그만큼 조합 분석 계산 규칙과 관련된 수학 연구 분야입니다. 18 세기 초, 주사위와 카드를 포함하는 게임에 대한 연구는 계수 이론을 크게 발전 시켰습니다.
조합론의 작업 점점 더 정확한 카운트를 실현할 수 있습니다.계산의 기본 원리 (일병), 요인 및 그룹화 유형은 조합 분석에서 연구 된 개념의 예입니다. 더 크게 정밀도 도움 아니다음과 같은 다른 수학 영역의 개발 그만큼 확률과 영형 뉴턴의 이항.
너무 읽기: 배열 또는 씨콤비네이션?
조합 분석이란 무엇입니까?
조합 분석은 계산 과정과 관련이 있습니다. 즉, 이 수학 영역에 대한 연구를 통해 수행하는 데 도움이되는 도구를 개발할 수 있습니다. 더 효율적으로 계산. 일반적인 계산 문제를 살펴 보겠습니다.
예 1
고속도로 R로 연결된 세 도시 A, B 및 C를 고려하십시오.1, R2, R3, R4 그리고 R5. 도시 B를 통해 도시 A에서 도시 C로 이동할 수있는 방법을 결정하십시오.
A 도시를 떠나 B 도시로 가야합니다. 그런 다음에 만 C 도시로 여행 할 수 있습니다. 가능성 고속도로를 따라 이벤트를 수행합니다.
첫 번째 방법: 아르 자형1 → 아르 자형3
두 번째 방법 : 아르 자형1 → 아르 자형4
세 번째 방법: 아르 자형1 → 아르 자형5
네 번째 방법: 아르 자형2 → 아르 자형3
다섯 번째 방법: 아르 자형2 → 아르 자형4
여섯 번째 방법: 아르 자형2 → 아르 자형5
그래서 우리는 도시 B를 통해 도시 A에서 도시 C로가는 여섯 가지 다른 방법이 있습니다. 그러나 제안 된 문제는 상대적으로 간단하고 수행 된 분석이 힘들지 않다는 점에 유의하십시오. 그래서 지금부터 우리는 훨씬 적은 작업으로 문제를 해결할 수있는보다 정교한 도구를 연구 할 것입니다.
계산의 기본 원리 (PFC)
n 개의 독립적이고 연속적인 단계에서 수행 할 수있는 이벤트 E를 고려하십시오. 이제 첫 번째 단계를 수행 할 수있는 가능성의 수가 P와 같다고 가정합니다.1, 또한 두 번째 단계를 수행 할 수있는 가능성의 수가 P라고 가정합니다.2, 등등 P가있는 마지막 단계에 도달 할 때까지아니 수행 될 가능성.
계수의 기본 원리 (PFC)는 총 가능성 이벤트 E 개최에 대한 정보는 다음과 같습니다.
피1 ·피2 ·… · P아니
따라서 총계는 이벤트 E를 구성하는 각 단계의 가능성의 곱으로 제공됩니다. 이벤트 E 개최의 총 가능성을 결정하려면 각 단계의 총 가능성을 알아야합니다.
예 2
계산의 기본 원리를 사용하여 예제 1을 다시 실행 해 봅시다.
예제 1의 이미지를 고려하십시오.
이벤트는 두 단계로 진행될 수 있습니다. 첫 번째 단계는 도시 A에서 도시 B로, 두 번째 단계는 도시 B에서 도시 C로 진행됩니다. 첫 번째 단계를 수행하기 위해 두 가지 가능성이 있습니다 (R 도로1 그리고 R2), 두 번째 단계를 수행하기 위해 세 가지 가능성 (R3, R4 그리고 R5).
1 단계 → 두 가지 가능성
2 단계 → 세 가지 가능성
계산의 기본 원칙에 따라 곱하다 각 단계의 총 가능성.
2 · 3
6
따라서 도시 A에서 도시 B를 통해 도시 C로 이동하려면 총 6 개의 가능성이 있습니다.
예제 3
대회에서 3 개의 올림픽 메달을 얼마나 많이 분배 할 수 있습니까? 산악 자전거 5 명의 경쟁자와 함께?
메달 분배를 조직하는 것은 3 단계로 진행할 수있는 이벤트입니다. 첫 번째 단계는 누가 금메달을 받을지에 대한 전체 가능성을 분석하는 것입니다. 다섯 가능성.
두 번째 단계는 은메달을받을 수있는 가능성을 분석하는 것입니다. 네, 1 위는이 선택에 들어 가지 않기 때문에. 세 번째 단계는 누가 동메달을받을 수 있는지의 전체 가능성을 분석하는 것입니다. 세, 처음 두 개가 이미 선택 되었기 때문에.
