Kas yra geometrinė progresija?

Ar galite pasakyti, kas yra bendro aukščiau esančiame paveikslėlyje? Visuose skaičiai auga pagal tam tikrą „loginę formą“. Šie skaičių sekos galima klasifikuoti kaip geometrinės progresijos. Vienas geometrinė progresija (PG) yra skaitinė seka, kurioje padalijus elementą iš prieš tai buvusio elemento, visada gaunama ta pati reikšmė, vadinama priežastis. Kitas įdomus aspektas, apibūdinantis geometrinę progresiją, yra tas, kad kai mes pasirenkame tris iš eilės einančių elementų, vidurinio elemento kvadratas visada bus lygus elemento sandaugai kraštutinumai. Pavyzdžiui, pažiūrėkime į seką A = (1, 2, 4, 8, 16, 32,…). Priežastį galime nustatyti pasirinkdami bet kurį elementą ir padalydami jį iš prieš tai buvusio termino. Atlikime šią procedūrą visiems elementams, kurie rodomi sekoje:

32 = 2, 16 = 2; 8 = 2; 4 = 2; 2 = 2
16 8 4 2 1

Todėl A sekos santykis yra 2. Pažiūrėkime, ar galioja antroji taisyklė. Pasirinkite tris iš eilės einančius elementus, pavyzdžiui, 4, 8, 16. Pagal taisyklę 8 kvadratas šiuo atveju yra lygus dviejų galinių skaičių sandaugai

4 ir 16. Naudodamiesi potenciacijos savybėmis, turime 8² = 64. Jei padauginsime kraštutinumus, tai ir gausime 4 * 16 = 64. Taikykite šias taisykles kitoms progresijoms ir sužinokite, ar seka yra geometrinė progresija.

Atsižvelgiant į bet kokią seką (₁, a₂, a₃, a₄,..., The_n-1, a_ne, …), mes galime tai pasakyti, būk ne bet koks sveikasis skaičius, priežastis r suteikia:

r =  The_ne
The_{n - 1}

Panagrinėkime kitas pradinio teksto atvaizdo sekas, patikrindami, ar tai geometrinės progresijos.

B = {5, 25, 125, 625, 3125,…}

r = 25 = 125 = 625 = 3125 = 5
5 25 125 625

Nesustokite dabar... Po reklamos yra daugiau;)

C = {1, - 3, 9, - 27, 81, - 243, 729}

r = – 3 =  9 = – 27 =  81 = 243 = – 3
1 – 3 9 – 27 81

D = (10; 5; 2,5; 1,25; 0,625; 0,3125 …}

r = 5 = 2,5 = 1,25 = 0,625 = 0,3125 = 1
10 5 2,5 1,25 0,625 2

Geometrinę progresiją galima klasifikuoti pagal jos priežastį. Pažvelkime į galimas klasifikacijas:

• Jei PG pateikia priežastį neigiama vertė, mes sakome, kad tai yra PG pakaitomis arba supasi, kaip pavyzdyje Ç. Atkreipkite dėmesį, kad šios rūšies eilutėje teigiamos ir neigiamos vertės kinta (1, -3, 9, -27, 81, -243, 729 ...);

• Kai pirmasis PG elementas yra teigiamas ir priežastis r yra Kaip r> 1 arba pirmasis PG elementas yra neigiamas ir 0 , mes sakome, kad PG yra auga. sekos ir B yra didėjančios geometrinės progresijos pavyzdžiai;

• Jei atsiranda pastovaus PG priešingybė, tai yra, kai yra pirmasis PG elementas neigiamas ir priežastis r yra Kaip r> 1 arba pirmasis PG elementas yra teigiamas ir 0 , tai yra PG mažėja. Seka D yra mažėjančio PG pavyzdys;

• Kai PG santykis lygus 1, jis klasifikuojamas kaip PG pastovus. Seka (2, 2, 2, 2, 2, ...) yra pastovaus PG rūšis, nes jos santykis yra 1;

• Kai PG turi bent niekinis terminas, mes sakome, kad tai yra geometrinė progresija vienaskaitos. Mes negalime nustatyti vienaskaitos PG priežasties. Pavyzdys yra seka (2, 0, 0, 0,…).

Autorius Amanda Gonçalves
Baigė matematiką