Kas yra kompleksiniai skaičiai?

Iki XVI amžiaus vidurio tokios lygtys kaip x² - 6x + 10 = 0 paprasčiausiai buvo laikomi „jokio sprendimo“. Taip buvo todėl, kad pagal Bhaskaros formulę, sprendžiant šią lygtį, gautas rezultatas būtų:

Δ = (–6)² – 4·1·10
Δ = 36 – 40
Δ = – 4

x = –(– 6) ± √– 4
2·1

x = 6 ± √– 4
2

Problema buvo rasta √– 4, kuri neturi sprendimų realiųjų skaičių aibėje, tai yra ne yra tikrasis skaičius, kurį padauginus iš jo gaunamas √– 4, nes 2 · 2 = 4 ir (–2) (- 2) = 4.

1572 m. Rafaelis Bombelli užsiėmė x lygties sprendimu³ - 15x - 4 = 0 pagal Cardano formulę. Pagal šią formulę daroma išvada, kad ši lygtis neturi tikrų šaknų, nes ją reikia apskaičiuoti √– 121. Tačiau po kelių bandymų įmanoma rasti, kad 4³ - 15 · 4 - 4 = 0, todėl x = 4 yra šios lygties šaknis.

Atsižvelgdamas į tai, kad egzistuoja tikros šaknys, kurių neišreiškia Cardano formulė, Bombelliui kilo mintis kad √– 121 rezultatas būtų √ (- 11 · 11) = 11 · √– 1 ir tai gali būti „nereali“ lygties šaknis studijavo. Taigi √– 121 būtų naujo tipo skaičiaus, sudarančio kitas nepagrįstas šios lygties šaknis, dalis. Taigi lygtis x

³ - 15x - 4 = 0, turintis tris šaknis, x = 4 būtų tikroji šaknis ir dvi kitos šaknys, priklausančios šiam naujo tipo skaičiui.

XVIII amžiaus pabaigoje Gausas šiuos skaičius įvardijo kaip kompleksiniai skaičiai. Tuo metu sudėtingi skaičiai jau įgavo formą a + bi, su i = √– 1. Be to, The ir B jie jau buvo laikomi Dekarto plokštumos, žinomos kaip Argando-Gauso plokštuma, taškais. Taigi kompleksinio skaičiaus Z = a + bi geometrinis atvaizdas yra Dekarto plokštumos taškas P (a, b).

Todėl posakis „kompleksiniai skaičiai“Pradėta naudoti atsižvelgiant į skaičių rinkinį, kurio atstovai yra: Z = a + bi, su i = √– 1 ir su The ir B priklausančių realiųjų skaičių aibei. Šis atvaizdavimas vadinamas kompleksinio skaičiaus Z algebrinė forma.

Kadangi sudėtingi skaičiai formuojami dviem realiaisiais skaičiais ir vienas iš jų padauginamas iš √– 1, šiems tikriesiems skaičiams suteiktas specialus vardas. Atsižvelgiant į kompleksinį skaičių Z = a + bi, a yra „tikroji Z dalis“, o b yra „įsivaizduojama Z dalis“.. Matematiškai galime rašyti atitinkamai: Re (Z) = a ir Im (Z) = b.

Kompleksinio skaičiaus modulio idėja kristalizuojama analogiškai realiojo skaičiaus modulio idėjai. Atsižvelgiant į tašką P (a, b) kaip kompleksinio skaičiaus Z = a + bi geometrinį vaizdą, atstumas tarp taško P ir taško (0,0) nurodomas taip:

| Z | = √(The² + b²)

Antrasis būdas pateikti sudėtingus skaičius yra Poliarinė arba trigonometrinė forma. Ši forma savo sudėtyje naudoja kompleksinio skaičiaus modulį. Kompleksinį skaičių Z, algebriniu požiūriu Z = a + bi, poliarine forma galima pavaizduoti taip:

Z = | Z | · (cosθ + icosθ)

Įdomu pažymėti, kad Dekarto plokštumą apibrėžia dvi stačiakampės tiesės, žinomos kaip x ir y ašys. Mes žinome, kad realius skaičius galima pavaizduoti tiese, ant kurios dedami visi racionalieji skaičiai. Likę tarpai užpildyti iracionaliais skaičiais. O realieji skaičiai yra vienoje linijoje, vadinamoje X ašis nuo Dekarto plokštumos visi kiti šiai plokštumai priklausantys taškai būtų skirtumas tarp kompleksinių skaičių ir tikrųjų skaičių. Taigi realiųjų skaičių aibė yra sudėtinių skaičių aibėje.

Autorius Luizas Paulo Moreira
Baigė matematiką

Šaltinis: Brazilijos mokykla - https://brasilescola.uol.com.br/o-que-e/matematica/o-que-sao-numeros-complexos.htm