1 단계 → 5 가지 가능성
2 단계 → 4 가지 가능성
3 단계 → 3 가지 가능성
따라서 계산의 기본 원칙에 따라 다음과 같은 이점이 있습니다.
5 · 4 · 3
60 가지 가능성
참조: 가산 계수 원리-하나 이상의 세트 결합
계승
영형 계승 방법입니다 자연수를 분해하다. 숫자의 계승을 계산하려면 숫자 1까지 모든 선행자를 곱하면됩니다. 계승은 느낌표 — "!"로 표시됩니다.
일부 숫자의 계승을 계산하는 방법에 대한 몇 가지 예를 참조하십시오.
그만큼) 2! (읽기: 2 계승)
계산을 위해 다음과 같이 계승에 수반되는 숫자에 모든 선행 숫자를 숫자 1까지 곱하십시오.
2! = 2 ·1 = 2
비) 4! = 4 · 3 · 2 ·1 = 24
씨) 5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 120
디) 1! = 1
공식적으로 다음과 같이 계승을 작성할 수 있습니다.
자연수 n> 2를 고려하십시오. n의 계승은 n! 그리고 n에 모든 양의 정수 선행자를 곱하여 주어집니다.
아니! = n (n – 1) · (n – 2) · (n – 3) ·… · 1
다음 계승에 유의하십시오.
4! 그리고 5!
이제 두 가지 개발을 수행하십시오.
5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1
4! = 4 · 3 · 2 ·1
5의 개발에 유의하십시오! 4!의 개발이 나타납니다!. 그래서 우리는 5를 쓸 수 있습니다! 그러므로:
5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1
5! = 5 · 4!
예 4
계승 초 계산멀리서 짖는 소리:
15를보십시오! 13까지 개발되었습니다!. 또한 분수의 분자에서 요소가 곱해 지므로 13!을 "절단"할 수 있으므로 결과는 15 · 14뿐입니다.
관측:0! = 1
그룹화 유형
일부 계산 문제는 새로운 도구로 더 복잡하고 쉽게 해결됩니다. 이러한 도구는 요소를 다른 방식으로 그룹화하여 계산 프로세스를 더 쉽게 만들기 때문에 그룹화라고합니다. 이러한 그룹은 단순 배열, 순열 및 단순 조합입니다.
간단한 배열
n 개의 고유 요소가있는 집합을 고려하십시오. 그것을 부르 자 배열 n에서 p에서 p로 취해진 요소, p로 정렬 된 모든 시퀀스 및 요소 중에서 선택된 구별 요소.
따라서, p 요소에 의해 형성된 서브 세트의 수는 p에서 p까지 취해진 n 요소의 배열이 될 것입니다. 배열 수를 계산할 수있는 공식은 다음과 같습니다.
예 5
A의 가치를 계산하십시오4,2 + A5,2.
표현식의 값을 계산하기 위해 각 배열을 결정한 다음 해당 값을 함께 더해 보겠습니다. 각 배열의 값을 결정하려면 수식의 값을 대체해야합니다.
n = 4 및 p = 2, 둘 다 공식에서 대체되었습니다. 이제 2x2를 취한 5 개 요소의 배열 값을 계산해야합니다.
따라서 다음을 수행해야합니다.
그만큼4,2 + A5,2
12 + 20
32
예제 6
숫자 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9를 사용하여 몇 개의 고유 한 4 자리 자연수를 만들 수 있습니까?
이 문제에서 우리는 2435 ≠ 4235이기 때문에 간단한 배열을 사용할 수 있습니다. 경우에 따라 요소의 순서가 요소를 구분하지 않아 배열을 사용할 수 없음을 알 수 있습니다.
형성 할 수있는 숫자의 총계를 결정하고 싶기 때문에 요소의 총합은 다음과 같습니다. 여덟, 우리는 그것들을 4 개씩 4 개로 그룹화하려고합니다.
단순 순열
n 개의 요소가있는 집합을 고려하십시오. 그것을 부르 자 단순 순열 n 개 요소 n에서 n까지 취해진 n 요소의 모든 배열. 따라서 다음을 수행해야합니다.
개념 사이에 혼동이 없도록 n 요소의 단순 순열을 P로 표시하겠습니다.아니. 따라서 다음을 수행해야합니다.
피아니 = n!
예제 7
P 계산7 그리고 P3.
이러한 순열을 계산하려면 공식의 값을 대체해야합니다. 보기:
피7 = 7 · 6 · 5· 4 · 3 · 2 · 1
피7 = 5040
피3 = 3 · 2 · 1
피3 = 6
예 8
브라질이라는 단어에 몇 개의 철자가있을 수 있는지 확인합니다.
예를 들어 "Lisarb"는 철자 바꾸기 브라질이라는 단어의. 아나그램의 수를 결정하려면 단어의 문자 순열을 계산해야하므로 다음을 수행해야합니다.
