O Paskalio trikampis tai gana senas matematikos įrankis. Per visą istoriją jis gavo keletą pavadinimų, tačiau šiandien jie yra labiausiai priimti aritmetinis trikampis ir Paskalio trikampis. Antrasis vardas yra duoklė matematikui, kuris keletą kartų prisidėjo prie šio trikampio tyrimo. reiškia, kad trikampis buvo jo sugalvotas, tačiau jis buvo tas, kuris giliau tai išnagrinėjo įrankis.
Iš Paskalio trikampio savybių galima jį sukonstruoti logiškai. Taip pat išsiskiria jūsų santykiai su deriniai tyrė kombinatorinę analizę. Paskalio trikampio terminai taip pat atitinka binominius koeficientus, todėl jie yra labai naudingi apskaičiuojant bet kurį Niutono binomą.
Taip pat skaitykite: „Briot-Ruffini“ įrenginys - polinomų padalijimo metodas
Pascalo trikampio konstrukcija
Paskalio trikampis gaunamas iš derinių rezultato, tačiau yra praktinis metodas, palengvinantis jo sukūrimą. Pirmoji eilutė ir pirmasis stulpelis skaičiuojami kaip nulis ir stulpelis nulis. Galime naudoti tiek eilučių, kiek reikia šioje konstrukcijoje trikampis gali turėti begalines linijas. Eilučių išdėstymo samprotavimai visada yra vienodi. Pažvelk:
Mes tai žinome trikampio terminai yra deriniai, mokėsi kombinatorinė analizė. Norėdami pakeisti Paskalio trikampį skaitinėmis reikšmėmis, žinome, kad skaičiaus su nuliu ir skaičiaus su savimi deriniai visada yra lygūs 1. Todėl pirmoji ir paskutinė reikšmės visada yra 1.
Norėdami rasti kitus, mes pradedame nuo 2 eilutės, nes 0 ir 1 eilutės jau baigtos. 2 eilutėje, norėdami rasti derinį nuo 2 iki 1, viršuje esančioje eilutėje, ty 1 eilutėje, pridėkime virš jo esantį terminą tame pačiame stulpelyje ir virš jo esantį terminą ankstesniame stulpelyje, kaip parodyta paveikslėlyje :
Pastačius 2 liniją, galima pastatyti 3 liniją atliekant tą pačią procedūrą.
Tęsdami šią procedūrą, rasime visus terminus - šiuo atveju iki 5 eilutės -, tačiau įmanoma pastatyti tiek linijų, kiek reikia.
Paskalio trikampio savybės
Yra šiek tiek Pascalo trikampio savybes, dėl jo konstrukcijos taisyklingumo. Šios savybės yra naudingos dirbant su deriniais, konstruojant pačią trikampio linijas ir linijų, stulpelių ir įstrižainių sumą.
1-asis turtas
Pirmasis turtas buvo tas, kurį mes panaudojome trikampio statybai. Taigi raskite terminą Paskalio trikampyje, tiesiog pridėkite terminą, esantį eilutėje virš jo, ir tą patį stulpelį su terminu, kuris yra stulpelyje ir eilutėje prieš jį. Ši nuosavybė gali būti pavaizduota taip:
Ši nuosavybė yra žinoma kaip Stifelio santykiai ir svarbu palengvinti trikampio konstrukciją ir rasti kiekvienos tiesės vertes.
Nesustokite dabar... Po reklamos yra daugiau;)
2-asis turtas
Visų eilės terminų sumą apskaičiuoja:
sne=2ne, ant ko ne yra eilutės numeris.
Pavyzdžiai:
Su šia savybe įmanoma žinoti visų eilutėje esančių terminų suma nebūtinai konstruojant Paskalio trikampį. Pavyzdžiui, 10 eilutės sumą galima apskaičiuoti 210 = 1024. Nors ne visi terminai yra žinomi, jau galima žinoti visos eilutės suminę vertę.
