Tyrimas apie skaitiniai rinkiniai yra viena iš pagrindinių matematikos sričių, nes jos yra labai svarbios teorinei šios srities plėtrai ir turi keletą praktinių pritaikymų. Skaitmeninius rinkinius sudaro:
- natūralūs skaičiai;
- sveikieji skaičiai;
- racionalūs numeriai;
- iracionalūs skaičiai;
- tikrieji skaičiai; ir
- kompleksiniai skaičiai.
Skaityti daugiau: Pirminiai skaičiai - skaičiai, turintys tik 1 ir patys kaip dalikliai
Natūraliųjų skaičių rinkinys
Pirmųjų civilizacijų raida atnešė žemės ūkio ir prekybos tobulėjimą, taigi ir skaičių naudojimas skaičiams atspindėti. Pirmasis rinkinys atsirado natūraliai, todėl kilo jo pavadinimas. Natūralusis įvardytasis rinkinys naudojamas nurodyti dydžius, jis žymimas simbolis ℕ ir parašyta sekos forma. Pažvelk:
O skaičių rinkinys naturayra é begalinis ir uždaras operacijoms papildymas ir dauginimas, tai yra, kai pridedame arba padauginame du natūralius skaičius, atsakymas vis tiek yra natūralus. Tačiau atimties operacijai ir padalijimas, rinkinys nėra uždarytas. Pažvelk:
5 – 6 = –1
3 ÷ 2 = 0,5
Atkreipkite dėmesį, kad skaičiai –1 ir 0,5 jie nepriklauso natūraliųjų rinkiniui, ir tai yra naujų skaičių rinkinių kūrimo ir tyrimo pagrindimas.
Nesustokite dabar... Po reklamos yra daugiau;)
Be to, įdėdami žvaigždutę (*) į natūralios aibės simbolį, turime iš sąrašo pašalinti skaičių nulis, žr .:
nustatyti sveiki skaičiai
Visas nustatytas skaičius sugalvojo reikia atlikti operaciją atimtis jokių apribojimų. Kaip matėme, kai iš didesnio atimamas mažesnis skaičius, atsakymas nepriklauso natūralių žmonių grupei.
Sveikųjų skaičių rinkinį taip pat vaizduoja begalinė skaitinė seka ir žymi simbolis ℤ.
Kaip ir natūralių skaičių rinkinyje, dedant žvaigždutę į simbolį isk, elementas nulis pašalinamas iš aibės taip:
Kartu su skaičiumi esantis simbolis (-) rodo, kad jis yra simetriškas, taigi skaičiaus 4 simetras yra skaičius –4. Taip pat atkreipkite dėmesį, kad natūraliųjų skaičių aibė yra sveikųjų skaičių aibėje, tai yra, natūraliųjų skaičių aibė yra sveikųjų skaičių aibės pogrupis.
ℕ ⸦ ℤ
Taip pat skaitykite: Operacijos su sveikaisiais skaičiais - kas tai yra ir kaip apskaičiuoti?
racionaliųjų skaičių aibė
O racionaliųjų skaičių aibė é vaizduojamas simboliu ℚ ir nėra vaizduojamas skaitmenine seka. Šį rinkinį sudaro visi skaičiai, kuriuos galima pateikti kaip trupmeną. Mes atstovaujame jo elementams taip:
Mes žinome, kad kiekvieną sveikąjį skaičių gali atspindėti a trupmena, tai yra sveikųjų skaičių aibė yra racionaliųjų skaičių rinkinyje, taigi, sveikųjų skaičių aibė yra racionaliųjų dalių pogrupis.
ℕ ⸦ ℤ ⸦ ℚ
Skaičiai, kurių atvaizdavimas yra begalinis, pvz periodinės dešimtinės, taip pat turi vaizdą trupmenos pavidalu, taigi jie taip pat yra racionalūs.
Taip pat skaitykite: Operacijos su trupmenomis - žingsnis po žingsnio, kaip jas išspręsti
Iracionalių skaičių aibė
Kaip matėme, skaičius yra racionalus, jei jį galima parašyti kaip trupmeną. Taip pat buvo sakoma, kad begaliniai ir periodiniai skaičiai yra racionalūs, tačiau yra keletas skaičių negalima rašyti trupmenos pavidalu ir kurie todėl nepriklauso racionaliųjų skaičių aibei.
Šie neracionalūs skaičiai yra vadinami neracionalus ir turi pagrindines savybes dešimtainės dalies begalybė ir ne dažnis, tai yra, skaičius dešimtainėje dalyje nesikartoja. Žr. Keletą pavyzdžių iracionalūs skaičiai.
- 1 pavyzdys
Skaičių, kurios nėra tobulos, kvadratinės šaknys.
- 2 pavyzdys
Konstantos, atsirandančios dėl specialių priežasčių, tokių kaip aukso skaičius, Eulerio skaičius arba Pi.
Realiųjų skaičių rinkinys
O realiųjų skaičių rinkinys vaizduojamas simboliu ℝ ir yra sudarytas iš vienybėracionaliųjų skaičių aibės su iracionaliųjų skaičių aibe. Atminkite, kad racionaliųjų rinkinys yra natūraliųjų ir sveikųjų skaičių aibių sąjunga.
