Elipsė yra plokščia figūra, priskiriama a kūginis, nes ji galima gauti skyriuje plano kūgyje. Surasti plokščią figūrą su elipsės forma yra gana įprasta kasdieniame gyvenime. Jis buvo plačiai ištirtas paaiškinant planetų judėjimą aplink Saulę, nes šių žvaigždžių orbitos yra elipsės.
analitinė geometrija yra matematikos sritis, kuria siekiama apibūdinti algebrines geometrines figūras, įskaitant elipsė tiriama nuodugniai analitinėje geometrijoje, įmanoma jį apibūdinti naudojant lygtį, kurioje atsižvelgiama į jo elementus. Pagrindiniai elipsės elementai yra šie:
pagrindinė ašis
mažoji ašis
židinio nuotolis
židiniai F1 ir F2
Elipsę apibrėžiame kaip taškų rinkinį, kuriame šių taškų atstumo iki židinio F suma yra lygi1 ir sutelkti F2 jis visada yra pastovus.
Taip pat skaitykite: Kuo skiriasi plokščios ir erdvinės figūros?
Kas yra elipsė?
Mes žinome kaip elipsę plokščia figūra, kurią sudaro pjūvis tarp plokštumos ir kūgis, tokiu būdu:
Norėdami sukurti elipsę, tai reikia žinoti savo du židiniai
, F1 ir F2, taip pat pagrindinės ašies, kuri yra linija, jungianti elipsės galus, ilgis žemiau esančiame paveikslėlyje, kurį žymi A1 2.Pagrindinės ašies ilgis lygus 2a, taigi elipsė yra kreivė, kurią sudaro visi taškai Pne kur atstumo nuo taško iki pirmo židinio suma (dPneF1) su atstumu nuo taško iki antrojo židinio (dPneF2) visada yra pastovi ir lygi 2a.
dP1F1 + dP1F2 = dP2F1 + P2F2 = dP3F1 + dP3F2 = dA12 = 2-oji
Nesustokite dabar... Po reklamos yra daugiau;)
Elipsiniai elementai
Norint visiškai suprasti elipsės formavimąsi, būtina žinoti kiekvieną jos elementą. Jie yra židiniai, centras, pagrindinė ir antrinė ašys. Remiantis jais, galima atsekti svarbius elipsės santykius.
Elipsės centrą vaizduoja taškas O.
Jau F taškai1 ir F2 vaizduoja elipsės židinius.
taškai A1 ir2 yra horizontaliosios elipsės ašies galai ir taškai B1 ir B2 yra jos vertikaliosios ašies galai.
Atstumas tarp B1 ir B2 yra lygus 2b (elipsės ilgis ant mažosios ašies).
Atstumas tarp A1 ir2 yra lygus 2a (elipsės ilgis pagrindinėje ašyje).
Židinio nuotolis tarp F1 ir F2 yra lygus 2c.
Stebėjimas: Svarbu suvokti, kad F tęsinys1B1 kurio ilgis lygus pusei horizontalios ašies, tai yra, dF1B1 = a. Taigi analizuojant trikampį A taip pat įmanoma suvokti svarbų Pitagoro santykį1OB1. Atkreipkite dėmesį, kad jis yra a taisyklingas trikampis. Todėl galime pritaikyti Pitagoro teorema.
a² = b² + c²
Yra dar viena elipsės galimybė, kai ilgiausia ašis yra vertikali ašis. Šiuo atveju elementai lieka tie patys.
Šiuo atveju mes taip pat galime pritaikyti Pitagoro teoremą:
b² = a² + c²
Taip pat skaitykite: Kokie yra daugiakampio elementai?
Elipsės lygtis
Analiziškai elipsės tyrimas atliekamas Dekarto plokštuma. Analitine geometrija, naudojant lygtis, siekiama apibūdinti plokštumos geometrija. Taigi galima apibūdinti figūrą per vadinamąją elipsės lygtį.
