. Linijos, liečiančios apskritimą

Pajutimas perimetrui. Linijos, liečiančios apskritimą

Tiriant apskritimus, svarbu tirti rato liestinių linijų sąvoką. Norint atlikti šį tyrimą, būtina...

read more
Funkcijos savybės

Funkcijos savybės

Funkcijos, nepriklausomai nuo jų laipsnio, apibūdinamos pagal ryšį tarp aibių elementų, kuriuose ...

read more
Vidurinės mokyklos funkcijos pokyčių greitis

Vidurinės mokyklos funkcijos pokyčių greitis

Svarbų matematikos pritaikymą fizikoje suteikia 2 laipsnio funkcijos kitimo greitis, kuris yra su...

read more