Kai tiesėje išdėstome realiuosius skaičius, turime tai, kad skaičius nulis yra tiesės pradžia, dešinėje nuo nulio bus teigiami skaičiai, o kairėje - neigiami skaičiai.
Kadangi ši ašis yra reali, galime pasakyti, kad tarp dviejų skaičių yra begaliniai skaičiai ir kad ši ašis yra begalinė tiek teigiama kryptis kai yra neigiama kryptis.
Kompleksinių skaičių rinkinys
O kompleksinis skaičių rinkinys tai paskutinis ir jis atsirado dėl tos pačios priežasties, kaip ir sveikųjų skaičių aibė, tai yra operacija, kurios plėtoti negalima tik naudojant realiųjų rinkinį.
Spręsdami šią lygtį, pamatykite, kad ji neturi sprendimo, žinodami tik realiuosius skaičius.
x2 + 1 = 0
x2 = –1
Atkreipkite dėmesį, kad mes turime rasti skaičių, kada pakeltidO kvadratu, gaunamas neigiamas skaičius. Mes tai žinome bet koks skaičius kvadratu visada yra teigiamas, todėl šis skaičiavimas neturi realaus sprendimo.
Taip buvo sukurti kompleksiniai skaičiai, kuriuose turime a įsivaizduojamas skaičius žymima i, kurio vertė yra tokia:
Taigi, supraskite, kad lygtis kad anksčiau neturėjo jokio sprendimo dabar. Patikrinkite:
Skaityti daugiau: Savybės, susijusios su sudėtingais skaičiais
faktiniai intervalai
Kai kuriais atvejais mes nenaudosime kiekvienos tikrosios ašies, tai yra, naudosime jos dalis, kurios bus vadinamos pertraukos. Šie intervalai yra realiųjų skaičių aibės pogrupiai. Tada nustatysime keletą šių pogrupių žymėjimų.
Uždaras diapazonas - neįtraukiant kraštutinumų
Intervalas uždaromas, kai jis turi du kraštutinumus, tai yra minimalus ir maksimalus, o šiuo atveju - kraštutinumai nepriklauso diapazonui. Tai pažymėsime naudodami atvirą kamuolį. Pažvelk:
Raudonai yra skaičiai, priklausantys šiam diapazonui, tai yra, skaičiai didesnis nei a ir mažesnis nei b. Algebriškai mes rašome tokį intervalą taip:
< x
Kur skaičius x yra visi realieji skaičiai, esantys šiame diapazone. Mes taip pat galime jį simboliškai pavaizduoti. Pažvelk:
]; B [ arba (The; B)
Uždaras diapazonas - įskaitant kraštutinumus
Dabar tam naudokime uždarus kamuoliukus kraštutinumai priklauso diapazonui.
Taigi mes renkame realius skaičius, kurie yra tarp a ir b, įskaitant juos. Algebrine prasme mes išreiškiame tokį intervalą:
≤ xb
Naudodami simbolinę žymėjimą turime:
[The; B]
Uždaras diapazonas - įskaitant vieną iš kraštutinumų
Vis dar nagrinėdami uždarus intervalus, dabar turime atvejį įtraukiamas tik vienas iš kraštutinumų. Todėl viena iš rutuliukų bus uždaryta, nurodant, kad skaičius priklauso diapazonui, o kitas - ne, nurodant, kad skaičius nepriklauso tam diapazonui.
Algebriniu požiūriu mes šį diapazoną vaizduojame taip:
≤ x
Simboliškai turime:
[The; B [ arba [The; B)
Atviras diapazonas - be galo
Diapazonas atidaromas, kai neturi maksimalaus ar mažiausio elemento. Dabar pamatysime atviro diapazono atvejį, kuriame yra tik maksimalus elementas, kuris nėra įtrauktas į diapazoną.
Pažiūrėkite, ar diapazonas susideda iš realieji skaičiai mažesni neiB, taip pat atkreipkite dėmesį į tai diapazonui nepriklausantis skaičius b (atviras rutulys), taigi algebriškai intervalą galime pateikti:
x
Simboliškai mes galime tai pavaizduoti:
] – ∞; B [ arba (– ∞; B)
Atviras diapazonas - įskaitant kraštutinį
Kitas atviro diapazono pavyzdys yra atvejis, kai įtraukiamas kraštutinumas. Čia mes turime diapazoną, kuriame rodomas minimalus elementas, žr .:
Atkreipkite dėmesį, kad visi realieji skaičiai yra didesni arba lygūs skaičiui a, todėl šį diapazoną galime parašyti algebriniu būdu:
xį
Simboliškai turime:
[The; +∞[ arba [The; +∞)
atviras diapazonas
Kitas atviro diapazono atvejis yra suformuotas skaičiai didesni ir mažesni už skaičius, užfiksuotus tikrojoje linijoje. Pažvelk:
Atkreipkite dėmesį, kad šiam diapazonui priklausantys tikrieji skaičiai yra mažesni ar lygūs skaičiui a arba didesni už skaičių b, todėl turime:
x į arbax > b
Simboliškai turime:
] – ∞; a] U] b; + ∞[
arba
(– ∞; a] U (b; + ∞)
pateikė Robsonas Luizas
Matematikos mokytoja
