당신 무리한 숫자 오랜 기간 동안 수학자들에게 큰 불안을 불러 일으켰습니다. 오늘날 이미 잘 정의되어있는 우리는 십진수 표현은 항상 비 주기적 십진수입니다.. 비합리성의 주된 특징과 합리적 숫자와 다른 점은 로 표현할 수 없습니다 분수.
비합리적인 숫자에 대한 연구는 피타고라스 정리와 관련된 문제를 계산할 때 정확하지 않은 뿌리가 발견되었을 때 심화되었습니다. 이러한 부정확 한 뿌리에 대한 해결책을 찾는 행위는 정확하지 않은 십일조의 존재를 현저하게 만들었습니다. 주기적, 즉 소수 부분이 무한하고 순서가 좋지 않은 숫자. 한정된. 주요 비합리적 숫자는 비 주기적 소수, 정확하지 않은 근 및 π입니다.
읽기: 제곱근-근치 지수가 2 인 루팅의 경우
무리수의 집합
비합리적인 숫자를 연구하기 전에 숫자 세트를 연구했습니다. 자연스러운, 정수 및 합리적. 직사각형 삼각형에 대한 연구를 더 깊게 살펴보면 정확한 해결책이없는 뿌리가 있습니다특히 정확하지 않은 근해가 숫자임을 알 수있었습니다. 비 주기적 십일조로 알려진.
이러한 불안 속에서 많은 수학자들은 부정확 한 뿌리가 합리적이며 분수로 표현할 수 있지만, 이 숫자는이 숫자로 표현 될 수 없다는 것을 깨달았습니다. 형태. 지금까지 유리수 세트에는 이러한 숫자가 포함되지 않았기 때문에 비합리적인 숫자 세트로 알려진 새로운 세트를 만들어야 할 필요성이 생겼습니다.
소수 표현이 비 주기적 소수 인 경우 숫자는 비합리적입니다. |
비합리적인 숫자는 무엇입니까?
비합리적인 숫자가 되려면 정의를 충족해야합니다. 십진수 표현은 비 주기적 십진수입니다.. 비 주기적 소수의 주요 특징은 분수로 표현할 수 없다는 것인데, 이는 비합리적인 숫자가 유리수의 반대임을 보여줍니다.
이 기능의 주요 숫자는 다음과 같습니다. 뿌리가 정확하지 않습니다.
예:
a) √2
b) √5
c) √7
d) √13
정확하지 않은 근 솔루션을 찾을 때, 즉이 숫자의 십진수 표현을 수행 할 때 항상 비 주기적 십진수를 찾을 수 있습니다. 비합리적.
정확하지 않은 근 외에도 비 주기적 소수 자체가 있습니다. 예를 들어 정확하지 않은 근을 계산하면 비 주기적 소수를 찾을 수 있습니다.
√2 = 1,41421356...
√5= 2,23606797...
비합리적인 숫자는 일반적으로 그리스 문자로 표시됩니다., 소수점 이하 자릿수를 모두 쓸 수 없기 때문입니다.
첫 번째는 π (읽기: 파이), 원의 면적과 둘레 계산에 표시됩니다. 다음과 같은 값을 가짐 3,1415926535…
π 외에 또 다른 매우 일반적인 숫자는 ϕ (읽기: fi)입니다. 그는 관련된 문제에서 발견됩니다 비율 황금. 값은 1.618033 ...
참조: 소수는 무엇입니까?
합리적이고 비합리적인 숫자
숫자 세트를 분석 할 때 유리수와 무리수를 구별하는 것이 중요합니다. 이 두 세트의 결합은 수학에서 가장 많이 연구 된 세트 중 하나 인 실수 세트, 즉 세트를 형성합니다. 실수 분수 (이성)로 나타낼 수있는 숫자와 분수 (비이성)로 나타낼 수없는 숫자의 결합입니다.
세트에서 유리수, 정수, 자연수, 정확한 소수 및 주기적 소수가 있습니다.