피6 = 6!
피6 = 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1
피6 = 720
따라서 브라질이라는 단어에는 720 개의 애너그램이 있습니다.
또한 액세스: 반복되는 요소가있는 순열
간단한 조합
n 개의 고유 요소가있는 집합 A를 고려하십시오. 그것을 부르 자 콤비네이션 p에서 p로 취해진 n 개의 요소 중 p 요소로 구성된 A의 하위 집합. 조합 계산 공식은 다음과 같습니다.
예제 9
4 개에서 4 개까지 10 개 요소의 조합을 계산합니다.
예 10
얼마나 사변형 점 A, B, C, D, E 및 F에서 꼭지점으로 형성 할 수 있습니까?
ABCD 사변형은이 맥락에서 CDBA 사변형과 동일하므로 배열이 아닌 조합을 사용해야합니다. 총 6 개의 포인트가 있으며 다음과 같이 4 개를 4 개로 결합하려고합니다.
따라서 15 개의 서로 다른 사변형을 형성 할 수 있습니다.
조합 분석 및 확률
연구 확률은 조합 분석 연구와 밀접한 관련이 있습니다.. 일부 확률 문제에서는 주어진 이벤트의 가능한 모든 결과로 구성된 집합으로 구성된 샘플 공간을 결정해야합니다.
경우에 따라 샘플 공간 E는 공정한 동전 뒤집기 에서처럼 매우 직접적으로 작성되며, 가능한 결과는 앞면 또는 뒷면이며 다음과 같이 표시됩니다.
E = {앞면, 뒷면}
이제 다음 상황을 상상해보십시오. 주사위가 세 번 연속으로 던져지고이 실험의 샘플 공간을 결정하는 데 관심이 있습니다. 모든 가능성을 적는 것은 더 이상 간단한 작업이 아니며 기본 계산 원리 (PFC)를 사용해야합니다. 이 이벤트는 3 단계로 진행될 수 있습니다. 각 단계에서 6 가지 가능성이 있습니다.
1 단계 → 6 가지 가능성
2 단계 → 6 가지 가능성
3 단계 → 6 가지 가능성
PFC에 따르면 가능성의 총합은 다음과 같습니다.
6 · 6 · 6
216
따라서이 이벤트의 샘플 공간은 216이라고 말할 수 있습니다.
확률 연구를 위해 조합 분석에 대한 기본 지식이 필요합니다., 왜냐하면 실험의 샘플 공간을 결정하지 않으면 대부분의 확률 연습 문제를 해결할 수 없기 때문입니다. 자세한 사항은 이 수학 분야에 대해 텍스트를 읽으십시오.개연성.
해결 된 운동
질문 1 – Castle이라는 단어의 철자 숫자를 결정합니다. 그런 다음 문자 c로 시작하는 애너그램의 수를 결정합니다.
해결
애너그램 수를 결정하려면 다음과 같이 문자 수의 순열을 계산해야합니다.
피7 = 7!
피7 = 7 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1
피7 = 5040
이 단어에는 5040 개의 철자가 있습니다. 이제 문자 c로 시작하는 아나그램의 수를 결정하려면 문자를 수정하고 다른 아나그램을 계산해야합니다. 다음을 참조하십시오.
씨__ __ __ __ __ __
문자 c를 수정할 때 다음과 같이 순열을 계산할 6 개의 필드가 남아 있습니다.
피6 = 6!
피6 = 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1
피6 = 720
그래서 우리는 문자 c로 시작하는 성이라는 단어의 720 애너그램을 가지고 있습니다.
질문 2 – 한 교실에는 남자 5 명과 여자 7 명이 있습니다. 남성 3 명과 여성 4 명으로 구성된 그룹은 몇 개입니까?
해결
먼저, 우리가 사람을 선택하는 순서는 중요하지 않습니다. 예를 들어 João가 구성한 그룹은 Marcos와 José는 Marcos, João 및 José가 구성한 동일한 그룹이므로 다음과 같은 조합을 사용해야합니다. 계산.
남성과 여성이 구성 할 수있는 그룹 수를 별도로 계산해 봅시다. 그런 다음이 결과를 곱해 봅시다. 각 그룹의 남성이 각 그룹의 여자들.
남자들
합계 → 5
그룹 수량 → 3
여자들
합계 → 7
그룹 수량 → 4
따라서 남성 3 명과 여성 4 명이 구성 할 수있는 총 그룹 수는 다음과 같습니다.
씨5,3 · 씨7,4
10 · 35
350
작성자: Robson Luiz
수학 선생님
출처: 브라질 학교- https://brasilescola.uol.com.br/matematica/analise-combinatoria.htm