Apsvarstykite daugianario lygtis žemiau, kur visi koeficientai Theneyra sveiki skaičiai:
Thenexne +n-1xn-1 +n-2xn-2 +... +2x2 +1x + a0 = 0
O Racionaliųjų šaknų teorema garantuoja, kad jei ši lygtis pripažins racionalųjį skaičių P/ką kaip šaknis (su P
, ką 
ir mdc (p, q) = 1), tada The0 dalijasi iš P ir Thene dalijasi iš ką.
Komentarai:
1º) Racionaliųjų šaknų teorema negarantuoja, kad daugianario lygtis turi šaknis, tačiau, jei jos egzistuoja, teorema leidžia mums nustatyti visos šaknys lygties;
2º) jei Thene= 1 o kiti koeficientai yra visi skaičiai, lygtis turi tik sveiko skaičiaus šaknis.
3°) jei q = 1 ir yra racionalios šaknys, jos yra sveikos ir dalijančios The0.
Racionaliųjų šaknų teoremos taikymas:
Panaudokime teoremą, kad rastume visas daugianario lygties šaknis 2x4 + 5x3 - 11x2 - 20x + 12 = 0.
Pirmiausia nustatykime galimas racionalias šios lygties šaknis, tai yra formos šaknis P/ką. Pagal teoremą, The0 dalijasi iš P; tokiu būdu, kaip The0 = 12, tada galimos P yra {± 1, ± 2, ± 3, ± 4, ± 6, ± 12}. Analogiškai turime tai padaryti
Thene dalijasi iš ką ir Thene = 2, tada ką gali turėti šias reikšmes: {± 1, ± 2}. Todėl dalijant reikšmes P už ką, gauname galimas vertybes P/ką lygties šaknys: {+ ½, - ½, +1, - 1, +3/2, –3/2, +2, –2, +3, –3, +4, –4, +6, –6, +12, –12}.Norėdami patvirtinti, kad rastos reikšmės iš tikrųjų yra daugianario lygties šaknis, pakeiskime kiekvieną reikšmę vietoje x lygties. Per algebrinis skaičiavimas, jei daugianario rezultatas yra nulis, taigi pakeistas skaičius iš tikrųjų yra lygties šaknis.
2x4 + 5x3 - 11x2 - 20x + 12 = 0
Jei x = + ½
2.(½)4 + 5.(½)3 – 11.(½)2 – 20.(½) + 12 = 0
Jei x = - ½
2.(– ½)4 + 5.(– ½)3 – 11.(– ½)2 – 20.(– ½) + 12 = 75/4
Nesustokite dabar... Po reklamos yra daugiau;)
Jei x = + 1
2.14 + 5.13 – 11.12 – 20.1 + 12 = – 12
Jei x = - 1
2.(– 1)4 + 5.(– 1)3 – 11.(– 1)2 – 20.(– 1) + 12 = 18
Jei x = + 3/2
2.(3/2)4 + 5.(3/2)3 – 11.(3/2)2 – 20.(3/2) + 12 = – 63/4
Už x = - 3/2
2.(– 3/2)4 + 5.(– 3/2)3 – 11.(– 3/2)2 – 20.(– 3/2) + 12 = 21/2
Jei x = + 2
2.24 + 5.23 – 11.22 – 20.2 + 12 = 0
Jei x = - 2
2.(– 2)4 + 5.(– 2)3 – 11.(– 2)2 – 20.(– 2) + 12 = 0
Jei x = + 3
2.34 + 5.33 – 11.32 – 20.3 + 12 = 150
Jei x = - 3
2.(– 3)4 + 5.(– 3)3 – 11.(– 3)2 – 20.(– 3) + 12 = 0
Jei x = + 4
2.44 + 5.43 – 11.42 – 20.4 + 12 = 588
Jei x = - 4
2.(– 4)4 + 5.(– 4)3 – 11.(– 4)2 – 20.(– 4) + 12 = 108
Jei x = + 6
2.64 + 5.63 – 11.62 – 20.6 + 12 = 3168
Jei x = - 6
2.(– 6)4 + 5.(– 6)3 – 11.(– 6)2 – 20.(– 6) + 12 = 1248
Jei x = + 12
2.124 + 5.123 – 11.122 – 20.12 + 12 = 48300
Jei x = - 12
2.(– 12)4 + 5.(– 12)3 – 11.(– 12)2 – 20.(– 12) + 12 = 31500
Todėl daugianario lygties šaknys 2x4 + 5x3 - 11x2 - 20x + 12 = 0 jie yra {– 3, – 2, ½, 2}. Per daugianario skilimo teorema, šią lygtį galėtume parašyti kaip (x + 3). (x + 2). (x - ½). (x - 2)= 0.
Autorius Amanda Gonçalves
Baigė matematiką
Ar norėtumėte paminėti šį tekstą mokykloje ar akademiniame darbe? Pažvelk:
RIBEIRO, Amanda Gonçalves. „Racionalių šaknų teorema“; Brazilijos mokykla. Yra: https://brasilescola.uol.com.br/matematica/teorema-das-raizes-racionais.htm. Žiūrėta 2021 m. Birželio 28 d.