O Veno diagrama, taip pat žinomas kaip Venno-Eulerio diagrama, yra a rinkinio diagramos būdas, tam mes naudojame uždarą liniją, kuri neturi susikirtimo, ir mes atstovaujame aibės elementus šios linijos viduje. Diagramos idėja yra palengvinti supratimą pagrindinės rinkinio operacijos, pavyzdžiui: įtraukimo ir priklausymo santykiai, susivienijimas ir susikirtimas, skirtumas ir papildomas rinkinys.
Skaityk ir tu: Operacijos tarp sveikųjų skaičių: žinokite savybes
Venno diagramos vaizdai
Kaip parodyta, Venno diagrama susideda iš uždaros (nesusipinančios) linijos, ant kurios mes „dedame“ nagrinėjamo rinkinio elementus, kad galėtume atstovauja vieną ar kelis rinkinius tuo pačiu metu. Žr. Pavyzdžius:
• Vienkartinis rinkinys
Mes galime jums atstovauti naudodamiesi viena uždara linija, pavyzdžiui, atvaizduokime aibę A = {1, 3, 5, 7, 9}:
• Tarp dviejų rinkinių
Turime sudaryti du grafikus, panašius į vieną rinkinį. Tačiau iš operacijų su aibėmis žinome, kad: turint du rinkinius, jie gali ir nesikirsti. Jei abi aibės nesikerta, jos pavadinamos nesusiję rinkiniai.
1 pavyzdys
Pagal Venno diagramą nubraižykite aibes A = {a, b, c, d, e, f} ir B = {d, e f, g, h, i}.
Atkreipkite dėmesį, kad sankirta yra diagramos dalis, priklausanti dviem rinkiniams, kaip ir apibrėžime.
A ∩ B = {d, e, f}
2 pavyzdys
Nubraižykite aibes C = {a, b, c, d} ir D = {e, f, g, h}.
Atkreipkite dėmesį, kad šių rinkinių sankirta yra tuščia, nes joje nėra elemento, kuris vienu metu priklausytų abiem, ty:
C ∩ D = {}
• Tarp trijų rinkinių
Atstovavimo, naudojant trijų rinkinių Venno diagramą, idėja yra panaši į vaizdavimą tarp dviejų rinkinių. Šia prasme rinkiniai gali būti atskirti po vieną, tai yra, jie neturi jokios sankirtos; arba jie gali būti du po du nesusiję, tai yra, tik du iš jų susikerta; arba visi susikerta.
Pavyzdys
Aibių A = {a, b, c, d}, B = {d, e, f, g} ir C = {d, e, c, h} vaizdavimas naudojant Venno diagramą.
Taip pat žiūrėkite: Svarbūs rinkinio žymėjimai
Nesustokite dabar... Po reklamos yra daugiau;)
narystės santykiai
Narystės santykiai leidžia mums pasakyti, ar elementas priklauso tam tikram rinkiniui, ar ne. Tam mes naudojame simbolius:
Apsvarstykite aibę A = {a, b, c, d}. Analizuodami tai suprantame g, pavyzdžiui, nepriklauso jam, todėl Venno diagramoje turime:
Įtraukimo santykis
Įtraukimo santykis leidžia mums pasakyti ar rinkinys yra kitame rinkinyje, ar ne. Kai rinkinys yra kitame, mes sakome, kad jis yra a pogrupis. Tam mes naudojame simbolius:
To pavyzdys yra ryšys tarp rinkinio natūralieji skaičiai ir rinkinys Sveiki skaičiai. Mes žinome, kad natūralių skaičių aibė yra sveikųjų skaičių rinkinio pogrupis, tai yra, natūraliųjų rinkinys yra sveikųjų skaičių rinkinyje.
Operacijos tarp rinkinių
Pagrindinės operacijos tarp dviejų ar daugiau rinkinių yra: vienybė, sankryža ir skirtumas tarp dviejų rinkinių.