유리수의 예:
-60 → 정수
2.5 → 정확한 소수
5.1111111… →주기 소수점
비이성적 인 숫자는 비 주기적 소수이므로 동시에 이성적이고 비이성적 인 숫자는 없습니다.
무리수의 예:
1,123149… → 비 주기적 십일조
2.769235… → 비 주기적 십일조
무리한 숫자로 작업
더하기와 빼기
그만큼 부가 그리고 빼기 두 개의 비합리적인 숫자 중 일반적으로 방금 대표, 이러한 숫자의 십진수 근사값이 사용되지 않는 한, 예를 들면 다음과 같습니다.
a) √6 + √5
b) √6 – √5
c) 1.414213… + 3.1415926535…
근호로 인해 값을 더하거나 뺄 수 없으므로 표시된 연산을 그대로 두었습니다.
십진수 표현에서는 정확한 합계를 수행하는 것도 불가능하므로 두 개의 비이성적 인 숫자를 더하려면 합리적인 근사가 필요합니다.,이 표현은이 데이터의 정밀도 요구에 따라 선택됩니다. 소수점 이하 자릿수가 많을수록 정확한 합계에 가까워집니다.
관측:무리수 집합은 덧셈이나 뺄셈에 닫히지 않습니다. 이것은 두 무리수의 합이 합리적이지 않은 수를 만들 수 있음을 의미합니다. 예를 들어, 비합리적인 숫자의 차이를 반대로 계산하면 다음을 수행해야합니다.
a) √2 – √2 = 0
b) π + (-π) = 0
우리는 0이 비합리적인 숫자가 아니라는 것을 알고 있습니다.
곱셈과 나눗셈
곱셈과 분할 무리수의 표현이 방사그러나 덧셈과 마찬가지로 십진수 표현, 즉 두 개의 십진수를 곱하거나 나누는 것과 같이이 숫자의 합리적 근사치가 필요합니다.
a) √7 · √5 = √35
b) √32: √2 = √16 = 4
또한 예 b에서 4는 유리수입니다. 즉, 두 비이성 숫자의 곱셈과 나눗셈이 닫히지 않습니다. 즉, 유리한 결과를 얻을 수 있습니다.
해결 된 운동
질문 1 - 다음 번호를 검토하십시오.
I) 3.1415926535
II) 4,1234510….
III) 2π
IV) 1.123123123 ...
V) √36
VI) √12
다음은 비합리적인 숫자입니다.
A) I, IV 및 V 만
B) II, III 및 VI 만
C) II, IV 및 VI 만
D) I, II, III 및 VI 만
E) III, IV, V 및 VI 만
해결
대안 B
I → 숫자는 정확한 십진수, 합리적입니다.
II → 숫자가 비주기적이고 비이성적 인 십진수입니다.
III → π는 비이성적이며 이중, 즉 2π도 비이성적입니다.
IV → 숫자는주기적이고 유리한 십진수입니다.
V → 정확하고 이성적인 뿌리.
VI → 루트가 정확하지 않고 비합리적입니다.
질문 2- 다음 진술을 판단하십시오.
I – 실수의 집합은 합리적이고 비이성적 인 조합입니다.
II – 두 무리수의 합은 유리수 일 수 있습니다.
III – 십일조는 무리한 숫자입니다.
진술을 분석하면 다음과 같이 말할 수 있습니다.
A) 내가 진실이라는 유일한 진술.
B) 진술 II만이 사실입니다.
C) 진술 III 만 참입니다.
D) 진술 I 및 II 만 사실입니다.
E) 모든 진술이 사실입니다.
해결
대안 D
I → True, 실수 세트의 정의는 합리성과 비합리적 사이의 결합이기 때문입니다.
II → 사실, 그 반대에 숫자를 더하면 결과적으로 합리적 인 숫자 0이됩니다.
III → 거짓, 비 주기적 십일조는 비합리적입니다.
작성자: Raul Rodrigues de Oliveira
수학 선생님
출처: 브라질 학교- https://brasilescola.uol.com.br/matematica/numeros-irracionais.htm