aritmetinė progresija (AP) yra skaitinė seka kad mes naudojame tam tikrų matematikos reiškinių elgesiui apibūdinti. PA, augimas ar irimas visada yra pastovus, tai yra, iš vieno termino į kitą, skirtumas visada bus tas pats, ir šis skirtumas yra žinomas kaip priežastis.
Dėl to nuspėjamas progreso elgesys, galite jį apibūdinti pagal formulę, žinomą kaip bendras terminas. Dėl tos pačios priežasties taip pat galima apskaičiuoti PA sąlygų sumą naudojant konkrečią formulę.
Taip pat skaitykite: Geometrinė progresija - kaip apskaičiuoti?
Kas yra PA?
Supratimas, kad PA yra terminų seka, kurioje skirtumas tarp termino ir jo ankstesnio visada yra pastovus, norėdami apibūdinti šią progresiją pagal formulę, turime rasti pradinį terminą arba tai yra pirmasis progresijos terminas ir jo priežastis, kuri yra šis nuolatinis skirtumas tarp terminai.
Paprastai kalbant, PA rašoma taip:
(1, a2,3, a4,5, a6,7, a8)
Pirmasis terminas yra a1 ir nuo jo iki papildyti priežastis r, rasime tolesnius terminus.
The1 + r = a2
The2 + r = a3
The3 + r = a4
...
Taigi, norėdami parašyti aritmetinę progresiją, turime žinoti, kas ir kodėl yra pirmasis jos terminas.
Pavyzdys:
Parašykime pirmuosius šešis AP terminus žinodami, kad jo pirmasis terminas yra 4, o jo santykis lygus 2. žinant1 = 4 ir r = 2, darome išvadą, kad ši progresija prasideda nuo 4 ir padidėja nuo 2 iki 2. Todėl galime apibūdinti jo terminus.
The1 = 4
The2 = 4+ 2 = 6
The3 = 6 + 2 = 8
The4 = 8 + 2 = 10
The5= 10 + 2 = 12
The6 = 12 + 2 =14
Šis BP yra lygus (4,6,8,10,12,14…).
Bendrasis PA terminas
Aprašant PA pagal formulę, mums lengva rasti bet kurį jos terminą. Norėdami rasti bet kurį AP terminą, mes naudojame šią formulę:
Thene= a1 + r · (n-1) |
N → yra termino padėtis;
The1→ yra pirmasis terminas;
r → priežastis.
Pavyzdys:
Rask tai bendrasis PA terminas (1,5,9,13,…) ir 5, 10 ir 23 kadencijas.
1 žingsnis: rasti priežastį.
Norėdami rasti santykį, tiesiog apskaičiuokite skirtumą tarp dviejų iš eilės einančių terminų: 5 - 1 = 4; tada šiuo atveju r = 4.
2 žingsnis: rasti bendrą terminą.
Iš kur mes žinome, kad1= 1 ir r = 4, pakeiskime formulę.
Thene= a1 + r (n - 1)
Thene= 1 + 4 (n - 1)
Thene= 1 + 4n - 4
Thene= 4n - 3 → bendras PA terminas
3 žingsnis: žinodami bendrą terminą, paskaičiuokime 5, 10 ir 23 terminus.
5-oji kadencija → n = 5
Thene= 4n - 3
The5=4·5 – 3
The5=20 – 3
The5=17
10-oji kadencija → n = 10
Thene= 4n - 3
The10=4·10 – 3
The10=40 – 3
The10=37
23-oji kadencija → n = 23
Thene= 4n - 3
The23=4·23 – 3
The23=92 – 3
The23=89
Aritmetinės progresijos tipai
Yra trys PA galimybės. Tai gali būti didėjanti, mažėjanti ar pastovi.
Auga
Kaip rodo pavadinimas, aritmetinė progresija didėja, kai didėjant terminams, didėja ir jų vertė., tai yra, antrasis terminas yra didesnis už pirmąjį, trečiasis yra didesnis už antrąjį ir t.