• Sąjunga
Dviejų aibių sąjunga susidaro sujungiant kiekviename rinkinyje esančius elementus, kitaip tariant: atsižvelgiama į visus dviejų rinkinių elementus. Pažvelk:
Apsvarstykite rinkinius A = {1, 2, 3, 4} ir B = {3, 4, 5, 6, 7}. Sąjungą tarp jų suteikia:
A U B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
Venno diagramoje mes užtemdėme jungties dalį, ty abu rinkinius, patikrinkite:
• sankirta
Sankirta yra nauja skaitinė aibė, kurią sudaro elementai, vienu metu priklausantys kitoms aibėms. Paprastai sakant, aibių susikirtimas Venno diagramoje pateikiamas bendroje grafikoje. Pažvelk:
Dar kartą atsižvelgdami į rinkinius A = {1, 2, 3, 4} ir B = {3, 4, 5, 6, 7}, turime tai, kad elementai, priklausantys rinkiniui A ir rinkiniui B, tuo pačiu metu yra :
A ∩ B = {3,4}
• Skirtumas tarp dviejų rinkinių
Apsvarstykite du rinkinius C ir D, skirtumas tarp jų (C - D) bus naujas rinkinys, kurį sudarys elementai, priklausantys C, o nepriklausantys D. Apskritai mes galime parodyti šį skirtumą, naudodami Venno diagramą, taip:
sprendė pratimus
Klausimas 1 - (Ufal) Šiame paveiksle pavaizduoti nesuskaidyti rinkiniai A, B ir C. Spalvotas regionas reiškia rinkinį:
a) C - (A ∩ B)
b) (A ∩ B) - C
c) (A U B) - C
d) A U B U C
e) A ∩ B ∩ C
Sprendimas
B alternatyva.
Prisimindami operacijas su aibėmis, žinome, kad dviejų aibių susikirtimą Venno diagramoje suteikia jiems bendra dalis. Atsižvelgdami į rinkinius A, B ir C ir nuspalvindami aibės sankirtą A ∩ B, turime:
Pavadinimas: 1 sprendimo klausimas - 1 dalis
Atkreipkite dėmesį, kad jei pašalinsime elementus iš rinkinio C, gausime spalvotą dalį, kurios reikalauja pratimas, tai yra, pirmiausia turime pabrėžti sankryžą, o tada pašalinti elementus iš C.
(A ∩ B) - C
2 klausimas - (Uerj) Mokyklos vaikai dalyvavo skiepijimo kampanijoje nuo kūdikių paralyžiaus ir tymų. Po kampanijos buvo nustatyta, kad 80% vaikų gavo paralyžiaus vakciną, 90% - tymų vakciną ir 5% - nė vieno.
Nustatykite procentą šios mokyklos vaikų, kurie gavo abi vakcinas.
Sprendimas
Kadangi abiejų vakcinų vartojusių vaikų procentinė dalis nežinoma, iš pradžių pavadinkime tai x. Atminkite, kad mes neturime veikti su simboliu%, bet pratimų procentus užrašykite dešimtainiu arba trupmeniniu pavidalu.
80 % → 0,8
90% → 0,9
5% → 0,05
100% → 1
Norėdami sužinoti bendrą vaikų, vartojusių tik paralyžiaus vakciną, skaičių, mes atėmėme patikrintą procentą (80%) procentų tų, kurie vartojo abu (x), ir tas pats turėtų būti daroma vaikams, kurie skiepijo tik vakciną nuo tymai. Taigi:
Sujungus visus vaikus, procentas bus 100%, todėl:
0,9 - x + x + 0,8 - x + 0,05 = 1
1,75 - x = 1
- x = 1 - 1,75
(–1) · - x = - 0,75 · (–1)
x = 0,75
x = 75%
Todėl 75% mokyklos vaikų turėjo abu skiepus.
Autorius L.do Robsonas Luizas
Matematikos mokytoja