3-asis turtas
Tų sekų terminų suma nuo tam tikro stulpelio pradžios P iki tam tikros linijos ne yra tas pats, kas eilutėje esantis terminas n +1 nugara ir stulpelis p +1 vėliau, kaip parodyta žemiau:
4-oji nuosavybė
Įstrižainės, prasidedančios 0 stulpelyje, einančios į p stulpelio ir n eilutės terminą, suma lygi to paties stulpelio (p), bet žemiau esančios eilutės (n + 1) terminui, kaip parodyta paveikslėlyje :
5-asis turtas
Pascalo trikampio linijose yra simetrija. Pirmasis ir antrasis terminai yra lygūs, antrasis ir priešpaskutinis - lygūs ir t.
Pavyzdys:
6 eilutė: 1615 20 156 1.
Atkreipkite dėmesį, kad terminai yra lygūs du arba du, išskyrus centrinį terminą.
Taip pat žiūrėkite: Polinomo padalijimas: kaip jį išspręsti?
Niutono binomalas
Apibrėžiame Niutono binomialą a vieno galia daugianario kuris turi du terminus. Dvejetainio skaičiavimas yra susijęs su Paskalio trikampiu, kuris tampa mechanizmu apskaičiuoti tai, ką mes vadiname binominiais koeficientais. Norėdami apskaičiuoti binomą, mes naudojame šią formulę:
Atkreipkite dėmesį, kad rodiklio reikšmė The jis mažėja, kol paskutinę kadenciją jis yra lygus The0. Mes žinome, kad kiekvienas skaičius, pakeltas iki 0, yra lygus 1, taigi terminas The nepasirodo paskutinę kadenciją. Taip pat atkreipkite dėmesį, kad B prasideda B0, netrukus B neatsiranda pirmą kadenciją ir didėja, kol pasieks Bne, paskutinę kadenciją.
Be to, skaičius, lydimas kiekvieno termino, yra tas, kurį mes vadiname koeficientu - šiuo atveju žinomu kaip binominis koeficientas. Norėdami geriau suprasti, kaip išspręsti tokio tipo binomą, pasiekite mūsų tekstą: Niutono binomalas.
binominis koeficientas
Binominis koeficientas yra ne kas kita, kaip derinys, kurį galima apskaičiuoti pagal formulę:
Tačiau norint palengvinti Niutono binomo skaičiavimą, būtina naudoti Paskalio trikampį, nes jis mums greičiau suteikia derinio rezultatą.
Pavyzdys:
Norėdami rasti binominio koeficiento rezultatą, suraskime Paskalio trikampio 5 eilutės reikšmes, kurios yra {1,5,10,10,5,1}.
(x + y)5= 1x5+ 5x4y + 10x3y2+ 10x2y3 + 5xy4+ 1m5
Paprasčiau pasakius:
(x + y)5= x5+ 5x4y + 10x3y2+ 10x2y3 + 5xy4+ y5
sprendė pratimus
Klausimas 1 - Žemiau pateiktos išraiškos vertė yra?
A) 8
B) 16
C) 2
D) 32
E) 24
Rezoliucija
Alternatyva A.
Perskirstydami teigiamas ir neigiamas vertes, turime:
Atkreipkite dėmesį, kad mes iš tikrųjų apskaičiuojame Pascalo trikampio atimimą tarp 4 ir 3 tiesių. Pagal turtą mes žinome, kad:
s4 = 24 = 16
s3= 23 = 8
16 – 8 = 8.
2 klausimas - Kokia žemiau esančios išraiškos vertė?
A) 32
B) 28
C) 256
D) 24
E) 54
Rezoliucija
B alternatyva.
Atkreipkite dėmesį, kad pridedame terminus iš Paskalio trikampio 1 stulpelio į 7 eilutę, tada prie 3-osios nuosavybės, šios sumos vertė yra lygi terminui, kuris užima 7 + 1 eilutę ir 1 + 1 stulpelį, t. y. 8 eilutę, 2 stulpelis. Kadangi mes norime tik vienos vertės, sukonstruoti visą Paskalio trikampį nėra patogu.
Autorius Raulas Rodriguesas de Oliveira
Matematikos mokytoja