The1 2 3 4 < …. ne
Kad tai įvyktų, santykis turi būti teigiamas, ty PA didėja, jei r> 0.
Pavyzdžiai:
(2,3,4,5,6,7,8,9 …)
(0,5,10,15,20,25...)
leidžiantis žemyn
Kaip rodo pavadinimas, aritmetinė progresija mažėja, kai didėjant terminams, jų vertė mažėja, tai yra, antrasis terminas yra mažesnis nei pirmasis, trečiasis yra mažesnis nei antrasis ir t.
The1 >2 >3 >4 > …. >ne
Kad tai įvyktų, santykis turi būti neigiamas, ty PA didėja, jei r <0.
Pavyzdžiai:
(10,9,8,7,6,5,4,3,2, …)
(0, -5, -10, -15, -20, …)
Nuolatinis
Aritmetinė progresija yra pastovi, kai terminams didėjant, vertė išlieka ta pati., tai yra, pirmasis terminas yra lygus antrajam, kuris yra lygus trečiajam ir t.
The1 =2 =3 =4 = …. = ane
Kad PA būtų pastovus, santykis turi būti lygus nuliui, tai yra, r = 0.
Pavyzdžiai:
(1,1,1,1,1,1,1….)
(-2, -2 -2, -2, …)
Taip pat žiūrėkite: PG sąlygų sandauga - kokia yra formulė?
PA savybės
1-asis turtas
Atsižvelgiant į bet kurį PA terminą, vidutinis aritmetika tarp jo įpėdinio ir pirmtako yra lygus tam terminui.
Pavyzdys:
Apsvarstykite progresavimą (-1, 2, 5, 8, 11) ir terminą 8. Vidutinis tarp 11 ir 5 yra lygus 8, tai yra, įpėdinio su skaičiaus pirmtaku suma PA visada lygi šiam skaičiui.
2-asis turtas
Vienodų atstumų terminų suma visada lygi.
Pavyzdys:
PA sąlygų suma
Tarkime, kad norime pridėti šešis aukščiau pateiktus BP terminus: (16,13,10,7,4,1). Mes galime tiesiog pridėti jų terminus - tokiu atveju yra mažai terminų, bet įmanoma, bet jei taip yra ilgesnę eilutę, turėtumėte naudoti nuosavybę. Mes žinome, kad vienodų atstumų sąlygų suma visada yra lygi, kaip matėme nuosavybėje, taigi, jei tai atliksime pridėkite vieną kartą ir padauginkite iš pusės terminų kiekio, turime pirmųjų šešių terminų sumą PAN.
Atkreipkite dėmesį, kad pavyzdyje mes apskaičiuotume pirmojo ir paskutiniojo sumą, lygią 17, padaugintą iš pusės terminų sumos, ty 17 kartų 3, o tai lygi 51.
Formulė PA sąlygų suma ją sukūrė matematikas Gaussas, supratęs šią simetriją aritmetinėse progresijose. Formulė parašyta taip:
sne → n elementų suma
The1 → pirmoji kadencija
Thene → paskutinė kadencija
n → terminų skaičius
Pavyzdys:
Apskaičiuokite nelyginių skaičių nuo 1 iki 2000 sumą.
Rezoliucija:
Mes žinome, kad ši seka yra PA (1,3,5,…. 1997, 1999). Atlikti sumą būtų daug darbo, todėl formulė yra gana patogi. Nuo 1 iki 2000 pusė skaičių yra nelyginiai, taigi yra 1000 nelyginių skaičių.
Duomenys:
n → 1000
The1 → 1
Thene → 1999
Taip pat prieiga: Galutinio PG suma - kaip tai padaryti?
Aritmetinių vidurkių interpoliacija
Žinant dvi iš eilės nesusijusias aritmetinės progresijos sąlygas, galima rasti visus terminus, kurie yra tarp šių dviejų skaičių, ką mes žinome kaip aritmetinių vidurkių interpoliacija.
Pavyzdys:
Interpoliuokime 5 aritmetines vidurkius tarp 13 ir 55. Tai reiškia, kad yra 5 skaičiai nuo 13 iki 55 ir jie sudaro progresiją.