Pirmiausia pateiksime elipsės, kurios židiniai yra x ašyje arba y ašyje, pavyzdžius, tai yra, elipsės kilmė sutampa su Dekarto plokštumos kilme.
Šiuo atveju yra dvi galimybės, kai pagrindinė ašis yra vertikali ašis, o kai pagrindinė yra horizontali ašis:
Stebėjimas: Židiniai visada yra ilgiausioje ašyje, taigi, jei a> b, židiniai yra horizontalioje ašyje, o jei b> a, jie yra vertikalioje ašyje.
Elipsės centras ne visada yra Dekarto plokštumos ištakose, kuris netrukdo sukurti ir pritaikyti elipsės lygtį šiam atvejui. Kai elipsė atskaitoma iš pradinės O (x0, y0), jo lygtį galima apibūdinti taip:
Taip pat skaitykite: Kokia yra sumažinta apskritimo lygtis?
Elipsės ekscentriškumas
Mes žinome kaip ekscentriškumąpriežastis tarp ilgio c ir pusės ilgiausios elipsės ašies ilgio. Darant prielaidą, kad ilgiausia ašis yra horizontali, ekscentriškumas apskaičiuojamas pagal:
Jei elipsė yra vertikalioje ašyje, ekscentrika bus apskaičiuojama pagal:
ekscentriškumas nurodo, kokia plokščia elipsė, kuo didesnė ekscentriškumo vertė, tuo arčiau apskritimo bus elipsė. Kadangi pagrindinės ašies ilgis visada yra didesnis nei židinio nuotolis, taigi ir c Kadangi elipsė turi suapvalintą formą, jos plotui apskaičiuoti naudojame pastoviąsias π ir taip pat pusės horizontalaus ir pusės vertikalaus ilgio matas, taigi, Mes privalome: A = abπ A: elipsės ilgis Pavyzdys: Apskaičiuokite elipsės plotą su židiniais horizontalioje ašyje, kurios ilgiausia ašis yra 50 cm, o mažiausia - 36 cm. Kadangi pagrindinė ašis yra horizontali, židiniai yra joje. Todėl turime: 2 = 50 a = 50/2 a = 25 Vertikalioje ašyje turime: 2b = 36 b = 36/2 b = 18 Taigi elipsės plotą nurodo: A = abπ A = 25 · 18π A = 450π cm² Klausimas 1 - Analizuojant žemiau esančią elipsę, alternatyva, kurioje yra židinio nuotolis, yra: A) 5 Rezoliucija E alternatyva. Židinio nuotolis yra lygus 2c, be to, a = 8 ir b = 6. Kadangi židiniai yra x ašyje, turime: Kadangi židinio nuotolis yra lygus 2c, tada 2c = 8√3. 2 klausimas - (IFB) Atsižvelgdami į elipsę, kurios centre yra centras, židiniai vienoje iš koordinačių ašių ir einantys per taškus (5, 0) ir (0, 13), nustatykite elipsės židinius. a) (13, 0) ir (-13, 0) Rezoliucija D alternatyva Atkreipkite dėmesį, kad jis eina per tašką (0, 13), kuris rodo, kad b = 13, ir taip pat, kad jis eina per tašką (5.0) a = 5. Kaip b> a, mes turime: b² = a² + c² Kadangi b yra didesnis, dėmesys nukreipiamas į vertikalią ašį, ty (0, 12) ir (0, -12). Autorius Raulas Rodriguesas de Oliveiraelipsės plotas
a: pusė horizontalios ašies ilgio
b: pusė vertikaliosios ašies ilgio
sprendė pratimus
B) 4√3
C) 4
D) 16
E) 8√3
b) (0, 13) ir (0, -13)
c) (12, 0) ir (-12, 0)
d) (0, 12) ir (0, -12)
e) (5, 0) ir (-5, 0)
13² = 5² + c²
169 = 25 + c²
169 - 25 = c²
144 = c²
c = √144
c = 12
Matematikos mokytoja