(13, ___, ___, ___, ___, ___, 55).
Norint rasti šiuos skaičius, būtina rasti priežastį. Mes žinome pirmąjį terminą (1 = 13) ir 7-oji kadencija (7= 55), bet mes žinome, kad:
Thene =1 + r · (n - 1)
Kai n = 7 → ane= 55. Mes taip pat žinome a vertę1=13. Taigi, pakeisdami jį formule, turime:
55 = 13 + r · (7 - 1)
55 = 13 + 6r
55 - 13 = 6r
42 = 6r
r = 42: 6
r = 7.
Žinodami priežastį, galime rasti terminų, kurie yra nuo 13 iki 55.
13 + 7 = 20
21 + 7 = 27
28 + 7 = 34
35 + 7 = 41
41 + 7 = 49
(13, 20, 27, 34, 41, 49, 55)
sprendė pratimus
Klausimas 1 - (Enem 2012) - kortų žaidimas yra veikla, skatinanti samprotauti. Tradicinis žaidimas yra Solitaire, kuriame naudojamos 52 kortos. Iš pradžių su kortelėmis suformuojami septyni stulpeliai. Pirmajame stulpelyje yra viena, antroje - dvi, trečioje - trys, ketvirtoje - keturios ir t. T į septintą stulpelį, kuriame yra septynios kortelės, ir kas sudaro krūvą, kurios yra nenaudojamos kortelės stulpeliai.
Krūvą sudarančių kortelių skaičius yra:
A) 21.
B) 24.
C) 26.
D) 28.
E) 31.
Rezoliucija
B alternatyva.
Pirmiausia apskaičiuokime bendrą naudojamų kortelių skaičių. Mes dirbame su AP, kurio pirmoji kadencija yra 1, o santykis taip pat yra 1. Taigi, apskaičiuojant 7 eilučių sumą, paskutinis terminas yra 7, o n vertė taip pat yra 7.
Žinant, kad bendras kortelių skaičius buvo 28 ir kad yra 52 kortelės, krūvą sudaro:
52 - 28 = 24 kortelės
2 klausimas - (Enem 2018) Mažo miestelio rotušė interjere nusprendžia aplink apšvietimo stulpus uždėti apšvietimą tiesiu keliu, kuris prasideda nuo centrinės aikštės ir baigiasi fermoje. kaimo. Kadangi aikštėje jau yra apšvietimas, pirmasis stulpas bus pastatytas 80 metrų nuo aikštės, antrasis - 100 metrų, trečiasis - 120 metrų ir pan. visada laikykitės 20 metrų atstumo tarp stulpų, kol paskutinis stulpas bus pastatytas 1 380 metrų atstumu nuo aikštė.
Jei miestas gali sumokėti ne daugiau kaip 8 000,00 R $ už įdėtą įrašą, didžiausia suma, kurią galite išleisti įdėdami šiuos pranešimus, yra:
A) 512 000,00 BRL.
B) 520 000,00 BRL.
C) R $ 528 000,00.
D) 552 000,00 BRL.
E) 584 000,00 BRL.
Rezoliucija
C alternatyva.
Mes žinome, kad stulpai bus dedami kas 20 metrų, tai yra, r = 20, ir kad pirmasis šios PA terminas yra 80. Be to, mes žinome, kad paskutinis terminas yra 1380, bet nežinome, kiek terminų yra nuo 80 iki 1380. Norėdami apskaičiuoti šį terminų skaičių, naudokime bendrosios formulės formulę.
Duomenys: ane = 1380; The1=80; ir r = 20.
Thene= a1 + r · (n-1)
Bus įdėta 660 pranešimų. Jei kiekvienas iš jų kainuos ne daugiau kaip 8 000 R $, didžiausia suma, kurią galima išleisti įdėjus šiuos įrašus, yra:
66· 8 000 = 528 000
Autorius Raulas Rodriguesas de Oliveira
Šaltinis: Brazilijos mokykla - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/progressoes-aritmeticas.htm
